2020届二轮复习 数列求和 学案（全国通用）
展开培优点十二 数列求和
1．错位相减法
例1：已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，
．
（1）求数列与的通项公式；
（2）记，，求证：．
【答案】（1），；（2）见解析．
【解析】（1）设的公差为，的公比为，
则，，
即，解得：，
，．
（2），①
，②
得
，
∴所证恒等式左边，右边，
即左边右边，所以不等式得证．
2．裂项相消法
例2：设数列，其前项和，为单调递增的等比数列，， ．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）时，，
当时，符合上式，，
∵为等比数列，，
设的公比为，则，而，
，解得或，
∵单调递增，，．
（2），
．
一、单选题
1．已知等差数列中，，，则项数为（ ）
A．10 B．14 C．15 D．17
【答案】C
【解析】∵，∴，
∴，，故选C．
2．在等差数列中，满足，且，是前项的和，若取得最大值，则（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】设等差数列首项为，公差为，
由题意可知，，，
二次函数的对称轴为，开口向下，
又∵，∴当时，取最大值．故选C．
3．对于函数，部分与的对应关系如下表：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | |
3 | 7 | 5 | 9 | 6 | 1 | 8 | 2 | 4 |
数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则（ ）
A．7554 B．7549 C．7546 D．7539
【答案】A
【解析】由题意可知：，，，，，
点都在函数的图象上，则，，，，，
则数列是周期为4的周期数列，
由于，且，
故．故选A．
4．设等差数列的前项和，，，若数列的前项和为，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】为等差数列的前项和，设公差为，，，
则，解得，则．
由于，则，
解得．故答案为10．故选C．
5．在等差数列中，其前项和是，若，，则在，，，中最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于，，
∴可得，，
这样，，，，，，，而，，
∴在，，，中最大的是．故选C．
6．设数列的前项和为，则对任意正整数，（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵数列是首项与公比均为的等比数列．
∴其前项和为．故选D．
7．已知数列满足，，，，若恒成立，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意知，，由，
得，
∴，
∴恒成立，，故最小值为，故选D．
8．数列的前项和为，若，则（ ）
A．2018 B．1009 C．2019 D．1010
【答案】B
【解析】由题意，数列满足，
∴
，故选B．
9．已知数列中，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
由，解得，
令，故．故选A．
10．已知函数，且，则（ ）
A．20100 B．20500 C．40100 D．10050
【答案】A
【解析】，当为偶数时，，
当为奇数时，，
故
．故选A．
11．已知数列满足：，，，则的整数部分为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
，
∴原式，
当时，，
∴整数部分为1，故选B．
12．对于任意实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，其前项和为，若是满足的最小整数，则的值为（ ）
A．305 B．306 C．315 D．316
【答案】D
【解析】由题意，，当时，可得，（1项）
当时，可得，（2项）
当时，可得，（4项）
当时，可得，（8项）
当时，可得，（16项）
当时，可得，（项）
则前项和为，
，
两式相减得，
∴，此时，
当时，对应的项为，即，故选D．
二、填空题
13．已知数列满足，记为的前项和，则__________．
【答案】440
【解析】由可得：
当时，有， ①
当时，有， ②
当时，有， ③
有，有，
则
．
故答案为440．
14．表示不超过的最大整数．若，
，
，
，则__________．
【答案】，
【解析】第一个等式，起始数为1，项数为，，
第二个等式，起始数为2，项数为，，
第三个等式，起始数为3，项数为，，
第个等式，起始数为，项数为，，，
故答案为，．
15．已知函数，则________；
【答案】2018
【解析】∵
，
设， ①
则， ②
得，
∴．故答案为2018．
16．定义为个正整数，，，的“均倒数”，若已知数列的前
项的“均倒数”为，又，则_________；
【答案】
【解析】∵数列的前项的“均倒数”为，
∴，解得，∴，
当时，，
当时，上式成立，则，
∴，，
则．
故答案为．
三、解答题
17．正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项．
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）设等差数列的公差为，则由已知得：，即，
又，解得或（舍去），，
∴，
又，，∴，∴；
（2）∵，
，
两式相减得，
则．
18．已知为数列的前项和，且，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若对，，求数列的前项的和．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1），，
当时，，化为，
∵，∴，
当时，，且，解得．
∴数列是等差数列，首项为1，公差为3．∴；
（2）．
∴，
∴的前项的和．
