2020届二轮复习(文)第1部分主题2复数、平面向量学案
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1．复数
掌握2类复数代数形式运算的方法
(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类项，不含i的看作另一类项，分别合并同类项即可．如T2.
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘分母的共轭复数，解题时要注意把i的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．如T1.
1．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
D [由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.
故选D.]
2．(2019·西安质量检测)设i是虚数单位，复数(a＋i)(1＋2i)为纯虚数，则实数a为( )
A．－2 B．2
C．－ D.
B [因为(a＋i)(1＋2i)＝a－2＋(2a＋1)i，且由题知其为纯虚数，所以解得a＝2，故选B.]
3．(2019·长沙模拟)已知i是虚数单位，若＝1－i，则z的共轭复数为( )
A．1－2i B．2－4i
C.－2i D．1＋2i
A [因为＝1－i，所以z＝＝＝＝1＋2i，z的共轭复数为1－2i，故选A.]
4．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝( )
A．2 B. C. D．1
C [∵z＝＝＝，
∴|z|＝＝.故选C.]
5．(2019·郑州第一次质量检测)在复平面内表示复数(m∈R，i为虚数单位)的点位于第二象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
C [由题意，＝＝－＋i，因为在复平面内该复数对应的点位于第二象限，
所以解得m＞0，即m∈(0，＋∞)，
故选C.]
2．平面向量的线性运算
解决平面向量问题的3种常用方法
(1)直接法
求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析，则有利于问题的顺利获解．这种解题思路，我们不妨称之为按“图”处理．如T1，T2.
(2)建系法：处理有关平面图形的向量问题时，若能灵活建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性．如T3.
(3)基底法：求解有关平面向量的问题时，若能灵活地选取基底，则有利于问题的快速获解．理论依据：适当选取一组基底e1，e2，利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于e1，e2的代数运算问题．如T5.
1．[一题多解]在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝( )
A.－ B.－
C.＋ D.＋
A [法一：(直接法)作出示意图如图所示．
＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－.故选A.
法二：(建系法)不妨设△ABC为等腰直角三角形，
且∠A＝，AB＝AC＝1.
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D，E.
故＝(1,0)，＝(0,1)，
＝(1,0)－＝，
即＝－.]
2．△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是( )
A. B. C. D.
C [因为＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC边的一个三等分点，且PC＝AC，由三角形的面积公式可知，＝＝.]
3．[一题多解](2019·太原模拟)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝( )
A．2 B.
C. D.
D [法一：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为1，
则＝，＝，＝(1,1)．
∵＝λ＋μ＝，
∴解得
∴λ＋μ＝，故选D.
法二：由＝＋，＝－＋，得＝λ＋μ＝＋，又＝＋，
∴解得∴λ＋μ＝，故选D.]
4．(2019·贵阳监测)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.
－6 [a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.]
5．[一题多解]在如图所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则的值为________．
[法一：设e1，e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以所以则的值为.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则a＝(2,1)，b＝(－2，－2)，c＝(1，－2)，因为c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则c＝λ(xa＋yb)，其中λ≠0，即解得∴＝.
]
3．平面向量的数量积
两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线，如T3.
1．[一题多解]在Rt△ABC中，C＝90°，AC＝4，则·＝( )
A．－16 B．－8 C．8 D．16
D [法一：因为cos A＝，所以·＝||||·cos A＝AC2＝16，选D.
法二：在上的投影为||cos A＝||，故·＝||·||cos A＝AC2＝16，故选D.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
B [设a与b的夹角为θ，
∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|2＝0.
又a·b＝|a||b|·cos θ，|a|＝2|b|，
∴2|b|2cos θ－|b|2＝0，∴cos θ＝.
又0≤θ≤π，∴θ＝.
故选B.]
3．已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是( )
A.∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)
C. D.
A [因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且a，b不共线，即－2λ－1＜0且－2＋λ≠0，故λ的取值范围是∪(2，＋∞)．]
4．(2019·济南模拟)设单位向量e1，e2的夹角为，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a方向上的投影为( )
A．－ B．－ C. D.
A [由题意得，e＝1，e＝1，e1·e2＝－，∴a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2e＋e1·e2－6e＝2－－6＝－，|a|＝＝＝＝，∴b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝＝＝－.故选A.]
5．[一题多解]已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝( )
A. B.
C. D.
A [法一(向量法)：∵＝－＝(1－λ)－，＝－＝λ－，又·＝－，||＝||＝2，〈，〉＝60°，·＝||·||cos 60°＝2，∴[(1－λ)－](λ－)＝－，即λ||2＋(λ2－λ－1)·＋(1－λ)||2＝，所以4λ＋2(λ2－λ－1)＋4(1－λ)＝，解得λ＝.
法二(坐标法)：以点A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，设A(0,0)，B(2,0)，C(1，)，∴＝(2,0)，＝(1，)，∴P(2λ，0)，Q(1－λ，(1－λ))，∵·＝－，∴(－1－λ，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－，化简得4λ2－4λ＋1＝0，∴λ＝.]
6．(2019·郑州模拟)已知向量a与b的夹角为，|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.
3 [∵|a|＝1，a与b的夹角为，∴a·b＝|b|.由已知得，|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝13，∴|b|2－2|b|－9＝0，∴|b|＝3.]
