2020届二轮复习 函数的图象 学案（全国通用）

函数的图像

【考纲要求】

1.结合二次函数图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．

2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．

3.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．

4.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

5.会作简单的函数图象并能进行图象变换。

6.结合图像理解函数、方程、不等式之间的关系。

【知识网络】

【考点梳理】

考点一：一元二次方程的根与函数图像的关系

1. 当时，二次方程（）的根的个数可以用判别式与0的关系进行判断；

2. 二次方程（）的根、与系数的关系：，；

3.二次方程（）的根的分布：结合（）的图象可以得到一系列有关的结论（可以转化为）：

（1）方程的两根中一根比大，另一根比小.

（2）二次方程的两根都大于

（3）二次方程在区间内有两根

（4）二次方程在区间内只有一根，或而另一根在内，或而另一根在内.

（5）方程的一根比小且一根比大（）

考点二：零点

1. 函数的零点

(1) 一般地，如果函数在实数a处的值为0，即，则a叫做这个函数的零点．

(2) 对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数的零点具下列性质：

① 当它通过零点（不是偶次零点）时函数值符号改变；

② 相邻两个零点之间的所有的函数值保持符号不变。

(3)函数零点的性质是研究方程根的分布问题的基础，是通过对二次函数的零点的研究而推出的．是由特殊到一般的思想方法。

2.二分法

(1) 已知函数在区间[a，b]上连续的，且，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点的近似值的方法，叫做二分法。

(2)二分法定义的基础，是函数零点的性质；二分法定义本身给出了求函数零点近似值的步骤．只要按步就班地做下去，就能求出给定精确度的函数零点．

（3）二分法求函数零点的近似值的步骤，渗透了算法思想与程序化意识．此步骤本身就是一个解题程序。这种程序化思想在计算机上得到了广泛的应用．

考点三：函数模型

常用的几类函数模型

(1)一次函数模型：；

(2)反比例函数模型：；

(3)二次函数模型：；

(4)指数函数模型：；

(5)对数函数模型：；

(6)幂函数模型：。

考点四：图象变换

（一） 函数图象

1.作图方法：

以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方法是本节的重点．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换．这也是个难点．

2.作函数图象的步骤：

①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；

③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）、特殊点（如：零点、极值点、与轴的交点）；

④描点连线，画出函数的图象。

（二） 图象变换

图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。

（1）平移变换（左加右减，上加下减）

把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，

把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，

把函数的图像向上平移个单位，得到函数的图像，

把函数的图像向下平移个单位，得到函数的图像。

（2）伸缩变换

①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得 (0<<1)

②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得 (>1)

③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得 (>1)

④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得 (0<<1)

（3）对称变换：

①函数和函数的图像关于轴对称

函数和函数的图像关于轴对称

函数和函数的图像关于原点对称

函数和函数的图像关于直线对称

      简单地记为：轴对称要变，轴对称要变，原点对称都要变。

②对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是

（4）翻折变换：

     ①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到轴上方，得到函数的图像；

②保留轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数的图像。

【典型例题】

类型一：图象变换

例1．由函数的图象，通过怎样的图象变换，可以作出的图象？

【解析】∵，

∴要得到的图象，需要把的图象经过以下的变换才能得到：

即.

【总结升华】作函数图象的基本方法有两种：

(1)描点法 ；

(2)图象变换法：利用基本初等函数变换作图，其中掌握好(1)平移变换，(2) 对称变换， (3) 伸缩变换。

举一反三：

【变式】画出下列函数的图像

（1）   （2）   （3）   （4）

【答案】

类型二：一元二次方程的根的分布

例2．已知函数的一个零点比1大，一个零点比l小。求实数的取值范围．

【解析】

方法一：设方程的两根分别为、（）

则 即

由韦达定理得：

即，解得：

方法二：函数的大致图象如图：

 则 即

解得：

【总结升华】1. 这类题为方程的实根分布问题，解决此类问题一定要注意结合图象，从判别式、韦达定理、对称轴、端点函数值的大小、开口方向等方面去考虑使结论成立的所有条件。函数与方程联系密切，可把函数问题转化为方程问题解决，也可用数形结合法。

2. 函数y=ax2+bx+c, 当a≠0时，才是二次函数，具体问题时，切忌忽略讨论a=0的情况。

3．三个”二”次的关系是高考考查的重中之重，把二次方程和二次不等式的问题从二次函数的观点出发运用数形结合思想分析处理是高考应考必须落实的基本思路。

举一反三：

【变式】已知方程至少有一正根，求实数的取值范围.

【答案】从二次函数的观点出发，结合函数图象与x轴交点的位置解决问题并对进行分类讨论。

令，

则函数的图象与轴的交点至少有一个在原点的右侧，

（1）若，则与x轴交点，符合题意。

（2）若，∵，即函数的图象一定过点，有

①当时，的图象开口向上，只有下图所示情形符合题意，

∴即,解得.

②当时，的图象开口向下，必然有一个交点在原点右侧，符合题意.

综上可得

类型三：零点的判定

例3. 求方程的解的个数．

【解析】作出函数和的图象，

且时，，，有（如图）

由图象可以知道：函数和的图象的交点的个数为3，

即方程的解的个数为3.

【总结升华】

1.本题在求解的过程中，只需作出反映函数性状的“大致”图象，结合函数的单调区间便可解决本问题，只要得出极大值为正，极小值为负，便可立即得到原方程有3个根．

2.把方程问题转化为函数问题，将方程和函数紧密联系起来，利用数形结合思想解决问题比较方便。通过计算作方程所对应函数的函数值表格或作出函数的图象，用函数值的变化情况分析零点所在的区间，然后再利用单调性确定个数。

3. 对于超越方程的根，无法用代数的方法求得它的具体的解，只能把方程问题转化为函数问题确定它的解的个数.例如：，，等。

举一反三：

【变式】方程的实数解的个数为           。

【答案】作和的图象（如图）

当时，，因此方程有一个实数根．

类型四：综合应用

例4.  已知点在函数的图象上运动 ，其对应点在函数的图象上运动，

（1）求的解析式；

（2）问：是否存在实数,()，使得函数在区间上的值域为.

【解析】

（1）设的图象上的点,据题意有：即，

∵点在函数的图象上

∴，　∴.

（2）由（1）知：， ∴的图象的对称轴：，

又, 则有：

①当时，在区间上单调递增，有，

即，解得，∴ , .

②当时，易知，所以,显然不合题意.

③当时，，根据计算易知不合题意.

∴ 综上，, .

另解：∵,

∴ ，即,　∴,

∵对称轴：， ∴在区间上单调递增，则有，

即，解得，

∴ , .

【总结升华】这是一个求轨迹方程与二次函数的综合问题。求轨迹实质是相关点法解决的，而二次函数问题是属于给定二次函数，而取值的区间是一个动区间的问题，其值域与二次函数图象变化趋势相关，即要抓住二次函数单调性改变的分界线即对称轴与的相对位置展开讨论，并且不重不漏。而另解中应用了二次函数的最值，从而确定了与对称轴之间的位置，使问题的解法一下子就简化了。

举一反三：

【变式】已知函数(,,)是奇函数，当时，有最小值2，其中且.

(1)试求函数的解析式；

(2)问函数的图象上是否存在关于点对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由 

【答案】

 (1)∵是奇函数，∴,即，∴,

∵, ,∴当时，，

当且仅当，即时等号成立，

∴于是,∴,

由得，即，∴,解得，

又,∴,, ∴.

(2)设存在一点在的图象上，

并且关于点的对称点也在的图象上，

则，消去得,解得：.

代入方程解得：或，

∴的图象上存在两点,关于点对称.