2020届二轮复习 数列求和及其综合应用 学案（全国通用）

数列求和与综合应用

【考纲要求】

1．熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式；

2. 掌握数列的通项an与前n项和Sn之间的关系式

3．注意观察数列的特点和规律，在分析通项的基础上分解为基本数列求和或转化为基本数列求和，熟练掌握求数列的前项和的几种常用方法；

4.能解决简单的实际问题.

【知识网络】

【考点梳理】

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题.这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度.

与计算有关的问题主要有：求数列的某项，确定数列的通项公式，求有穷数列或无穷数列之和，计算数列的极限，将数列与方程，与不等式，与某些几何问题等联系起来，从而解决有关问题.

有关定性问题的论证问题主要有：考察或论证数列的单调性，将数列分类定性，考察数列的图像特征，考察数列的极限存在与否等等.

有关实际应用问题：某些与非零自然数有关的实际应用题，可用数列的各项与之对应，然后利用数列有关知识解答此类应用题.

数列的函数属性：因数列是函数的特例，故解答有关问题时，常与函数知识联系起来考虑.

【典型例题】

类型一：数列与函数的综合应用

例1.对于数列，规定数列为数列的一阶差分数列，其中；一般地，规定为的k阶差分数列，其中且k∈N*，k≥2。

（1）已知数列的通项公式。试证明是等差数列；

（2）若数列的首项a1=―13，且满足，求数列及的通项公式；

（3）在（2）的条件下，判断是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，说明理由。

解析：（1）依题意：，

∴

∴，

∴数列是首项为1，公差为5的等差数列。

（2），

（3）令，

则当时，函数单调递减；

当时，函数单调递增；

又因，

而，

所以当n=2时，数列an存在最小值，其最小值为－18。

举一反三：

【变式1】已知数列的首项，，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）证明：对任意的，，；

（Ⅲ）证明：．

解析：（Ⅰ），，，

又，是以为首项，为公比的等比数列．

，．

（Ⅱ）设，

则

，当时，；当时，，

当时，取得最大值．

原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有

．

令，则，

．

原不等式成立．

函数的极值和最值388566 典型例题三】

【变式2】已知数列和满足：，，其中为实数，n为正整数.

（Ⅰ）对任意实数，证明数列不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论；

解析：（Ⅰ）假设存在实数，使得数列是等比数列，则，，必然满足

由得，显然矛盾，

即不存在实数使得数列是等比数列。

（Ⅱ）根据等比数列的定义：

即

又

所以当时，数列不是等比数列；当时，数列是等比数列.

类型二：数列与不等式

例2. (2017  江苏高考)记U={1,2,…，100}.对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若,定义ST=0;若T={t1，t2，…，tk}，定义.例如：T={1,3,66}时，.现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T={2,4}时，.

(1)    求数列的通项公式；

(2)    对任意正整数，若，求证：；

(3)    设,求证：.

【解析】（1）由已知得.

于是当T={2,4}时，.

又，故，即.

所以数列的通项公式为.

（2）因为，，

所以.

因此，.

（3）下面分三种情况证明.

①若是的子集，则.

②若是的子集，则.

③若不是的子集，且不是的子集.

令，则，，.

于是，，进而由，得.

设是中的最大数，为中的最大数，则.

由（2）知，，于是，所以，即.

又，故，

从而，

故，所以，

即.

综合①②③得，.

举一反三：

【变式1】（2015重庆高考）在数列{an}中，a1=3，an+1an+λan+1+μan2=0（n∈N+）

（Ⅰ）若λ=0，μ=﹣2，求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若λ=（k0∈N+，k0≥2），μ=﹣1，证明：2+＜＜2+．

【解析】（Ⅰ）由λ=0，μ=﹣2，有 （ n∈N+）．

若存在某个n0∈N+，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，

∴对任意n∈N+，an≠0．

从而an+1=2an（n∈N+），即{an}是一个公比q=2的等比数列．

故．

（Ⅱ）证明：由，数列{an}的递推关系式变为

，变形为：（n∈N）．

由上式及a1=3＞0，归纳可得

3=a1＞a2＞…＞an＞an+1＞…＞0．

∵=，

∴对n=1，2，…，k0求和得：

=

＞．

另一方面，由上已证的不等式知，，

得=2+．

综上，2+＜＜2+．

【变式2】设数列的前项和为．已知，，．

（Ⅰ）设，求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，，求的取值范围．

解析：（Ⅰ）依题意，，即，

由此得．

因此，所求通项公式为，．①

（Ⅱ）由①知，，

于是，当时，

，

，

当时，．

又．

综上，所求的的取值范围是．

类型三：实际应用问题

例3.某地区现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加，人均粮食占有量比现在提高，如果人口年增长率为，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷？（精确到1公顷）（粮食单产=，人均粮食占有量=）

解析：方法一：由题意，设现在总人口为人，人均粮食占有量为吨，现在耕地共有公顷，于是现在的粮食单产量吨/公顷，10年后总人口为，人均粮食占有量吨，若设平均每年允许减少公顷，则10年耕地共有()公顷，于是10年后粮食单产量为吨/公顷.

由粮食单产10年后比现在增加得不等式：

化简可得

即，

∴(公顷)

答：按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷.

方法二：由题意，设现在总人口为人，粮食单产为吨/公顷，现在共有耕地公顷，于是现在人均粮食占有量吨/人，10年后总人口为，粮食单产吨/公顷，若设平均每年允许减少公顷，则10年后耕地将有()公顷，于是10年后粮食总产量为，人均粮食占有量为，由人均粮食占有量10年后比现在增加得不等式：

，（余与上同）.

举一反三：

【变式1】根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的个月内累积的需求量（万件）近似地满足.按比例预测，在本年度内，需求量超过万件的月份是（    ）

A．5月、6月        B．6月、7月      C．7月、8月        D．9月、10月

【答案】C；

解析：第个月份的需求量超过万件，则

解不等式，得，即.

【变式2】某地区原有森林木材存量为，且每年增长率为，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为，设为年后该地区森林木材存量.

（1）写出的表达式.

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于,如果，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取）.

解析：（1）依题意，第一年森林木材存量为，

1年后该地区森林木材存量为：，

2年后该地区森林木材存量为：，

3年后该地区森林木材存量为：，

4年后该地区森林木材存量为：，

… …  

年后该地区森林木材存量为：

（2）若时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于，

即 ，

解得，即，

∴，

∴.

答：经过8年该地区就开始水土流失.

【变式3】某种汽车购买时的费用为10万元，每年应交保险费、养路费及汽油费合计9千元，汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列递增，问这种汽车使用多少年后报废最合算？（即年平均费用最少）

【答案】设汽车使用年限为年，为使用该汽车平均费用.

当且仅当，即（年）时等到号成立.

因此该汽车使用10年报废最合算.

【变式4】某市2010年底有住房面积1200万平方米，计划从2011年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.

（1）分别求2011年底和2012年底的住房面积；

（2）求2030年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）

【答案】

（1）2011年底的住房面积为1200(1+5%)－20=1240（万平方米），

2012年底的住房面积为1200(1+5%)2－20(1+5%)－20=1282（万平方米），

∴2011年底的住房面积为1240万平方米；

2012年底的住房面积为1282万平方米.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     

（2）2011年底的住房面积为[1200(1+5%)－20]万平方米，

2012年底的住房面积为[1200(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，

2013年底的住房面积为[1200(1+5%)3－20(1+5%)2－20(1+5%)－20]万平方米，

…………

2030年底的住房面积为[1200(1+5%)20―20(1+5%)19―……―20(1+5%)―20] 万平方米

即1200(1+5%)20―20(1+5%)19―20(1+5%)18―……―20(1+5%)―20

≈2522.64（万平方米），

∴2030年底的住房面积约为2522.64万平方米.