2020届二轮复习 简单的线性规划 学案（全国通用）

简单的线性规划【考纲要求】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型。3.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；4.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。5.熟练应用不等式性质解决目标函数的最优解问题。【知识网络】【考点梳理】不等式与不等关系394841 知识要点】考点一：用二元一次不等式（组）表示平面区域二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）要点诠释：画二元一次不等式或表示的平面区域的基本步骤：①画出直线（有等号画实线，无等号画虚线）；②当时，取原点作为特殊点，判断原点所在的平面区域；当时，另取一特殊点判断；③确定要画不等式所表示的平面区域。简称：“直线定界，特殊点定域”方法。考点二：二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法因为对在直线Ax+By+c=0同一侧的所有点(x ,y)，实数Ax+By+c的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便）.把它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.要点诠释：判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧的方法：因为对在直线Ax+By+C =0同一侧的所有点(x ,y)，数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0, y0)（若原点不在直线上，则取原点(0,0)最简便），它的坐标代入Ax+By+c，由其值的符号即可判断二元一次不等式Ax+By+c>0(或<0)表示直线的哪一侧.考点三：线性规划的有关概念：①线性约束条件：在一个问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．②线性目标函数：关于x、y的一次式z=ax+by(a，b∈R)是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．③线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．④可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．要点诠释：在应用线性规划的方法时，一般具备下列条件：①一定要能够将目标表述为最大化（极大）或最小化（极小）的要求。②一定要有达到目标的不同方法，即必须要有不同的选择的可能性存在；③所求的目标函数是有约束（限制）条件的；④必须将约束条件用代数语言表示成为线性等式或线性不等式（组），并将目标函数表示成为线性函数。考点四：解线性规划问题总体步骤：设变量→找约束条件，找目标函数作图，找出可行域求出最优解要点诠释：线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用： ①在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； ②给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务．【典型例题】类型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域例1. 用平面区域表示不等式组.【解析】不等式表示直线右下方的区域，表示直线右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。举一反三：【变式1】画出不等式组表示的平面区域并求其面积。【解析】如图，面积为；【变式2】由直线，和围成的三角形区域（如图）用不等式组可表示为                 。【解析】【变式3】求不等式组表示平面区域的面积.【解析】不等式所表示的平面区域如图联立方程组得所以例2. 画出下列不等式表示的平面区域(1) ； (2) 【解析】 (1) 原不等式等价转化为或（无解），故点在区域内，如图：(2) 原不等式等价为或，如图举一反三：【变式1】用平面区域表示不等式（1）；  （2）； （3）【解析】              （1）               （2）                  （3）例3.求满足不等式组的整数解.【解析】设： ，：，：，则由，得，由，得由，得于是看出区域内点的横坐标在内，取，当时，代入原不等式组有，即，得＝－2，∴区域内有整点。同理可求得另外三个整点、、.举一反三：【变式1】求不等式组的整数解。【解析】如图所示，作直线，，，在直角坐标平面内画出满足不等式组的区域，此三角形区域内的整点(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,－1)，(2,－1)，(3,－1)即为原不等式组的整数解。类型二：图解法解决简单的线性规划问题.不等式与不等关系394841 基础练习一】例4．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为（  ）A．12  B．10  C．8  D．2【解析】由约束条件可知可行域如图：平移知在处取得最大值答案：B举一反三：【变式1】求的最大值和最小值，使式中的,满足约束条件.【解析】在平面直角坐标系内作出可行域（如图所示）作直线，把向右上方平移至位置，即直线经过可行域上点A时，距原点距离最大，且，这时目标函数取得最大值.由方程组 ，解得，∴.把直线向左下方平移至位置，即直线l经过可行域上点B时，由于，这时目标函数取得最小值.由方程组 ，解得，∴.【变式2】给出平面区域如图所示，若使目标函数取得最大值的最优解有无穷个，则的值为                  . 【解析】由题意结合图形可知,线性目标函数与可行域的一边界平行,可得.【变式3】如果点在平面区域上，点在曲线上，那么的最小值为（    ）A．  B．  C．  D．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，要求的最小值只需求出圆心到平面区域的最小值再减去半径1即可。由图象可以知道圆心到平面区域的最小值就是圆心到直线的距离（垂足为A）所以，故选Ａ例5(2015春  衡阳校级期末)若满足求：(1) 的最小值;(2) 的范围；(3) 的最大值.【解析】作出满足已知条件的可行域为内(及边界)区域，如图其中，，(1)    目标函数表示直线，表示该直线纵截距，当过点时纵截距有最小值，故(2)目标函数表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O到AB距离   且垂足是在线段AB上，故 ，即(3)目标函数，则表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即即举一反三：【变式】(2015春  龙海市期末)变量满足约束条件若的最大值为2，则实数m等于     .【答案】1【解析】作出约束条件所对应的可行域(如图阴影)变形目标函数可得，平移直线经过点A时，目标函数取最大值2，联立可解得即点，解得类型三：某些实际背景的线性规划问题.例6.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤9吨，电力4千瓦，使用劳动力3个，获利7000元：生产乙种产品每件要消耗煤4吨，电力5千瓦，使用劳动力10个，获利12000元。有一个生产日，这个厂可动用的煤是360吨，电力是200千瓦，劳动力是300个，问应该如何安排甲、乙两种产品的生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少?【解析】设生产甲产品x件，乙产品y件  约束条件：， 目标函数：z=7000x+12000y如图：目标函数经过A点时，z取得最大值 ， 即A（20，24）∴ 当x=20, y=24时，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）。答：安排甲产品20件，乙产品24件时，利润最大为428000元。举一反三：【变式1】某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？【解析】设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：，即如图所示，作出不等式表示的区域，作直线，即，作直线的平行线：当直线经过可行域内A点时，纵截距最小，可得A点坐标为。∵z=160x+252y，∴，式中代表该直线的纵截距b，而直线的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，即过时，，但此时，∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，当x=5，y=2时，点在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求。∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，即zmin=160×5+2×252=1304（元）.