2020届二轮复习 二次函数与幂函数 学案（全国通用）

二次函数与幂函数

【考纲要求】

1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。

2．幂函数

(1)了解幂函数的概念．

(2)结合函数的图象，了解它们的图象的变化情况．

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、初中学过的函数

（一）函数的图象与性质

要点诠释：

1.过原点的直线的方程,图象,性质；

2.函数的最高次项的系数能否为零。

（二）二次函数的最值

1.二次函数有以下三种解析式：

一般式：（），

顶点式：（），其中顶点为，对称轴为直线，

零点式：（），其中是方程的根

2. 二次函数（）在区间上的最值：

二次函数（）在区间上的最大值为M，最小值为m，令.

     （1）               （2）               （3）                （4）

（1）若，则，；

（2）若，则，；

（3）若，则，；

（4）若，则，.

要点诠释：

1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值；

2. 求二次函数的最值一般要数形结合。

考点二、幂的运算

 (1)，，；

(2)，，。

考点三、幂函数的图象与性质

1.幂函数在第一象限的图象特征

2.幂函数性质：

（1），图象过（0，0）、（1，1），下凸递增，如；

（2），图象过（0，0）、（1，1），上凸递增，如；

（3），图象过（1，1），单调递减，且以两坐标轴为渐近线，如

要点诠释：幂函数在第四象限没有图象，其它象限的图象可以由奇偶性确定。

【典型例题】

类型一：基本函数的解析式问题

例1．已知二次函数满足，且图像在轴上截距为1，在轴截得的线段长为，求的解析式.

【解析】用待定系数法求，选择适当的二次函数的形式。

方法一：设（），

则，且对称轴，即，

∴，

∵ ， ∴

∴

方法二：∵，∴二次函数的图象的对称轴为，

可设所求函数为（），

∵截轴上的弦长为， ∴的图像过点和，

∴，即                 （1）

又∵的图像过点，  ∴                （2）

（1）（2）联立，解得，，

∴，即.

方法三：∵的图象对称轴， 又,

∴与轴的交点为和，

故可设（），

由可得 .

∴，即.

【总结升华】二次函数的形式有以下三种：

（1）一般形式：（），

（2）顶点式（或称配方式）（），

（3）零点式（或称双根式）（），（前提：有根）

对一个具体二次函数，三种形式的系数都具有具体的意义，在分析具体问题时，要充分挖掘题目的隐含条件及充分利用图形的直观性去简化运算，简捷处理问题。

举一反三：

【变式】已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式

【答案】∵二次函数的对称轴为，可设所求函数为，

又∵截轴上的弦长为，∴过点和，

又过点，

∴，解得，

∴，即.

类型二：函数的图象和性质

例2. 下图是指数函数（1），（2），（3），（4）的图象，则、、、与1的大小关系是（   ）

A.  B.  C.  D.

【解析】可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较、的大小，从（1）（2）中比较、的大小.

【答案】B

【总结升华】可以依据函数系的性质和图象变化解答，但作为选择题更多地利用特殊点解决.

举一反三：

【变式】在，，，四个函数中，时，能使成立的函数是（    ）

A.      B.           C.      D.

【答案】A ；由图形可直观得到：只有为“上凸”的函数.

例3.（2017年山东卷）已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是________________.

【答案】

【解析】当m>0时，函数的图象如下：

因为x>m时，

所以要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则需即可，

解得m>3

【总结升华】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题，关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.

类型三：最值问题

例4.求函数（)的最值.

【解析】令, 则,

开口向上，对称轴

 ∵,∴ , 即

∵，

∴时，；时，；时，；

∴时，；

时，.

【总结升华】1. 基本函数的最值问题一般都利用函数的单调性，并数形结合解决之；

2. 形如(,且)的函数，可以转化为二次函数，但应注意的取值范围.

举一反三：

【变式】已知满足不等式，求函数的最大值和最小值.

【答案】由，得,即.

∴.

令,则（），

∵对称轴,

∴ 当时，即时，；

当时，即时，.

例5．已知，,若的最小值为，写出的表达式。

【解析】由可知对称轴为,

（1）当时，在上单调递增，

∴,

（2）当即时，在顶点处最小，

∴,

（3）当即 时，在上单调递减，

∴,

综上，

【总结升华】求给定区间上二次函数最值或值域的问题，首先应确定函数对称轴的方程，由对称轴与所给区间的关系应用二次函数单调性来做。可分为三种类型：（1）对称轴确定，区间也确定；（2）对称轴含参数（即动函数），区间确定；（3）对称轴确定，区间未确定（含参数）。后两种情况都需讨论何时对称轴在区间上，何时在区间外。

举一反三：

【变式】要使函数在上恒成立，求的取值范围．

【答案】将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题是解决这类问题的常用方法。

由题意得在上恒成立，

即在上恒成立．

令，则在上恒成立。

又

当时，有：

故的取值范围为：。