2020届二轮复习（理）第1讲函数与方程的思想学案

　第一编

讲方法

第1讲　函数与方程的思想

「思想方法解读」　　函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．如求数列中的项或最值、求不等式中的参量、求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想，构建函数将其转化为函数问题．

方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式中的系数等问题.

热点题型探究

热点1  函数与方程思想在不等式中的应用

例1　(1)(2019·新疆昌吉市教育共同体高三月考)若关于x的不等式1＋acosx≥sin在R上恒成立，则实数a的最大值为(　　)

A．－ B．

C． D．1

答案　B

解析　1＋acosx≥sin＝(2cos2x－1)，令cosx＝t∈[－1,1]，并代入不等式，则问题转化为不等式4t2－3at－5≤0在t∈[－1,1]上恒成立，即⇒－≤a≤.故选B.

(2)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为(　　)

A．(－∞，－2]   B．[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)   D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案　D

解析　因为x∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4＞2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2＞0恒成立．构造函数g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以即

解得x＜－2或x＞2.

(3)(2019·山东省烟台市高三一模)若函数f(x)＝ex－e－x＋sin2x，则满足f(2x2－1)＋f(x)>0的x的取值范围为(　　)

A.   B．(－∞，－1)∪

C. D．∪(1，＋∞)

答案　B

解析　函数f(x)＝ex－e－x＋sin2x的定义域为R，且满足f(－x)＝e－x－ex＋sin(－2x)＝－(ex－e－x＋sin2x)＝－f(x)，

∴f(x)为R上的奇函数；又f′(x)＝ex＋e－x＋2cos2x≥2＋2cos2x≥0恒成立，∴f(x)为R上的单调增函数；又f(2x2－1)＋f(x)>0，得f(2x2－1)>－f(x)＝f(－x)，∴2x2－1>－x，即2x2＋x－1>0，解得x<－1或x>，所以x的取值范围是(－∞，－1)∪.故选B.

函数与不等式的相互转化，把不等式问题转化为函数问题，借助函数的图象和性质可解决相关的问题．常涉及不等式恒成立问题、比较大小问题．一般利用函数思想构造新函数，从而研究函数性质破解问题．

1．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有(　　)

A．x＋y≥0 B．x＋y≤0

C．x－y≤0 D．x－y≥0

答案　B

解析　把不等式变形为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数f(t)＝2t－5－t，其为R上的增函数，所以有x≤－y，故选B.

2．已知a，b，c依次为方程2x＋x＝0，log2x＝2和logx＝x的实根，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a＞b＞c B．b＞a＞c

C．c＞b＞a D．b＞c＞a

答案　D

解析　由log2b＝2，得b＝4，由2x＋x＝0，logx＝x，得2x＝－x，log2x＝－x，在同一坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝－x，y＝log2x的图象(图略)，观察交点的横坐标，可得b＞c＞a.

3．(2019·宁夏银川一中高三二模)已知不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，则a的取值范围是(　　)

A．[1，＋∞) B．[－1,4)

C．[－1，＋∞) D．[－1,6]

答案　C

解析　不等式xy≤ax2＋2y2对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，等价于a≥－22，对于x∈[1,2]，y∈[2,3]恒成立，令t＝，则1≤t≤3，∴a≥t－2t2在[1,3]上恒成立，令s＝－2t2＋t＝－22＋，∴t＝1时，smax＝－1，∴a≥－1，a的取值范围是[－1，＋∞)，故选C.

热点2  函数与方程思想在数列中的应用

例2　(1)(2019·衡水市第十三中学高三质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)＝4f(x＋2)，当x∈[0，2)时，f(x)＝设f(x)在[2n－2,2n)上的最大值为an(n∈N*)，且{an}的前n项和为Sn，若Sn<k对任意的正整数n均成立，则实数k的取值范围为(　　)

A. B．

C．[2，＋∞) D．

答案　B

解析　由题意，得当x∈[0,1)时，1≤f(x)≤；当x∈[1,2)时，≤f(x)≤1，所以当x∈[0,2)时，f(x)的最大值为；又由f(x＋2)＝f(x)，所以当x∈[2,4)时，f(x)的最大值为×；当x∈[4,6)时，f(x)的最大值为×2，…，所以当x∈[2n－2,2n)时，f(x)的最大值an＝×n－1，由等比数列的前n项和公式，得Sn＝＝－×n<.

若Sn<k对任意的正整数n均成立，则k≥，故选B.

(2)(2019·南京师范大学附属中学高三模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝4＋n－1，若对于任意的n∈N*都有1≤x(Sn－4n)≤3恒成立，则实数x的取值范围是________．

答案　[2,3]

解析　由题设可得Sn＝4n＋＝4n＋－n，则Sn－4n＝－n，不等式1≤x(Sn－4n)≤3可化为1≤x≤3，

即×≤x≤×，则问题转化为求n的最大值和最小值．由于n∈N*，所以n的最大值和最小值分别为和－，则×≤x≤×，即2≤x≤3.

(3)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则数列{an}的公差d＝________，nSn的最小值为________．

答案　　－49

解析　由题意知10a1＋45d＝0,5a1＋60d＝25，解得d＝，

a1＝－3，所以nSn＝n＝，

设f(x)＝(x＞0)，则f′(x)＝x(3x－20)，

令f′(x)＝0，解得x＝(x＝0舍去)，

当x∈时，f(x)单调递减，当x∈时，f(x)单调递增．所以当x＝时，f(x)取得极小值．取n＝6，得f(6)＝－48，取n＝7，得f(7)＝－49，故nSn的最小值为－49.

数列的通项与前n项和是自变量为整数的函数，可用函数的观点去处理数列问题．常涉及最值问题或参数范围问题，解决问题的关键是利用函数的单调性来研究最值问题．

1．(2019·广东省天河区高三年级摸底考试)已知数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，设cn＝abn，Tn＝c1＋c2＋…＋cn(n∈N*)，则当Tn<2019时，n的最大值是(　　)

A．9 B．10

C．11 D．12

答案　A

解析　∵{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，

∴an＝2n－1，∵{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，∴bn＝2n－1，

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝ab1＋ab2＋…＋abn＝a1＋a2＋a4＋…＋a2n－1＝(2×1－1)＋(2×2－1)＋(2×4－1)＋…＋(2×2n－1－1)＝2(1＋2＋4＋…＋2n－1)－n＝2×－n＝2n＋1－n－2，

∵Tn<2019，∴2n＋1－n－2<2019，得n≤9.则当Tn<2019时，n的最大值是9.故选A.

2．(2019·郑州市高三第三次质量检测)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，若集合M＝{n|n(n＋1)≥t(an＋1)，n∈N*}中有3个元素，则实数t的取值范围是________．

答案　1＜t≤

解析　由题意，因为数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，即数列{an＋1}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，得an＝2n－1.因为n(n＋1)≥t(an＋1)，化简可得t≤，记f(x)＝，f′(x)＝＝.

当x≥3时，f′(x)＜0，此时f(x)是单调递减的．

故当n≥3时，f′(n)＜0，此时f(n)也是单调递减的；

f(1)＝1，f(2)＝，f(3)＝，f(4)＝；

当n≥5，f(n)＜.

因为集合M＝{n|n(n＋1)≥t(an＋1)，n∈N*}中有3个元素，故只需找出f(n)＝中最大的三个数，而f(2)，f(3)，f(4)是最大的三个数，故集合M中的这三个元素只能是2,3,4.

所以1＜t≤.

3．已知数列{an}满足a1＝33，an＋1－an＝2n，则的最小值为________．

答案　

解析　根据数列的递推关系式an＋1－an＝2n，可利用累加法求解其通项公式，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2[1＋2＋…＋(n－1)]＋33＝n2－n＋33.所以＝＋n－1，设f(x)＝＋x－1，令f′(x)＝＋1＞0，则f(x)在(，＋∞)上是单调递增的，在(0，)上是单调递减的，因为n∈N*，所以当n＝5或6时，有最小值．

又因为＝，＝＝，

所以的最小值为＝.

热点3  函数与方程思想在解析几何中的应用

例3　(2019·河南省天一大联考高三阶段性测试)已知椭圆＋＝1(a>b>0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是＋1，且1，a,4c成等比数列．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．

解　(1)由已知，得解得

所以椭圆的方程为＋y2＝1.

(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．

与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝.

可得线段AB的中点为N.

当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0；

当k≠0时，直线MN的方程为y＋＝－，

化简得ky＋x－＝0.

令y＝0，得m＝.

所以m＝＝∈.

综上所述，实数m的取值范围为.

解析几何中的范围问题是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的关键是抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数的性质来使问题得以解决．

(2019·衡水中学高三一调)已知焦点在y轴上的抛物线C1过点(2,1)，椭圆C2的两个焦点分别为F1，F2，其中F2与C1的焦点重合，过点F1与C2的长轴垂直的直线交C2于A，B两点，且|AB|＝3，曲线C3是以坐标原点O为圆心，以|OF2|为半径的圆．

(1)求C2与C3的标准方程；

(2)若动直线l与C3相切，且与C2交于M，N两点，求△OMN的面积S的取值范围．

解　(1)由已知，设抛物线C1的方程为x2＝2py(p>0)，

则4＝2p，解得p＝2，即C1的标准方程为x2＝4y.

则F2(0,1)，不妨设椭圆C2的方程为＋＝1(a>b>0)，

由得x＝±，所以|AB|＝＝3，

又a2＝b2＋1，所以a＝2，b＝，

故C2的标准方程为＋＝1.

易知|OF2|＝1，所以C3的标准方程为x2＋y2＝1.

(2)因为直线l与C3相切，所以圆心O到直线l的距离为1.所以S＝×|MN|×1＝.

当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝±1，易知两种情况所得到的△OMN的面积相等．

由得y＝±.

不妨设M，N，则|MN|＝，

此时S＝＝.

当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，

则＝1，即m2＝k2＋1.

由得(3k2＋4)x2＋6kmx＋3m2－12＝0，

所以Δ＝36k2m2－4(3k2＋4)(3m2－12)＝48(4＋3k2－m2)＝48(2k2＋3)>0恒成立．

设M(xM，yM)，N(xN，yN)，则xM＋xN＝，xMxN＝.

所以S＝＝  

＝

＝ ·

＝.

令3k2＋4＝t(t≥4)，则k2＝，

所以S＝ ＝ ，

令＝m′，则m′∈，易知y＝－m′2－m′＋2在区间上单调递减，所以≤S<.

综上，△OMN的面积S的取值范围为.