江苏省镇江市2020届高三年级第一次模拟考试数学试题精校版
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数 学 试 题 Ⅰ
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上.
1.已知集合A=,B={﹣1,1,2},则AB= .
2.设复数(其中i为虚数单位),则= .
3.右图是一个算法的伪代码,则输出的结果是 .
4.顶点在原点且以双曲线的右焦点为焦点的抛物
线方程是 . 第3题
5.已知在平面直角坐标系xOy中,直线l1:,l2:,若直线l1∥l2,则m= .
6.从“1,2,3,4,5”这组数据中随机去掉两个不同的数,则剩余三个数能构成等差数列的概率是 .
7.若实数x,y满足条件,则的最大值为 .
8.将函数的图象向左平移个单位长度后,再将图象上各点的纵坐标变为原来的2倍,得到函数的图象,则= .
9.已知正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为1,点E是棱AD上的任意一点,点F是棱B1C1上的任意一点,则三棱锥B—ECF的体积为 .
10.等比数列的前三项和,若,,成等差数列,则公比q= .
11.记集合A=[a,b],当[,]时,函数的值域为B,若“”是“”的必要条件,则b﹣a的最小值是 .
12.已知函数,若对任意的x[m,m+1],不等式恒成立,则实数m的取值范围是 .
13.过直线l:上任意一点P作圆C:的一条切线,切点为A,若存在定点B(,),使得PA=PB恒成立,则﹣= .
14.在平面直角坐标系xOy中,已知三个点A(2,1),B(1,﹣2),C(3,﹣1),点P(x,y)满足,则的最大值为 .
二、解答题:本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是平行四边形,E是AP的中点,AB⊥BD, PB⊥PD,平面PBD⊥底面ABCD.
(1)求证:PC∥平面BDE;
(2)求证:PD⊥平面PAB.
16.(本小题满分14分)
如图,在△ABC中,点D是边BC上一点,AB=14,BD=6,.
(1)若C>B,且cos(C﹣B)=,求角C;
(2)若△ACD的面积为S,且,求AC的长度.
17.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:(a>b>0)的长轴长为4,左准线l的方程为x=﹣4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)直线l1过椭圆E的左焦点F1,且与椭圆E交于A,B两点.①若AB=,求直线l1的方程;②过A作左准线l的垂线,垂足为A1,点G(,0),求证:A1,B,G三点共线.
18.(本小题满分16分)
某游乐场过山车轨道在同一竖直钢架平面内,如图所示,矩形PQRS的长PS为130米,宽RS为120米,圆弧形轨道所在圆的圆心为O,圆O与PS,SR,QR分别相切于点A,D,C,T为PQ的中点.现欲设计过山车轨道,轨道由五段连接而成.出发点N在线段PT上(不含端点,游客从点Q处乘升降电梯至点N),轨道第一段NM与圆O相切于点M,再沿着圆弧轨道到达最高点A,然后在点A处沿垂直轨道急速下降至点O处,接着沿直线轨道OG滑行至地面点G处(设计要求M,O,G三点共线),最后通过制动装置减速沿水平轨道GR滑行到达终点R.记∠MOT为,轨道总长度为l米.
(1)试将l表示为的函数,并写出的取值范围;
(2)求l最小时cos的值.
19.(本小题满分16分)
已知函数(aR).
(1)当a=0,证明:;
(2)如果函数有两个极值点,(<),且恒成立,求实数k的取值范围;
(3)当a<0时,求函数的零点个数.
20.(本题满分16分)
已知,数列的前n项和为,且;数列的前n项和为,且满足,且.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,问:数列中是否存在不同两项,(1≤i<j,i,j),使+仍是数列中的项?若存在,请求出i,j;若不存在,请说明理由.