2020届二轮复习(理)第3部分策略2巧用6招秒杀选择、填空题学案

解法1　直接法

【典例1】(1)设复数z满足z(1＋i)＝i－3，则复数的实部为(　　)

A．－2 B．2 

C．－1 D．1

(2)将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是(　　)

A．y＝2cos2x B．y＝2sin2x

C．y＝1＋sin D．y＝cos 2x

(1)A　(2)A　[(1)由z(1＋i)＝i－3，得z＝＝－1＋2i，所以＝＝－2＋i.

故的实部为－2，选A.

(2)函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位得y＝sin，再向上平移1个单位得y＝sin2x＋＋1＝1＋cos 2x＝2cos2x.]

1．直接法是解答客观题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必须得出正确的答案，解题时要多角度思考问题，善于简化计算过程，快速准确得到结果．

2．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．

【链接高考1】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.

(2)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－eax，若f(ln 2)＝8，则a＝____________.

(1)　(2)－3　[(1)由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝.

(2)当x>0时，－x＜0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝＝8，所以a＝－3.]

解法2　特值法

【典例2】　(1)如图，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为(　　)

A．3∶1 B．2∶1

C．4∶1   D.∶1

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.

(1)B　 (2) 　[(1)将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ，则有V＝V＝V，V＝V，所以截后两部分的体积比为2∶1.

 (2)取特殊值a＝3，b＝4，c＝5，

则cos A＝，cos C＝0，

从而＝.]

特值法应注意的问题

特值法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特值法解选择题时，要注意以下两点：

第一，取特值尽可能简单，有利于计算和推理；

第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.

【链接高考2】(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)＜0，则a的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

D　[设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a.

∵g′(x)＝ex(2x＋1)，

∴当x＜－时，g′(x)＜0；当x＞－时，g′(x)＞0，

∴当x＝－时，[g(x)]min＝－2e.

∵g(1)＝e，g(0)＝－1，g(－1)＝－3e－1，h(1)＝0，h(0)＝－a，h(－1)＝－2a，

又∵a＜1，∴－a＞－1.

∴当x＝0时，g(0)＜h(0)．

由题意存在唯一整数x0，使得g(x0)＜h(x0)，

∴

∴－3e－1≥－2a，∴a≥.

又∵a＜1，∴≤a＜1.

经检验a＝符合题意．故选D.]

解法3　排除法(淘汰法)

【典例3】　如图，半径为1的圆O中，A，B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设∠BOP＝x，将动点P到A，B两点的距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0,2π]上的图象大致为(　　)

A　[以角度为变量的三角函数图象是弯曲的，排除C，D；当∠BOP＝时，y＝f(x)＝2＜3，排除B.选A.]

对于以选择题出现的函数图象问题，宜用排除法处理，排除法的主要依据有函数的定义域、单调性、奇偶性、图象的变换，特殊值，图象趋势等.一般先考虑奇偶性，再考虑特殊值或者图象趋势.

【链接高考3】(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致为(　　)

D　[当x＝0时，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0或x＝±，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1,1)上有三个极值点，所以排除C，故选D.]

解法4　图解法(数形结合法)

【典例4】(1)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[1,3]时，f(x)＝－x2＋4x－3，函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－3,3]上的零点的个数为(　　)

A．2　　　　　　　 B．4

C．6 D．8

(2)已知△ABC的三个顶点的坐标满足如下条件：向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则∠AOB的取值范围为________．

(1)B　(2)　[(1)因为f(x＋1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x＋1)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数．在区间[－3,3]上，函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数，就是方程f(x)＝g(x)的根的个数，即函数f(x)和g(x)的图象的交点的个数．

于是，在同一平面直角坐标系内分别画出函数f(x)和g(x)的图象(如图)，则由图可知：在区间[－3,3]上两个函数的图象共有4个交点，故选B.

(2)由||＝＝，可知点A的轨迹是以C(2,2)为圆心，为半径的圆．过原点O作圆的切线，切点分别为M，N，如图所示，

连接CM，CN，则向量与的夹角θ的取值范围是[∠MOB，∠NOB]．由图可知∠COB＝，因为||＝2，由||＝||＝||，知∠COM＝∠CON＝，所以∠BOM＝－＝，∠BON＝＋＝，所以≤θ≤，故∠AOB的取值范围为.]

图解法就是根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，常用于函数、向量、解析几何等问题中，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，得出结论.

【链接高考4】(1)(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，构成n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为(　　)

A.   B.

C.   D.

(2)(2017·全国卷Ⅲ)设x，y满足约束条件则z＝x－y的取值范围是(　　)

A．[－3,0] B．[－3,2]

C．[0,2] D．[0,3]

(1)C　(2)B　[(1)因为x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得＝，即＝，所以π＝.

(2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即zmax＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即zmin＝0－3＝－3.

所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．

故选B.]

解法5　构造法

【典例5】(1)在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是________．

(2)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积为________．

(1)an＝2n－1(n∈N*)　(2)π　[(1)由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，

∴数列{an＋1}是首项为2，公比q＝2的等比数列，

因此an＋1＝2·2n－1＝2n，

故an＝2n－1(n∈N*)．

(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.

∴CD＝＝2R，因此R＝，

故球O的体积V＝＝π.]

构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.

【链接高考5】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(0,1)

B．(－1,0)∪(1，＋∞)

C．(－∞，－1)∪(－1,0)

D．(0,1)∪(1，＋∞)

A　[设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，

∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.

∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，

∴g(x)的图象的示意图如图所示．

当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,0<x<1，

当x<0，g(x)<0时，f(x)>0，x<－1，

∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.]

解法6　估算法

【典例6】　已知球O的直径FC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠AFC＝∠BFC＝30°，则棱锥F­ABC的体积为(　　)

A．3　　　　　 B．2

C. D．1

C　[观察此题选项，发现大小差距较大，我们可以直接采用估算法，算出棱锥F­ABC的体积的近似值，然后直接选取与近似值最接近的选项．作FD⊥AB，则计算S△FAB＝AB×FD＝后， 我们将棱锥C­FAB的高h近似认为是AC，则V棱锥F­ABC＝V棱锥C­FAB≈S△FAB×AC＝××2＝，再与选项比较，可以发现与选项C接近，所以直接选C.]

若有些问题不易有时也没有必要进行精确的运算和判断，则可以进行估算.估算是一种数学意识，它通过合理的观察比较、猜想推理或验证，做出正确的选择.当选项差距较大且没有合适的解题思路时，我们可以通过适当的放大或者缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，然后选取与估算值最接近的选项.

【链接高考6】(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)

A．165 cm B．175 cm

C．185 cm D．190 cm

B　[设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得＞≈0.618，解得m>169.890.

由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得＞≈0.618，得n<42.071.

所以头顶到肚脐的长度小于26＋42.071＝68.071.

所以肚脐到足底的长度小于≈≈110.147.

所以此人身高m<68.071＋110.147＝178.218.

综上，此人身高m满足169.890<m<178.218.

所以其身高可能为175 cm.

故选B.]