2020届二轮复习(理)第3部分策略4妙用8个二级结论巧解高考题学案


　奇函数的最值性质
已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.
【典例1】(1)已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，h(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间 (0，＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为(　　)
A．－5　　　　　 B．－3
C．－1 D．5
(2)(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝log3(x＋)＋在[－k，k]，(k>0)上的最大值与最小值分别为M和m，则M＋m＝(　　)
A．4 B．2
C．1 D．0
(1)C　(2)B　[(1)令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，所以F(x)为奇函数，
∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5,
∴F(x)＝h(x)－2≤3.
又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
F(－x)≤3⇒F(x)≥－3，
∴h(x)≥－3＋2＝－1，故选C.
(2)已知f(x)＝log3(x＋)＋，则f(－x)＝log3(－x＋)＋，
则f(x)＋f(－x)＝2，函数f(x)在定义域内为非奇非偶函数，
令g(x)＝f(x)－1，
则g(x)＋g(－x)＝f(x)－1＋f(－x)－1＝0，
则g(x)在定义域内为奇函数．
设g(x)的最大值为t，则最小值为－t，则f(x)的最大值为M＝t＋1，
最小值为m＝－t＋1，则M＋m＝2，故选B.]
【链接高考1】(2012·新课标全国)设函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.
2　[显然函数f(x)的定义域为R，
f(x)＝＝1＋，
设g(x)＝，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，
∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]
　抽象函数的周期性与对称性
1．函数的周期性
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周期T＝2a.
2．函数的对称性
已知函数f(x)是定义在R上的函数．
(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a,0)对称．
【典例2】(1)(2019·德州市高三联考)已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 019)＝(　　)
A．2 0192 B．1
C．0 D．－1
(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，g(x)＝(x－1)3＋1，若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 019，y2 019)，则 (xi＋yi)＝________.
(1)D　(2)4 038　[(1)根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 019)＝f(－1＋2 020)＝f(－1)，又由函数为奇函数，则f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(2 019)＝－1，故选D.
(2)由g(x)＝(x－1)3＋1知g(x)＋g(2－x)＝2，得函数y＝g(x)的图象关于点(1,1)对称
又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点关于点(1,1)对称，则x1＋x2 019＝x2＋x2 018＝x3＋x2 017＝…＝2x1 010＝2，
y1＋y2 019＝y2＋y2 018＝y3＋y2 017＝…＝2y1 010＝2，
故x1＋x2＋…＋x2 018＋x2 019＝2 019，y1＋y2＋…＋y2 018＋y2 018＝2 019，
即 (xi＋yi)＝4 038.]
【链接高考2】(2014·大纲高考)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
D　[由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，
又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，
所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.]
　两个经典不等式
1.对数形式：1－≤ln(x＋1)≤x(x>－1)，当且仅当x＝0时，等号成立．
2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立．
【典例3】　设函数f(x)＝1－e－x，证明：当x＞－1时，f(x)≥.
[证明]　当x＞－1时，f(x)≥当且仅当ex≥x＋1.
令g(x)＝ex－x－1，则g′(x)＝ex－1.
当x≤0时g′(x)≤0，g(x)在(－∞，0]是减函数；当x≥0时g′(x)≥0，g(x)在[0，＋∞)是增函数．
于是函数g(x)在x＝0处达到最小值，因而当x∈R时，g(x)≥g(0)，即ex≥x＋1.
所以当x＞－1时，f(x)≥.
【链接高考3】(2012·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为(　　)

B　[由题意得f(x)的定义域为{x|x>－1且x≠0}，所以排除选项D.令g(x)＝ln(x＋1)－x，则由不等式ln(x＋1)≤x知，g(x)≤0恒成立，故f(x)＝＜0恒成立，所以排除A，C，故选B.]
　三点共线的充要条件及其结论推广
1.设平面上三点O，A，B不共线，则平面上任意一点D与A，B共线的充要条件是存在实数λ与μ，使得＝λ＋μ，且λ＋μ＝1.
2．等和线的证明
若＝λ，且＝x＋y，那么x＋y＝λ，
如图1所示. 过点C作直线l∥AB，
在l上任作一点C′，连接OC′∩AB＝D′，如图2所示．

图1　　　　　　　　　　　图2
同理可得，以，为基底时，对应的系数和依然为λ.
【典例4】　[一题多解]在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
　[法一：(常规解法)如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.
由已知易得AB＝AT，
∴＝＝λ＋μ，
∴＝λ＋μ，
∵T，M，N三点共线，∴λ＋μ＝1，∴λ＋μ＝.
法二：(等和线定理法) 如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.
由已知易得AB＝AT，又＝λ＋μ，结合等和线定理得 λ＋μ＝.]
【链接高考4】(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为(　　)
A．3 B．2
C. D．2
A　[建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)．
设BD与圆C切于点E，连接CE，
则CE⊥BD.
∵CD＝1，BC＝2，
∴BD＝＝，
EC＝＝＝，
即圆C的半径为，
∴P点的轨迹方程为(x－2)2＋(y－1)2＝.
设P(x0，y0)，则(θ为参数)，
而＝(x0，y0)，＝(0,1)，＝(2,0)．
∵＝λ＋μ＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，
∴μ＝x0＝1＋cos θ，λ＝y0＝1＋sin θ.
两式相加，得
λ＋μ＝1＋sin θ＋1＋cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3
，
当且仅当θ＝＋2kπ－φ，k∈Z时，λ＋μ取得最大值3.故选A.]
　数列的相关结论
1.若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.
2．若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－1＝(2m－1)am，S奇－S偶＝am，＝.
3．公比q≠－1时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…成等比数列(n∈N*)．
4．若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则S偶＝qS奇．
【典例5】(1)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)
A．2 B.
C. D．3
(2)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝________.
(1)B　(2)10　[由已知＝3，得S6＝3S3，因为S3，S6－S3，S9－S6也为等比数列，所以(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，则(2S3)2＝S3(S9－3S3)．
化简得S9＝7S3，从而＝＝.
(2)由公式am－1＋am＋1－a＝0得2am－a＝0，解得am＝0或2.
又S2m－1＝＝(2m－1)am＝38.
显然可得am≠0，所以am＝2.
代入上式可得2m－1＝19，解得m＝10.]
【链接高考5】(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C　[∵Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，∴am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴公差d＝am＋1－am＝1，
由公式Sn＝na1＋d＝na1＋，
得
由①得a1＝，代入②可得m＝5.]
　多面体的外接球和内切球
1.长方体的对角线长d与共点的三条棱a，b，c之间的关系为d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球的半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.
2．棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.
【典例6】已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为(　　)
A． B．2
C．4 D．3
A　[由于直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形．把直三棱柱ABC­A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长，所以该三棱柱的侧棱长为＝.]
【链接高考6】(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为(　　)
A．12π B.π
C．8π D．4π
A　[设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.
所以正方体的体对角线长为2，所以正方体外接球的半径为，所以球的表面积为4π·()2＝12π，故选A.]
　圆锥曲线的中点弦问题
1．在椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)中：
(1)如图1所示，若直线y＝kx(k≠0)与椭圆E交于A，B两点，过A，B两点作椭圆的切线l，l′，有l∥l′，设其斜率为k0，则k0·k＝－.
(2)如图2所示，若直线y＝kx与椭圆E交于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，若直线PA，PB的斜率存在，且分别为k1，k2，则k1·k2＝－.
(3)如图3所示，若直线y＝kx＋m(k≠0且m≠0)与椭圆E交于A，B两点，P为弦AB的中点，设直线PO的斜率为k0，则k0·k＝－.

图1　　　　　图2　　　 　　　图3
2．在双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)中，类比上述结论有：
(1)k0·k＝.
(2)k1·k2＝.
(3)k0·k＝.
【典例7】　[一题多解]过点P(4,2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为AB的中点，则|AB|＝(　　)
A．2 B．2
C．3 D．4
D　[法一：由已知可得点P的位置如图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，
由消去y得(1－2k2)x2＋(16k2－8k)x－32k2＋32k－10＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，
因为P(4,2)为AB的中点，所以＝8，解得k＝1，满足Δ＞0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，
所以|AB|＝×＝4，故选D.
法二：由已知可得点P的位置如法一中图所示，且直线AB的斜率存在，设AB的斜率为k，
则AB的方程为y－2＝k(x－4)，即y＝k(x－4)＋2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以(x1＋x2)(x1－x2)＝2(y1＋y2)(y1－y2)，
因为P(4,2)为AB的中点，所以k＝＝1，所以AB的方程为y＝x－2，
由消去y得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，
所以|AB|＝×＝4，故选D.]
【链接高考7】(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．
(1)证明：k<－；
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且＋＋＝0.证明：2||＝||＋||.
[证明](1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＋＝1，＋＝1.
两式相减，并由＝k得＋·k＝0.
由题设知＝1，＝m，于是k＝－.
由题设得0 (2)由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则
(x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)．
由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1，y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0.
又点P在C上，所以m＝，从而P1，－，||＝.
于是||＝＝＝2－.
同理||＝2－.
所以||＋||＝4－(x1＋x2)＝3.
故2||＝||＋||.
　过抛物线y2＝2px(p>0)焦点的弦
过抛物线y 2＝2px(p>0)焦点的弦AB有：
(1)xA·xB＝.
(2)yA·yB＝－p2.
(3)|AB|＝xA＋xB＋p＝(α是直线AB的倾斜角).
【典例8】　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4 B.
C．5 D．6
B　[由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知
|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2 θ＝8cos2 θ，∴sin2 θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.]
【链接高考8】　[一题多解](2014·全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
D　[由已知得焦点坐标为F，因此直线AB的方程为y＝，即4x－4y－3＝0.
法一：联立抛物线方程化简得4y2－12y－9＝0，
故|yA－yB|＝＝6.
因此S△OAB＝|OF||yA－yB|＝××6＝.
法二：联立方程得x2－x＋＝0，故xA＋xB＝.
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝＋＝12，
同时原点到直线AB的距离为h＝＝，
因此S△OAB＝|AB|·h＝.]