2020届二轮复习 函数的极值和最值（理） 学案（全国通用）
展开函数的极值和最值
【考纲要求】
1.掌握函数极值的定义。
2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件.
3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4.会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】
【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作
；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称极值.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
要点诠释：
求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
要点二、函数的最值
1.函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数在内的导数；
（2）求方程在内的根；
（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；
（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值.
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
函数的极值和最值394579
例1.已知函数若函数处取得极值，试求的值，并求在点处的切线方程；
【解析】
因为处取得极值
所以
所以。
又
所以在点处的切线方程
即.
举一反三：
【变式1】设为实数，函数．
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，．
【解析】（1）由知．
令，得．于是当变化时，的变化情况如下表：
－ | 0 | + | |
单调递减 | 单调递增 |
故的单调递减区间是，单调递增区间是，
处取得极小值，极小值为
(2)证明：设，
于是，
由(1)知当时，最小值为
于是对任意，都有，所以在R内单调递增．
于是当时，对任意，都有．
而，从而对任意．
即，故．
【变式2】函数的定义域为区间（a，b），导函数在（a，b）内的图如图所示，则函数在（a，b）内的极小值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】由极小值的定义，只有点B是函数的极小值点，故选A。
类型二：利用导数解决函数的最值问题
函数的极值和最值394579 典型例题三】
例2（2017 东城区模拟）已知函数，．
(Ⅰ)若在处取得极值，求的值；
(Ⅱ)求在区间上的最小值；
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若，求证：当时，恒有成立．
【解析】（Ⅰ）由，定义域为，得．
因为函数在处取得极值，所以，即，解得．
经检验，满足题意，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，定义域为．
当时，有，在区间上单调递增，最小值为；
当，由得，且．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在区间上单调递增，最小值为；
当时，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以函数在取得最小值．
综上当时，在区间上的最小值为；
当时，在区间上的最小值为．
（Ⅲ）由得．
当时，，，
欲证，只需证，
即证，即．
设，
则．
当时，，所以在区间上单调递增．
所以当时，，即，
故．
所以当时，恒成立．
举一反三：
【变式】已知函数(),.
(1)若曲线与曲线在它们的交点(1,)处具有公共切线,求的值;
(2)当时,求函数的单调区间,并求其在区间上的最大值.
【解析】(1)由为公共切点可得:,
则,,
,则,,
①
又,,
,即,
代入①式可得:.
(2),
设
则,令,
解得:,;
,,
原函数在单调递增,在单调递减,在上单调递增
①若,即时,最大值为;
②若,即时,最大值为
③若时,即时,最大值为.
综上所述:当时,最大值为;当时,最大值为.
例3.（2018 东城区一模）已知函数 ，．
(1)若 在 处取得极值，求 的值；
(2)若 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
(3)讨论函数 的零点个数．
【解析】 (1) 因为 ，
由已知 在 处取得极值，
所以 ，解得 ．
经检验 时， 在 处取得极小值．
所以 ．
(2) 由（1）知，．
因为 在区间 上单调递增．
所以 在区间 上恒成立．
即 在区间 上恒成立．
因为 ．
(3) 因为 ，所以 ，．
令 ，得 ．
令 ，．
．
当 时，， 在区间 上单调递增，
当 时，， 在区间 上单调递减．
所以 ．
综上，当 时，函数 无零点．
当 或 时，函数 有一个零点，
当 时，函数 有两个零点．
举一反三：
【变式1】（2018 朝阳一模）已知函数 ，．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，讨论函数 的零点个数．
【解析】(1) 函数 的定义域为 ．
当 时，．
．
由 解得 ；
由 解得 ．
所以 在区间 单调递减，在区间 单调递增．
所以 时，函数 取得最小值 ．
(2) ，．
（i）当 时，
时，， 为减函数；
时，， 为增函数．
所以 在 时取得最小值 ．
①当 时，，由于 ，令 ，，则 在 上有一个零点；
② 当 时，即 时， 有一个零点；
③ 当 时，即 时， 无零点．
④ 当 时，即 时，由于 （从右侧趋近 ）时，； 时，，所以 有两个零点．
（ii）当 时，
时，， 为增函数；
时，， 为减函数；
时，， 为增函数．
所以 在 处取极大值，处取极小值．
．
当 时，，即在 时，．
而 在 时为增函数，且 时，，所以此时 有一个零点．
（iii）当 时， 在 上恒成立，所以 为增函数．
且 （从右侧趋近于 ）时，； 时，，所以 有一个零点．
综上所述，当 或 时， 有一个零点；
当 时， 无零点；当 时， 有两个零点．
【变式2】已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（2）若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
【解析】（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），
函数f（x）的单调区间如下表：
x | （－，－） | － | （－，1） | 1 | （1，＋） |
f（x） | ＋ | 0 | － | 0 | ＋ |
f（x） | | 极大值 | | 极小值 | |
所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，
当x＝－时，f（x）＝＋c为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。
要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，
解得c－1或c2。
类型三：导数在研究实际问题中最值问题的应用
例4.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的体积为立方米，且．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为千元．设该容器的建造费用为千元．
(1)写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的．
【解析】(1)设容器的容积为V，
由题意知，又，
故．
由于，因此．
所以建造费用，
因此，．
(2)由(1)得，．
由于，所以，
当时，．
令，则m＞0，
所以．
①当即时，
当时，；
当时，；
当时，，
所以是函数y的极小值点，也是最小值点．
②当即时，当时，函数单调递减，
所以r=2是函数y的最小值点，
综上所述，当时，建造费用最小时，
当时，建造费用最小时．
举一反三：
【变式】某企业接到生产3000台某产品的A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为k(k为正整数).
(1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间;
(2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数k的值,使完成订单任务的时间最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案.
【解析】(Ⅰ)设完成A,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为
由题设有
期中均为1到200之间的正整数.
(Ⅱ)完成订单任务的时间为其定义域为
易知,为减函数,为增函数.
注意到 于是
(1)当时, 此时
,
由函数的单调性知,当时取得最小值,
解得 .由于
.
故当时完成订单任务的时间最短,且最短时间为.
(2)当时, 由于为正整数,故,
此时易知为增函数,则
.
由函数的单调性知,当时取得最小值,
解得.由于
此时完成订单任务的最短时间大于.
(3)当时, 由于为正整数,故,
此时
由函数的单调性知,
当时取得最小值,解得.类似(1)的讨论.此时
完成订单任务的最短时间为,大于.
综上所述,当时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数分别为44,88,68.
