2020届二轮复习(理)第2部分专题5第1讲　直线与圆学案


第1讲　直线与圆
[教师授课资源]
[备考指导]
圆的考查有四种趋势
①考查圆的选择、填空，重点考查圆的切线，圆的弦长，利用圆的特殊性、利用几何意义处理题目，特别注意数形结合.
②与圆锥曲线结合，简单考查，重心不在圆.
*③在极坐标系参数方程上，重点考查圆的有关问题，思路，参考方程法或几何法处理有关最值问题.
④与三角形结合，涉及内切圆与外接圆问题.

[做小题——激活思维]
1．直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a＝(　　)
A．－1　　　　　　 B．1
C．±1 D．－
C　[由(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1，故选C.]
2．直线l过点(2,2)，且点(5,1)到直线l的距离为，则直线l的方程是(　　)
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0
C　[由题意，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以＝，解得k＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0，故选C.]
3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B　[∵两圆心距离d＝＝，R＋r＝2＋3＝5，r－R＝1，∴r－R＜d＜R＋r，∴两圆相交．]
4．直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦长为________．
6　[假设直线4x－3y＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10相交所得的弦为AB，∵圆的半径r＝，圆心到直线的距离d＝＝1，∴弦长|AB|＝2×＝2＝2×3＝6.]
5．[一题多解]经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的方程为________．
(x－1)2＋y2＝4　[法一：(待定系数法)设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.
法二：(几何法)根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心坐标O(1，a)，则圆的半径r＝＝|a－2|，所以a＝0，r＝2，所以圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.]
6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
(－2，－4)　5　[由题意可知a2＝a＋2，∴a＝－1或2.当a＝－1时，方程可化为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，故圆心为(－2，－4)，半径为5.
当a＝2时，方程可化为x2＋y2＋x＋2y＋＝0，不表示圆．]
[扣要点——查缺补漏]
1．直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0的位置关系
(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0(斜率相等)且B1C2－B2C1≠0(在y轴上截距不等)；
(2)直线Ax1＋B1y＋C1＝0与直线Ax2＋B2y＋C2＝0垂直⇔A1A2＋B1B2＝0.如T1.
2．点到直线的距离及两平行直线间的距离
(1)点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝；如T2.
(2)两平行线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝.
3．圆的方程
(1)标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)；(方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆⇔A＝C≠0，且B＝0，D2＋E2－4AF＞0)；如T5，T6.
(3)参数方程：；
(4)直径式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
4．点、直线、圆的位置关系
(1)研究点、直线、圆的位置关系最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题．如T3.
(2)与弦长l有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系r2＝d2＋来处理．如T4.

　圆的方程及应用(5年4考)

[高考解读]　圆的方程求法以待定系数法为主，主要考查方程思想及数学运算的能力，与圆有关的最值问题主要考查等价转化及数形结合的意识，均属于中档题目.
1．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　 )
A.　　　B.　　　C.　　　D.
B　[设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
∴∴
∴△ABC外接圆的圆心为，
故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为
＝.]
2．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A．[2,6] B．[4,8]
C．[，3] D．[2，3]
A　[由题意知圆心的坐标为(2,0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3，最小距离是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.故选A.]
[教师备选题]
(2019·北京高考)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为________．
(x－1)2＋y2＝4　[如图，抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，

∵所求圆的圆心为F，且与准线x＝－1相切，
∴圆的半径为2，则所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝4.]

解决与圆有关的问题一般有2种方法
(1)几何法，通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．

1．(借助几何性质求圆的方程)圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
C　[由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m＞0)，则＝2，解得m＝2或m＝－(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.]
2．(借助待定系数法求圆的方程)已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成的两段弧长之比为1∶2，则圆C的方程为________．
x2＋＝　[因为圆C关于y轴对称，
所以圆心C在y轴上，
可设C(0，b)，
设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.
依题意，得解得
所以圆C的方程为x2＋＝.]
3．[一题多解](平面向量与圆的交汇)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5,0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．
3　[法一：设A(a,2a)，a＞0，则C，
∴圆C的方程为＋(y－a)2＝＋a2，
由得
∴·＝(5－a，－2a)·＝＋2a2－4a＝0，
∴a＝3或a＝－1，又a＞0，∴a＝3，∴点A的横坐标为3.
法二：由题意易得∠BAD＝45°.
设直线DB的倾斜角为θ，
则tan θ＝－，
∴tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，
∴kAB＝－tan∠ABO＝－3.
∴AB的方程为y＝－3(x－5)，
由得xA＝3.]
　直线与圆、圆与圆的位置关系

[高考解读]　以直线与圆相交、相切为载体，考查数形结合的能力，圆的几何性质及勾股定理的有关知识，知识相对综合，有一定的区分度.
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________.
4　[由直线l：mx＋y＋3m－＝0知其过定点(－3，)，圆心O到直线l的距离为d＝.
由|AB|＝2得＋()2＝12，
解得m＝－.又直线l的斜率为－m＝，
所以直线l的倾斜角α＝.
画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝.在Rt△CDE中，可得|CD|＝＝2×＝4.]
2．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．
(1)求k的取值范围；
(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.
[解](1)由题设，可知直线l的方程为y＝kx＋1.
因为直线l与圆C交于两点，所以<1，
解得 所以k的取值范围为.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．
将y＝kx＋1代入圆的方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，
整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
·＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1
＝＋8.
由题设可得＋8＝12，解得k＝1，
所以l的方程为y＝x＋1.
故圆C的圆心(2,3)在直线l上，所以|MN|＝2.

1．求解圆的弦长的3种方法
几何法
根据半径，弦心距，弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系r2＝d2＋(其中l为弦长，r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)
公式法
根据公式l＝|x1－x2|求解(其中l为弦长，x1，x2为直线与圆相交所得交点的横坐标，k为直线的斜率)
距离法
联立直线与圆的方程，解方程组求出两交点坐标，用两点间距离公式求解
2.直线与圆相切问题的求解策略
(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式；
(2)切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝(其中C为圆心)．
提醒：过圆外一点引圆的切线定有两条，注意切线斜率不存在的情形．

1．(已知弦长求方程)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点，若|MN|＝，则直线l的方程为________．
y＝2x＋1或y＝x＋1　[直线l的方程为y＝kx＋1，圆心C(2,3)到直线l的距离d＝＝，
由R2＝d2＋，
得1＝＋，解得k＝2或，
故所求直线l的方程为y＝2x＋1或y＝x＋1.]
2．(与不等式交汇)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于(　　)
A.　　　　　　　 B．－
C．± D．－
B　[曲线y＝的图象如图所示：
若直线l与曲线相交于A，B两点，则直线l的斜率k＜0，设l：y＝k(x－)，则点O到l的距离d＝.
又S△AOB＝|AB|·d＝×2·d＝≤＝，当且仅当1－d2＝d2，即d2＝时，S△AOB取得最大值，所以＝，
∴k2＝，∴k＝－.故选B.]
3．(与物理学科交汇)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为(　　)
A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
D　[由光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点(2，－3)，设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
又因为光线与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，
所以＝1，
整理得12k2＋25k＋12＝0，解得k＝－或k＝－.]
4．(综合应用)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
[解]　由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.
设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以
|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，
由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝2.
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则＝，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.
当k＝时，
将y＝x＋代入＋＝1，
并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝.
所以|AB|＝|x2－x1|＝.
当k＝－时，
由图形的对称性可知|AB|＝.
综上，|AB|＝2或|AB|＝.