2020届二轮复习(文)第2部分专题1第1讲　三角函数的图象和性质学案



第1讲　三角函数的图象和性质

[做小题——激活思维]
1．已知tan α＝－，且α是第二象限角，那么cos α等于(　　)
A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－
[答案]　B
2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]　D
3．(2019·济宁一模)若sin x＝3sin，则cos x·cos＝(　　)
A. B．－ C. D．－
A　[由sin x＝3sin＝－3cos x，解得tan x＝－3，
所以cos xcos＝－sin xcos x＝＝＝，故选A.]
4．设函数f(x)＝cos ωx(ω＞0)，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于(　　)
A. B．3 C．6 D．9
C　[由题意知＝·k(k∈Z)，解得ω＝6k，令k＝1，即得ωmin＝6.]
5．下列函数中同时具有以下性质的是(　　)
①最小正周期是π；②图象关于直线x＝对称；③在上是增函数；④图象的一个对称中心为.
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
[答案]　C
[扣要点——查缺补漏]
1．同角三角函数基本关系式与诱导公式
(1)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α，如T1.
(2)诱导公式：角π±α(k∈Z)的三角函数口诀：
奇变偶不变，符号看象限，如T3.
2．三角函数的图象及变换
(1)五点法作简图：y＝Asin(ωx＋φ)的图象可令ωx＋φ＝0，，π，，2π，求出x的值，描出点作图．
(2)图象变换：平移、伸缩、对称，如T4.
特别提醒：由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．
3．三角函数的性质
(1)整体思想研究性质：对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，可令t＝ωx＋φ，考虑y＝Asin t的性质．如T2，T5.
(2)数形结合思想研究性质．


　三角函数的定义、诱导公式及基本关系(5年4考)

[高考解读]　高考对本部分内容的考查多以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式间的综合利用为主，且常与简单的三角恒等变换相结合.
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D．1
切入点：①终边上两点A(1，a)，B(2，b)；
②cos 2α＝.
关键点：用A，B两点坐标表示α的正切值tan α，然后利用弦化切将cos 2α＝用|a－b|表示出来．
B　[由题可知cos α>0.因为cos 2α＝2cos2α－1＝，所以cos α＝，sin α＝±，得|tan α|＝.由题意知|tan α|＝，所以|a－b|＝.]
2．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝，则sin 2α＝(　　)
A．－ B．－ C. D.
切入点：sin α－cos α＝.
关键点：利用平方关系sin2α＋cos2α＝1及倍角公式将sin 2α用sin α－cos α表示出来．
A　[∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α＝2＝，∴sin 2α＝－.
故选A.]
[教师备选题]
1．(2014·全国卷Ⅰ)若tan α>0，则(　　)
A．sin 2α>0　 B．cos α>0
C．sin α>0 D．cos 2α>0
A　[利用tan α>0，求出角α的象限，再判断．
∵tan α>0，∴α∈(k∈Z)是第一、三象限角．
∴sin α，cos α都可正、可负，排除B，C.
而2α∈(2kπ，2kπ＋π)(k∈Z)，
结合正、余弦函数图象可知，A正确．
取α＝，则tan α＝1>0，而cos 2α＝0，故D不正确．]
2．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
[解]　(1)由角α的终边过点P
得sin α＝－，
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P，
得cos α＝－.
由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α，
得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.


三角函数求值与化简的3种方法
(1)弦切互化法：主要利用公式化成正弦、余弦；
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ进行变形、转化；
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝.

1．(同角三角函数基本关系式的应用)若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于(　　)
A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－
D　[∵sin α＝－，α为第四象限角，
∴cos α＝＝，∴tan α＝＝－.故选D.]
2．(三角函数的定义与诱导公式的应用)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sin α＝，则sin β＝________.
　[由角α与角β的终边关于y轴对称，可得β＝(2k＋1)π－α，k∈Z，∵sin α＝，∴sin β＝sin[(2k＋1)π－α]＝sin α＝.]
3．[新题型](同角三角函数基本关系式及其应用)已知sin α＋2cos α＝0，则tan α＝________，2sin αcos α－cos2α＝________.
－2　－1　[由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2.
∴2sin αcos α－cos2α＝
＝＝＝＝－1.]
4．(三角函数的意义与简单的三角恒等变换结合)在平面直角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设∠xOP＝α，且α∈.若cos＝－，则x0的值为________．
－　[因为点P(x0，y0)在单位圆O上，且∠xOP＝α，所以由三角函数的定义知x0＝cos α.因为α∈，所以α＋∈，又cos＝－，所以sin＝，所以x0＝cos α＝cos＝coscos＋sinsin＝－.]
　三角函数的图象及应用(5年3考)

[高考解读]　高考对该部分内容的考查主要有两种方式：(1)考查三角函数图象变换；(2)由图定式并与三角函数的性质相结合.预计2020年还会这样考查.
1．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2　　　　B.　　　　C．1　　　　D.
A　[由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
故选A.]
2．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
切入点：①y＝2sin；
②向右平移个周期．
关键点：y＝Asin(ωx＋φ)的图象平移规律．
D　[先求出函数的周期，再根据函数图象的平移变换规律求出对应的函数解析式．
函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.]
3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
切入点：图象与x轴交于点，.
关键点：逆用五点作图求解析式．
D　[由已知图象可求得ω与φ的值，然后利用余弦函数的单调区间求解．
由题图知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－ ∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.]
[教师备选题]
1．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象至少向右平移________个单位长度得到．
　[首先利用辅助角公式将函数y＝sin x－cos x化为正弦型函数，再进行平移变换．
∵y＝sin x－cos x＝2sin，∴函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝2sin x的图象向右平移个单位长度得到．]
2．(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
[解]　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x




π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
因此，g(x)＝5sin＝5sin.
因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，
令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z，
即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.



1．图象变换抓“实质”
图象变换的实质——点的坐标变换．三角函数图象的伸缩、平移变换，可以利用两个函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式，一般选取与y轴最近的最高点或最低点，当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、平移的长度与方向等．
2．由“图”定“式”找“对应”
由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图．
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝，A＝.
(2)T定ω：由周期的求解公式T＝，可得ω＝.
(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知点(此时A，ω，B已知)，也可代入图象与直线y＝B的交点(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调性，避免产生增解．

1．(图象变换)为了得到函数y＝2cos 2x的图象，可以将函数y＝cos 2x－sin 2x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
B　[因为y＝cos 2x－sin 2x＝2cos＝2cos，所以要得到函数y＝2cos 2x的图象，可以将函数y＝cos 2x－sin 2x的图象向右平移个单位长度，故选B.]
2．(由图定式)已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω＞0)的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为(　　)

A. B.π C. D.π
C　[由题图知，T＝2＝π，
∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos 2x，
∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，
∴f＝－2cos＝2，
故＋2φ＝π＋2kπ(k∈Z)，
∴φ＝＋kπ(k∈Z)．
又0＜φ＜，∴φ＝.故选C.]
3．(由图定式与三角函数性质的综合问题)已知P是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．若|BC|＝6，则f(x)的图象的对称中心可以是(　　)
A．(0,0) B．(1,0)
C．(2,0) D．(3,0)
C　[由题设知，A＝2，函数f(x)的最小正周期为6，所以＝6，解得ω＝，所以f(x)＝2sin，将P代入，可得2sin＝2，故可取φ＝，所以f(x)＝2sin，令x＋＝kπ(k∈Z)，可得x＝3k－1(k∈Z)，结合选项，可知C正确，故选C.]
4．(图象与解析式)已知ω＞0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.
　[由消去y，得sin ωx－cos ωx＝0，即sin＝0，解得x＝＋，k∈Z.
取k＝0,1，可得距离最短的两个交点的坐标为，，又两交点的距离为2，所以2＋(＋)2＝(2)2，解得ω＝.]
　三角函数的性质及应用(5年9考)

[高考解读]　高考对该部分的考查多与三角恒等变换相结合，考查三角函数的周期性、单调性和最值问题，预计2020年将会延续上述命题规律.
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
切入点：对f(x)＝2cos2x－sin2x＋2恒等转化．
关键点：将函数解析式转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式．
B　[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3×＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，最大值为4.]
2．[一题多解](2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D．π
切入点：①f(x)＝cos x－sin x；②减函数．
关键点：将解析式化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
C　[法一：f(x)＝cos x－sin x＝cosx＋.当x∈[0，a]时，x＋∈，a＋，所以结合题意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.
法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sinx＋.于是，由题设得f′(x)≤0，即 sinx＋≥0在区间[0，a]上恒成立．当x∈[0，a]时，x＋∈，a＋，所以a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故选C.]
3．[一题多解](2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B．1 C. D.
切入点：f(x)＝sin＋cos.
关键点：利用三角恒等变换化简解析式为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．
A　[法一(辅助角公式法)：∵f(x)＝sin＋cos
＝＋cos x＋sin x
＝sin x＋cos x＋cos x＋sin x
＝sin x＋cos x＝sin，
∴当x＝＋2kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值.
故选A.
法二(角度转换法)：∵＋＝，
∴f(x)＝sin＋cos
＝sin＋cos
＝sin＋sin
＝sin≤.
∴f(x)max＝.
故选A.]
4．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________．
－4　[∵f(x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x
＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，
∴f(x)＝－2t2－3t＋1.
又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且图像的开口向下，∴当t＝1时，f(x)有最小值－4.]
[教师备选题]
1．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)
A．ω＝，φ＝　 B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
A　[∵f＝2，f＝0，
∴f(x)的最小正周期为4＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
∵f＝2，
∴2sin＝2，
得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.
故选A.]
2．(2018·北京高考)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
[解]　(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋.
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m.
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在上的最大值为，
即sin在上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.


函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的性质及应用的求解思路
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；
第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.

1．[一题多解](求函数的单调区间)已知函数f(x)＝sin x－cos x，则f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
B　[法一：由已知，得f(x)＝2＝2sin，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.
法二：由已知，得f(x)＝2＝－2cos，由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.]
2．(已知函数的单调区间求参数)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　 D．π
C　[由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0＜m≤，即m的最大值为，故选C.]
3．(求函数的值域或最值)若函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数f(x)在上的最小值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
A　[函数f(x)＝sin(2x＋φ)向左平移个单位得y＝sin＝sin，又其为奇函数，故＋φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ－，又|φ|＜，令k＝0，得φ＝－，∴f(x)＝sin.
又∵x∈，
∴2x－∈，∴sin∈，
当x＝0时，f(x)min＝－，故选A.]
4．(函数性质的综合问题)将函数f(x)＝2sin－2cos 2x的图象向左平移个单位长度，得到y＝g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A．函数g(x)的最小正周期为2π
B．函数g(x)的最小值为－1
C．函数g(x)的图象关于x＝对称
D．函数g(x)在上单调递减
C　[函数f(x)＝2×－2cos 2x＝sin 2x＋cos 2x－2cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得y＝g(x)＝2sin＝2sin的图象，则函数g(x)的最小正周期T＝＝π，g(x)的最小值为－2，g(x)的图象的对称轴为2x＋＝＋kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝为g(x)的图象的一条对称轴，令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，当k＝0时，函数g(x)在上单调递减，故选C.]