2020届二轮复习　等差数列及其前n项和学案（全国通用）

2020届二轮复习    　等差数列及其前n项和  学案

五年高考

考点一　等差数列及其性质

1.(2018课标全国Ⅰ,4,5分)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(　　)

A.1 B.2 C.4 D.8

答案　C

2.(2018浙江,6,5分)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且

|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,

|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.

(P≠Q表示点P与Q不重合)

若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则(　　)

A.{Sn}是等差数列 B.{}是等差数列

C.{dn}是等差数列 D.{}是等差数列

答案　A

3.(2018北京,6,5分)设{an}是等差数列.下列结论中正确的是　(　　)

A.若a1+a2>0,则a2+a3>0

B.若a1+a3<0,则a1+a2<0

C.若0<a1<a2,则a2>

D.若a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0

答案　C

4.(2018辽宁,8,5分)设等差数列{an}的公差为d.若数列{}为递减数列,则(　　)

A.d<0 B.d>0 

C.a1d<0 D.a1d>0

答案　C

5.(2018广东,10,5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=　　　　. 

答案　10

6.(2018天津,18,13分)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.

(1)设cn=-,n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列;

(2)设a1=d,Tn=(-1)k,n∈N*,求证:<.

证明　(1)由题意得=anan+1,有cn=-=an+1·an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,

所以{cn}是等差数列.

(2)Tn=(-+)+(-+)+…+(-+)

=2d(a2+a4+…+a2n)

=2d·=2d2n(n+1).

所以===·<.

教师用书专用(7—9)

7.(2018重庆,2,5分)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6=　(　　)

A.-1 B.0 C.1 D.6

答案　B

8.(2018辽宁,4,5分)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题:

p1:数列{an}是递增数列;

p2:数列{nan}是递增数列;

p3:数列是递增数列;

p4:数列{an+3nd}是递增数列.

其中的真命题为(　　)

A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1,p4

答案　D

9.(2018陕西,13,5分)中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为　　　　. 

答案　5

考点二　等差数列前n项和公式

1.(2018课标全国Ⅲ,9,5分)等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为(　　)

A.-24 B.-3 C.3 D.8

答案　A

2.(2018课标全国Ⅰ,3,5分)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100=(　　)

A.100 B.99 

C.98 D.97

答案　C

3.(2018浙江,3,5分)已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn.若a3,a4,a8成等比数列,则(　　)

A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0

C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

答案　B

4.(2018江苏,8,5分)已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+=-3,S5=10,则a9的值是　　　　. 

答案　20

教师用书专用(5)

5.(2018福建,3,5分)等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6等于(　　)

A.8 B.10 C.12 D.14

答案　C

三年模拟

A组　2018—2018年模拟·基础题组

考点一　等差数列及其性质

1.(2018四川德阳三校联考,3)在等差数列{an}中,a3+a7-a10=-1,a11-a4=21,则a7=(　　)

A.7 B.10 C.20 D.30

答案　C

2.(2018湖南娄底二模,4)已知数列{an}是首项为1,公差为d(d∈N*)的等差数列,若81是该数列中的一项,则公差不可能是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.5

答案　B

3.(人教A必5,二,2-3B,2,变式)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=1,S30=5,则S40=(　　)

A.7 B.8 C.9 D.10

答案　B

4.(2018福建龙岩五校期中,14)递增数列{an}满足2an=an-1+an+1(n>1,n∈N*),其前n项和为Sn,a2+a8=6,a4a6=8,则S10=　　　　. 

答案　35

考点二　等差数列前n项和公式

5.(2018湖南永州祁阳二模,4)在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,若a3+a4+a8=25,则S9=(　　)

A.60 B.75 C.90 D.105

答案　B

6.(2018广东惠州第二次调研,7)设Sn是等差数列{an}的前n项和,若=,则=(　　)

A.1 B.-1 C.2 D.

答案　A

7.(2018山西孝义高三上学期二轮模考,6)在等差数列{an}中,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,以Sn表示{an}的前n项和,则使Sn取得最大值时n的值为(　　)

A.21 B.20 C.19 D.18

答案　B

B组　2018—2018年模拟·提升题组

(满分:55分　时间:45分钟)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.(2018云南玉溪模拟,7)若{an}是等差数列,公差d<0,a1>0,且a2 013(a2 012+a2 013)<0,则使数列{an}的前n项和Sn>0成立的最大正整数n是(　　)

A.4 027 B.4 026 C.4 025 D.4 024

答案　D

2.(2018湖南长沙长郡中学测试,8)已知数列{an}是公差为d的等差数列,Sn为其前n项和,若-=100,则d的值为(　　)

A. B. C.10 D.20

答案　B

3.(2018河北衡水中学高三上学期第三次调研,10)已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,若对于任意的自然数n(n≥1),都有=,则+=(　　)

A. B. C. D.

答案　A

4.(2018中原名校4月联考,6)若数列{an}满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为调和数列,已知数列为调和数列,且x1+x2+…+x20=200,则x5+x16=(　　)

A.10 B.20 C.30 D.40

答案　B

二、填空题(共5分)

5.(2018上海徐汇一模,9)若公差为d的等差数列{an}(n∈N*)满足a3a4+1=0,则公差d的取值范围是　　　　. 

答案　(-∞,-2]∪[2,+∞)

三、解答题(共30分)

6.(2018江西宜春昌黎实验学校第二次段考,19)已知数列{an}中,a1=1,数列(n∈N*)是公差为1的等差数列.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

解析　(1)∵数列是首项为2,公差为1的等差数列,

∴=2+n-1=n+1,解得an=.

(2)∵an==2,

∴Sn=2

=2=.

7.(2018湖北华中师大附中期中,18)已知数列{an}满足a1=2,n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*).

(1)求证:数列是等差数列,并求其通项公式;

(2)设bn=-15,求数列{|bn|}的前n项和Tn.

解析　(1)证明:∵n(an+1-n-1)=(n+1)(an+n)(n∈N*),

∴nan+1-(n+1)an=2n(n+1),∴-=2.

∴数列是公差为2,首项为2的等差数列.

∴=2+2(n-1)=2n,

∴an=2n2.

(2)bn=-15=2n-15,

则数列{bn}的前n项和Sn==n2-14n.

令bn=2n-15≤0,解得n≤7.

∴n≤7时,数列{|bn|}的前n项和Tn=-b1-b2-…-bn=-Sn=-n2+14n.

n≥8时,数列{|bn|}的前n项和Tn=-b1-b2-…-b7+b8+…+bn=-2S7+Sn=-2×(72-14×7)+n2-14n=n2-14n+98.

∴Tn=

C组　2018—2018年模拟·方法题组

方法1　有关等差数列运算的求解技巧

1.(2018四川南充模拟,5)已知数列{an}满足a1=1,an>0,-=1(n∈N*),那么使an<5成立的n的最大值为(　　)

A.4 B.5 C.24 D.25

答案　C

2.(2018安徽合肥二模,7)已知是等差数列,且a1=1,a4=4,则a10=(　　)

A.- B.- C. D.

答案　A

方法2　等差数列的判定与证明

3.(2018江西金溪一中期中联考,11)若数列{an}满足-=1,且a1=5,则数列{an}的前100项中,能被5整除的项数为(　　)

A.42 B.40 C.30 D.20

答案　B

4.(2018安徽合肥调研检测,18)数列{an}满足a1=1,an+=0.

(1)求证:数列是等差数列;

(2)若数列{bn}满足b1=2,=,求{bn}的前n项和Sn.

解析　(1)证明:若an+1=0,则an=0,这与a1=1矛盾,

∴an+1≠0,由已知得2anan+1-an+an+1=0,∴-=2,

故数列是以=1为首项,2为公差的等差数列.

(2)由(1)可知,=1+2(n-1)=2n-1,

由=2·可知an+1bn+1=2anbn.又a1b1=2,

∴anbn=2×2n-1=2n,∴bn=(2n-1)·2n,

∴Sn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-1)·2n,

则2Sn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-1)·2n+1,

∴-Sn=2+2×22+2×23+…+2·2n-(2n-1)·2n+1=(3-2n)·2n+1-6,∴Sn=(2n-3)·2n+1+6.

方法3　等差数列前n项和的最值问题

5.(2018湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模,6)等差数列{an}的公差d≠0,且a3,a5,a15成等比数列,若a5=5,Sn为数列{an}的前n项和,则数列的前n项和取最小值时的n为(　　)

A.3 B.3或4 C.4或5 D.5

答案　B

6.(2018河南南阳期中,16)已知数列{an}为等差数列,若<-1,且前n项和Sn有最大值,则使Sn>0的n的最大值为　　　　. 

答案　11