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2019-2020学年河北省沧州市孟村县八年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年河北省沧州市孟村县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）.
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x B．x C．x D．x
2．（3分）一次函数y＝x+1不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）计算，正确的结果是（ ）
A．﹣11 B．11 C．22 D．﹣22
5．（3分）某同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
6．（3分）某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选一名参加“汉字听写”大赛，选拔中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选拔一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ）
甲
乙
丙
丁
8.9
9.5
9.5
8.9
s2
0.92
0.92
1.01
1.03
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F点是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．24 D．32
8．（3分）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（3分）根据下表中的信息解决问题：
数据
37
38
39
40
41
频数
8
4
5
a
1
若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．（3分）已知一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1
11．（2分）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B． C．4 D．5或
12．（2分）某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每次薪金如下：生产的零件不超过a件，则每件3元，超过a件，超过部分每件b元，如图是一名工人一天获得薪金y（元）与其生产的件数x（件）之间的函数关系式，则下列结论错误的是（ ）
A．a＝20
B．b＝4
C．若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产50件
D．若工人乙一天生产m（件），则他获得薪金4m元
13．（2分）边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数﹣2，C点表示数6，则BD＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
14．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
15．（2分）如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
16．（2分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）数据5，4，4，3，4，3，2，3，5，3的平均数为a，众数为b，中位数为c，则a、b、c的大小关系是 ．
18．（3分）已知x1＝+，x2＝﹣，则x12+x22＝ ．
19．（3分）如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为 ．
20．（3分）已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
21．（8分）某校八（1）班开展男生、女生垫排球比赛活动，每队各派5名同学参加，如表是男生队和女生队5名同学的比赛数据（单位：个）：
1号
2号
3号
4号
5号
男生队
100
98
110
89
103
女生队
88
100
95
120
97
请你回答下列问题：
（1）计算两队的平均成绩；
（2）从成绩稳定性角度考虑，哪队成绩稍好，请说明理由．
22．（8分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
23．（10分）学完第五章《平面直角坐标系》和第六章《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题：
已知：如图，在长方形ABCD中，BC＝8，AB＝4，点E为AD的中点，BD和CE相交于点P．求△BPC的面积．
小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得△BPC的面积．
请你按照小明的思路解决这道思考题．
24．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．
（1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
25．（10分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4．
求：（1）对角线AC，BD的长；
（2）菱形ABCD的面积．
26．（10分）观察下列格式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
27．（12分）如图，已知函数y＝﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣+b和y＝x的图象于点C、D．
①若OB＝2CD，求a的值；
②是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年河北省沧州市孟村县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）.
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x B．x C．x D．x
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意得3﹣2x≥0，
解得x≤．
故选：B．
2．（3分）一次函数y＝x+1不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系求出一次函数y＝x+1经过的象限即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＝1＞0，b＝1＞0，
∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
3．（3分）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A不符合题意，
B、被开方数含开得尽的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含开得尽的因数或因式，故C不符合题意；
D、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）计算，正确的结果是（ ）
A．﹣11 B．11 C．22 D．﹣22
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝11+11﹣11
＝11．
故选：B．
5．（3分）某同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第5个数有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与第5个数无关．
故选：B．
6．（3分）某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选一名参加“汉字听写”大赛，选拔中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选拔一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ）
甲
乙
丙
丁
8.9
9.5
9.5
8.9
s2
0.92
0.92
1.01
1.03
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．
【解答】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙；
故选：B．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F点是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．24 D．32
【分析】由点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，利用三角形中位线的性质，即可求得BC的长，然后由菱形的性质，求得菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，
∴BC＝2EF＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长是：4×8＝32．
故选：D．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】由基本作图得到AB＝AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1＝∠3，于是得到∠2＝∠3，根据等腰三角形的判定得AB＝EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO＝OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB＝AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
而BO⊥AE，
∴AO＝OE，
在Rt△AOB中，AO＝＝＝4，
∴AE＝2AO＝8．
故选：C．
9．（3分）根据下表中的信息解决问题：
数据
37
38
39
40
41
频数
8
4
5
a
1
若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】直接利用a＝1、2、3、4、5、6分别得出中位数，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：当a＝1时，有19个数据，最中间是：第10个数据，则中位数是38；
当a＝2时，有20个数据，最中间是：第10和11个数据，则中位数是38；
当a＝3时，有21个数据，最中间是：第11个数据，则中位数是38；
当a＝4时，有22个数据，最中间是：第11和12个数据，则中位数是38；
当a＝5时，有23个数据，最中间是：第12个数据，则中位数是38；
当a＝6时，有24个数据，最中间是：第12和13个数据，则中位数是38.5；
故该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有：5个．
故选：C．
10．（3分）已知一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1
【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，得到b＞0，a＜0，把（2，0）代入解析式y＝ax+b求出＝﹣2，解a（x﹣1）﹣b＞0，得x﹣1＜，代入即可求出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，
∴b＞0，a＜0，
把（2，0）代入解析式y＝ax+b得：0＝2a+b，
解得：2a＝﹣b
＝﹣2，
∵a（x﹣1）﹣b＞0，
∴a（x﹣1）＞b，
∵a＜0，
∴x﹣1＜，
∴x＜﹣1，
故选：A．
11．（2分）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B． C．4 D．5或
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．．
【解答】解：∵+|b﹣4|＝0，
∴a2﹣6a+9＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，
∴直角三角形的第三边长为5或，
故选：D．
12．（2分）某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每次薪金如下：生产的零件不超过a件，则每件3元，超过a件，超过部分每件b元，如图是一名工人一天获得薪金y（元）与其生产的件数x（件）之间的函数关系式，则下列结论错误的是（ ）
A．a＝20
B．b＝4
C．若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产50件
D．若工人乙一天生产m（件），则他获得薪金4m元
【分析】根据题意和函数图象可以求得a、b的值，从而可以判断选项A和B是否正确，根据C和D的数据可以分别计算出题目中对应的数据是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意和图象可得，
a＝60÷3＝20，故选项A正确，
b＝（140﹣60）÷（40﹣20）＝80÷20＝4，故选项B正确，
若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产：20+＝20+30＝50，故选项C正确，
若工人乙一天生产m（件），当m≤20时，他获得的薪金为：3m元；当m＞20时，他获得的薪金为：60+（m﹣20）×4＝（4m﹣20）元，故选项D错误，
故选：D．
13．（2分）边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数﹣2，C点表示数6，则BD＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】易求AC的长为8，根据菱形的性质和勾股定理即可求出BD的长，问题得解．
【解答】解：∵A点表示数﹣2，C点表示数6，
∴AC＝8，
∵AD＝5，
∴BD＝2＝6，
故选：B．
14．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
【分析】画出L1到L2，L2到L3的距离，分别交L2，L3于E，F，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF＝AE，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：如图，
过点A作AE⊥l1，过点C作CF⊥l2，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∵l1∥l2∥l3，
∴∠ABE＝∠BCF，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
（画出L1到L2，L2到L3的距离，分别交L2，L3于E，F）
∴BF＝AE，
∴BF2+CF2＝BC2，
∴BC2＝52+72＝74．
故面积为74．
故选：B．
15．（2分）如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【分析】根据正比例函数图象的性质分析．
【解答】解：首先根据图象经过的象限，得a＞0，b＞0，c＜0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞a＞c．
故选：C．
16．（2分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，
在Rt△BCM中，BM＝＝＝5，
故DN+MN的最小值是5．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）数据5，4，4，3，4，3，2，3，5，3的平均数为a，众数为b，中位数为c，则a、b、c的大小关系是 a＞c＞b ．
【分析】根据平均数、众数与中位数的定义，出现次数最多的数据为众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数进行解答即可．
【解答】解：这组数据重新排列为2、3、3、3、3、4、4、5、5，
则其平均数a＝＝3.6，众数b＝3，中位数c＝＝3.5，
∴a＞c＞b，
故答案为：a＞c＞b．
18．（3分）已知x1＝+，x2＝﹣，则x12+x22＝ 10 ．
【分析】首先把x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵x1＝+，x2＝﹣，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝（++﹣）2﹣2（+）×（﹣）
＝12﹣2
＝10．
故答案为：10．
19．（3分）如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为 34° ．
【分析】由矩形的性质可得∠BAE＝∠E＝90°，由HL可证Rt△ACD≌Rt△AED，可得∠EAD＝∠CAD＝28°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABDE是矩形，
∴∠BAE＝∠E＝90°，
∵∠ADE＝62°，
∴∠EAD＝28°，
∵AC⊥CD，
∴∠C＝∠E＝90°
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠EAD＝∠CAD＝28°，
∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，
故答案为：34°．
20．（3分）已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为 ．
【分析】y始终取三个函数的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．
【解答】解：如图，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A（，）；B（，）；C（，）
当x＜，y＝y1；
当≤x＜，y＝y2；
当≤x＜，y＝y2；
当x≥，y＝y3．
∵y总取y1，y2，y3中的最小值，
∴y的取值为图中红线所描述的部分，
则y1，y2，y3中最小值的最大值为C点的纵坐标，
∴y最大＝．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
21．（8分）某校八（1）班开展男生、女生垫排球比赛活动，每队各派5名同学参加，如表是男生队和女生队5名同学的比赛数据（单位：个）：
1号
2号
3号
4号
5号
男生队
100
98
110
89
103
女生队
88
100
95
120
97
请你回答下列问题：
（1）计算两队的平均成绩；
（2）从成绩稳定性角度考虑，哪队成绩稍好，请说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算公式进行计算即可；
（2）根据方差的计算公式，计算出男生、女生的方差，通过比较得出答案．
【解答】解：（1）男＝＝100（个），
女＝＝100（个），
答：男队的平均成绩为100个，女队的平均成绩也是100个；
（2）＝[（100﹣100）2+（98﹣100）2+（110﹣100）2+（89﹣100）2+（103﹣100）2]＝46.8，
＝[（88﹣100）2+（100﹣100）2+（95﹣100）2+（120﹣100）2+（97﹣100）2]＝115.6，
∵46.8＜115.6，即＜，
∴男生的成绩更稳定，男生队稍好．
22．（8分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，
∴OB＝20×2＝40（海里），
∵AB＝50海里，
在Rt△AOB中，，
∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里，．
23．（10分）学完第五章《平面直角坐标系》和第六章《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题：
已知：如图，在长方形ABCD中，BC＝8，AB＝4，点E为AD的中点，BD和CE相交于点P．求△BPC的面积．
小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得△BPC的面积．
请你按照小明的思路解决这道思考题．
【分析】以点B为原点、BC为x轴、BA为y轴建立直角坐标系，由此可得出点B、A、C、E的坐标，利用待定系数法即可得出直线BD、CE的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点P的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△BPC的面积．
【解答】解：如图建立直角坐标系，
ABCD 为长方形，
∴AD＝BC＝8，
AB＝CD＝4，
∵E 为AD的中点，
∴C（8，0），D（8，4），E（4，4），
设yBD＝kx，
8k＝4，解得k＝，
∴yBD＝x，
设yCE ＝nx+b，
8n+b＝0，
4n+b＝4，
解得n＝﹣1，b＝8，
yCE ＝﹣x+8，
联立直线BD、CE的解析式成方程组，
，解得，
∴p（，），
∴S△BPC＝×8×＝．
24．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．
（1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．
【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥FC，EF∥CD，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵∠DCF＝90°，
∴四边形DEFC是矩形．
（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．
25．（10分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4．
求：（1）对角线AC，BD的长；
（2）菱形ABCD的面积．
【分析】（1）根据菱形的性质可得AB＝BC，然后再证明△ABC是等边三角形，从而可得AC＝AB＝4，进而可得AO＝2，再利用勾股定理计算BO长，进而可得BD长；
（2）利用菱形的面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）可得面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝2，
∴OD＝＝＝2，
∴BD＝4；
（2）面积为AC×BD＝＝8．
26．（10分）观察下列格式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得﹣，然后分母有理化，求出结果即可．
【解答】解：（1）﹣＝﹣＝﹣＝﹣1，
＝﹣＝﹣2，
＝＝﹣3，
＝﹣＝﹣4，
（2）﹣＝﹣5，
（3）﹣＝﹣＝﹣n．
27．（12分）如图，已知函数y＝﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣+b和y＝x的图象于点C、D．
①若OB＝2CD，求a的值；
②是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可先求得M点坐标，代入直线y＝﹣x+b的解析式，令y＝0则可求得A点坐标；
（2）①用a可表示出C、D的坐标，从而可表示出CD的长，则由条件可得到关于a的方程，可求得a的值；②当四边形为平行四边形时则可得OB＝CD，同①可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵点M的横坐标为2，点M在直线y＝x上，
∴M（2，2），
∵点M（2，2）在一次函数y＝﹣x+b的图象上，
∴b＝3，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+3，
令y＝0，得x＝6，
∴点A的坐标为（6，0）；
（2）①由题意得：C（a，﹣12a+3），D（a，a），
∴CD＝a﹣（﹣a+3）＝a﹣3，
∵OB＝2CD．
∴2（a﹣3）＝3，
∴a＝3；
②存在，
∵CD∥OB，且以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴OB＝CD，
∴a﹣3＝3，解得a＝4，
∴P（4，0），
即存在满足条件的点P，其坐标为（4，0）．
一、选择题（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）.
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x B．x C．x D．x
2．（3分）一次函数y＝x+1不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）计算，正确的结果是（ ）
A．﹣11 B．11 C．22 D．﹣22
5．（3分）某同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
6．（3分）某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选一名参加“汉字听写”大赛，选拔中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选拔一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ）
甲
乙
丙
丁
8.9
9.5
9.5
8.9
s2
0.92
0.92
1.01
1.03
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F点是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．24 D．32
8．（3分）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
9．（3分）根据下表中的信息解决问题：
数据
37
38
39
40
41
频数
8
4
5
a
1
若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
10．（3分）已知一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1
11．（2分）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B． C．4 D．5或
12．（2分）某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每次薪金如下：生产的零件不超过a件，则每件3元，超过a件，超过部分每件b元，如图是一名工人一天获得薪金y（元）与其生产的件数x（件）之间的函数关系式，则下列结论错误的是（ ）
A．a＝20
B．b＝4
C．若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产50件
D．若工人乙一天生产m（件），则他获得薪金4m元
13．（2分）边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数﹣2，C点表示数6，则BD＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
14．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
15．（2分）如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
16．（2分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）数据5，4，4，3，4，3，2，3，5，3的平均数为a，众数为b，中位数为c，则a、b、c的大小关系是 ．
18．（3分）已知x1＝+，x2＝﹣，则x12+x22＝ ．
19．（3分）如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为 ．
20．（3分）已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为 ．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
21．（8分）某校八（1）班开展男生、女生垫排球比赛活动，每队各派5名同学参加，如表是男生队和女生队5名同学的比赛数据（单位：个）：
1号
2号
3号
4号
5号
男生队
100
98
110
89
103
女生队
88
100
95
120
97
请你回答下列问题：
（1）计算两队的平均成绩；
（2）从成绩稳定性角度考虑，哪队成绩稍好，请说明理由．
22．（8分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
23．（10分）学完第五章《平面直角坐标系》和第六章《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题：
已知：如图，在长方形ABCD中，BC＝8，AB＝4，点E为AD的中点，BD和CE相交于点P．求△BPC的面积．
小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得△BPC的面积．
请你按照小明的思路解决这道思考题．
24．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．
（1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
25．（10分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4．
求：（1）对角线AC，BD的长；
（2）菱形ABCD的面积．
26．（10分）观察下列格式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
27．（12分）如图，已知函数y＝﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣+b和y＝x的图象于点C、D．
①若OB＝2CD，求a的值；
②是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年河北省沧州市孟村县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，其中1-10每小题3分，11-16每小题3分，共42分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）.
1．（3分）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x B．x C．x D．x
【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意得3﹣2x≥0，
解得x≤．
故选：B．
2．（3分）一次函数y＝x+1不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】直接根据一次函数的图象与系数的关系求出一次函数y＝x+1经过的象限即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＝1＞0，b＝1＞0，
∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
3．（3分）下列根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，可得答案．
【解答】解：A、被开方数含分母，故A不符合题意，
B、被开方数含开得尽的因数或因式，故B不符合题意；
C、被开方数含开得尽的因数或因式，故C不符合题意；
D、被开方数不含分母，被开方数不含开得尽的因数或因式，故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）计算，正确的结果是（ ）
A．﹣11 B．11 C．22 D．﹣22
【分析】直接利用二次根式的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝11+11﹣11
＝11．
故选：B．
5．（3分）某同学对数据26，36，36，46，5■，52进行统计分析发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【分析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断．
【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第5个数有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与第5个数无关．
故选：B．
6．（3分）某校要从甲、乙、丙、丁四名学生中选一名参加“汉字听写”大赛，选拔中每名学生的平均成绩及其方差s2如表所示，如果要选拔一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，则应选择的学生是（ ）
甲
乙
丙
丁
8.9
9.5
9.5
8.9
s2
0.92
0.92
1.01
1.03
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】从平均成绩分析乙和丙要比甲和丁好，从方差分析甲和乙的成绩比丙和丁稳定，综合两个方面可选出乙．
【解答】解：根据平均成绩可得乙和丙要比甲和丁好，根据方差可得甲和乙的成绩比丙和丁稳定，
因此要选择一名成绩高且发挥稳定的学生参赛，因选择乙；
故选：B．
7．（3分）如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F点是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．9 B．12 C．24 D．32
【分析】由点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，利用三角形中位线的性质，即可求得BC的长，然后由菱形的性质，求得菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵点E、F分别是AB、AC的中点，EF＝4，
∴BC＝2EF＝8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长是：4×8＝32．
故选：D．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF＝6，AB＝5，则AE的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】由基本作图得到AB＝AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1＝∠3，于是得到∠2＝∠3，根据等腰三角形的判定得AB＝EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO＝OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，
∵AB＝AF，AO平分∠BAD，
∴AO⊥BF，BO＝FO＝BF＝3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴AB＝EB，
而BO⊥AE，
∴AO＝OE，
在Rt△AOB中，AO＝＝＝4，
∴AE＝2AO＝8．
故选：C．
9．（3分）根据下表中的信息解决问题：
数据
37
38
39
40
41
频数
8
4
5
a
1
若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】直接利用a＝1、2、3、4、5、6分别得出中位数，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：当a＝1时，有19个数据，最中间是：第10个数据，则中位数是38；
当a＝2时，有20个数据，最中间是：第10和11个数据，则中位数是38；
当a＝3时，有21个数据，最中间是：第11个数据，则中位数是38；
当a＝4时，有22个数据，最中间是：第11和12个数据，则中位数是38；
当a＝5时，有23个数据，最中间是：第12个数据，则中位数是38；
当a＝6时，有24个数据，最中间是：第12和13个数据，则中位数是38.5；
故该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有：5个．
故选：C．
10．（3分）已知一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，且与x轴交于点（2，0），则关于x的不等式a（x﹣1）﹣b＞0的解集为（ ）
A．x＜﹣1 B．x＞﹣1 C．x＞1 D．x＜1
【分析】根据一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，得到b＞0，a＜0，把（2，0）代入解析式y＝ax+b求出＝﹣2，解a（x﹣1）﹣b＞0，得x﹣1＜，代入即可求出答案．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b的图象过第一、二、四象限，
∴b＞0，a＜0，
把（2，0）代入解析式y＝ax+b得：0＝2a+b，
解得：2a＝﹣b
＝﹣2，
∵a（x﹣1）﹣b＞0，
∴a（x﹣1）＞b，
∵a＜0，
∴x﹣1＜，
∴x＜﹣1，
故选：A．
11．（2分）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长为（ ）
A．5 B． C．4 D．5或
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．．
【解答】解：∵+|b﹣4|＝0，
∴a2﹣6a+9＝0，b﹣4＝0，
∴a＝3，b＝4，
∴直角三角形的第三边长＝＝5，或直角三角形的第三边长＝＝，
∴直角三角形的第三边长为5或，
故选：D．
12．（2分）某工厂加工一批零件，为了提高工人工作积极性，工厂规定每名工人每次薪金如下：生产的零件不超过a件，则每件3元，超过a件，超过部分每件b元，如图是一名工人一天获得薪金y（元）与其生产的件数x（件）之间的函数关系式，则下列结论错误的是（ ）
A．a＝20
B．b＝4
C．若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产50件
D．若工人乙一天生产m（件），则他获得薪金4m元
【分析】根据题意和函数图象可以求得a、b的值，从而可以判断选项A和B是否正确，根据C和D的数据可以分别计算出题目中对应的数据是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意和图象可得，
a＝60÷3＝20，故选项A正确，
b＝（140﹣60）÷（40﹣20）＝80÷20＝4，故选项B正确，
若工人甲一天获得薪金180元，则他共生产：20+＝20+30＝50，故选项C正确，
若工人乙一天生产m（件），当m≤20时，他获得的薪金为：3m元；当m＞20时，他获得的薪金为：60+（m﹣20）×4＝（4m﹣20）元，故选项D错误，
故选：D．
13．（2分）边长为5的菱形ABCD按如图所示放置在数轴上，其中A点表示数﹣2，C点表示数6，则BD＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】易求AC的长为8，根据菱形的性质和勾股定理即可求出BD的长，问题得解．
【解答】解：∵A点表示数﹣2，C点表示数6，
∴AC＝8，
∵AD＝5，
∴BD＝2＝6，
故选：B．
14．（2分）如图，四边形ABCD是正方形，直线L1、L2、L3，若L1与L2的距离为5，L2与L3的距离为7，则正方形ABCD的面积等于（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
【分析】画出L1到L2，L2到L3的距离，分别交L2，L3于E，F，通过证明△ABE≌△BCF，得出BF＝AE，再由勾股定理即可得出结论．
【解答】解：如图，
过点A作AE⊥l1，过点C作CF⊥l2，
∴∠CBF+∠BCF＝90°，
四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝90°，
∵l1∥l2∥l3，
∴∠ABE＝∠BCF，
在△ABE和△BCF中，
∴△ABE≌△BCF（AAS），
（画出L1到L2，L2到L3的距离，分别交L2，L3于E，F）
∴BF＝AE，
∴BF2+CF2＝BC2，
∴BC2＝52+72＝74．
故面积为74．
故选：B．
15．（2分）如图：三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【分析】根据正比例函数图象的性质分析．
【解答】解：首先根据图象经过的象限，得a＞0，b＞0，c＜0，
再根据直线越陡，|k|越大，则b＞a＞c．
故选：C．
16．（2分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M在DC上，DM＝1，点N是AC上的一个动点，那么DN+MN的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与D关于直线AC对称，
连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，
则BM的长即为DN+MN的最小值，
∴AC是线段BD的垂直平分线，
又CM＝CD﹣DM＝4﹣1＝3，
在Rt△BCM中，BM＝＝＝5，
故DN+MN的最小值是5．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上）
17．（3分）数据5，4，4，3，4，3，2，3，5，3的平均数为a，众数为b，中位数为c，则a、b、c的大小关系是 a＞c＞b ．
【分析】根据平均数、众数与中位数的定义，出现次数最多的数据为众数；将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数进行解答即可．
【解答】解：这组数据重新排列为2、3、3、3、3、4、4、5、5，
则其平均数a＝＝3.6，众数b＝3，中位数c＝＝3.5，
∴a＞c＞b，
故答案为：a＞c＞b．
18．（3分）已知x1＝+，x2＝﹣，则x12+x22＝ 10 ．
【分析】首先把x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，再进一步代入求得数值即可．
【解答】解：∵x1＝+，x2＝﹣，
∴x12+x22
＝（x1+x2）2﹣2x1x2
＝（++﹣）2﹣2（+）×（﹣）
＝12﹣2
＝10．
故答案为：10．
19．（3分）如图，四边形ABDE是长方形，AC⊥DC于点C，交BD于点F，AE＝AC，∠ADE＝62°，则∠BAF的度数为 34° ．
【分析】由矩形的性质可得∠BAE＝∠E＝90°，由HL可证Rt△ACD≌Rt△AED，可得∠EAD＝∠CAD＝28°，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABDE是矩形，
∴∠BAE＝∠E＝90°，
∵∠ADE＝62°，
∴∠EAD＝28°，
∵AC⊥CD，
∴∠C＝∠E＝90°
∵AE＝AC，AD＝AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）
∴∠EAD＝∠CAD＝28°，
∴∠BAF＝90°﹣28°﹣28°＝34°，
故答案为：34°．
20．（3分）已知直线y1＝x，y2＝x+1，y3＝﹣x+5的图象如图所示，若无论x取何值，y总取y1，y2，y3中的最小值，则y的最大值为 ．
【分析】y始终取三个函数的最小值，y最大值即求三个函数的公共部分的最大值．
【解答】解：如图，分别求出y1，y2，y3交点的坐标A（，）；B（，）；C（，）
当x＜，y＝y1；
当≤x＜，y＝y2；
当≤x＜，y＝y2；
当x≥，y＝y3．
∵y总取y1，y2，y3中的最小值，
∴y的取值为图中红线所描述的部分，
则y1，y2，y3中最小值的最大值为C点的纵坐标，
∴y最大＝．
三、解答题（本大题共7个小题，共66分，解答应写出文字说明，证明或演算过程）
21．（8分）某校八（1）班开展男生、女生垫排球比赛活动，每队各派5名同学参加，如表是男生队和女生队5名同学的比赛数据（单位：个）：
1号
2号
3号
4号
5号
男生队
100
98
110
89
103
女生队
88
100
95
120
97
请你回答下列问题：
（1）计算两队的平均成绩；
（2）从成绩稳定性角度考虑，哪队成绩稍好，请说明理由．
【分析】（1）根据平均数的计算公式进行计算即可；
（2）根据方差的计算公式，计算出男生、女生的方差，通过比较得出答案．
【解答】解：（1）男＝＝100（个），
女＝＝100（个），
答：男队的平均成绩为100个，女队的平均成绩也是100个；
（2）＝[（100﹣100）2+（98﹣100）2+（110﹣100）2+（89﹣100）2+（103﹣100）2]＝46.8，
＝[（88﹣100）2+（100﹣100）2+（95﹣100）2+（120﹣100）2+（97﹣100）2]＝115.6，
∵46.8＜115.6，即＜，
∴男生的成绩更稳定，男生队稍好．
22．（8分）如图，甲、乙两艘轮船同时从港口O出发，甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行．已知它们离开港口O两小时后，两艘轮船相距50海里，求乙轮船平均每小时航行多少海里？
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，根据勾股定理解答即可．
【解答】解：∵甲轮船以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，乙轮船向南偏西45°方向航行，
∴AO⊥BO，
∵甲以20海里/时的速度向南偏东45°方向航行，
∴OB＝20×2＝40（海里），
∵AB＝50海里，
在Rt△AOB中，，
∴乙轮船平均每小时航行30÷2＝15海里，．
23．（10分）学完第五章《平面直角坐标系》和第六章《一次函数》后，老师布置了这样一道思考题：
已知：如图，在长方形ABCD中，BC＝8，AB＝4，点E为AD的中点，BD和CE相交于点P．求△BPC的面积．
小明同学应用所学知识，顺利地解决了此题，他的思路是这样的：建立适当的“平面直角坐标系”，写出图中一些点的坐标．根据“一次函数”的知识求出点P的坐标，从而可求得△BPC的面积．
请你按照小明的思路解决这道思考题．
【分析】以点B为原点、BC为x轴、BA为y轴建立直角坐标系，由此可得出点B、A、C、E的坐标，利用待定系数法即可得出直线BD、CE的解析式，联立两直线解析式成方程组，解之即可得出点P的坐标，再根据三角形的面积公式即可求出△BPC的面积．
【解答】解：如图建立直角坐标系，
ABCD 为长方形，
∴AD＝BC＝8，
AB＝CD＝4，
∵E 为AD的中点，
∴C（8，0），D（8，4），E（4，4），
设yBD＝kx，
8k＝4，解得k＝，
∴yBD＝x，
设yCE ＝nx+b，
8n+b＝0，
4n+b＝4，
解得n＝﹣1，b＝8，
yCE ＝﹣x+8，
联立直线BD、CE的解析式成方程组，
，解得，
∴p（，），
∴S△BPC＝×8×＝．
24．（8分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．
（1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．
【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．
【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥FC，EF∥CD，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵∠DCF＝90°，
∴四边形DEFC是矩形．
（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．
25．（10分）如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝4．
求：（1）对角线AC，BD的长；
（2）菱形ABCD的面积．
【分析】（1）根据菱形的性质可得AB＝BC，然后再证明△ABC是等边三角形，从而可得AC＝AB＝4，进而可得AO＝2，再利用勾股定理计算BO长，进而可得BD长；
（2）利用菱形的面积＝ab（a、b是两条对角线的长度）可得面积．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠BAD＝120°，
∴∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝2，
∴OD＝＝＝2，
∴BD＝4；
（2）面积为AC×BD＝＝8．
26．（10分）观察下列格式，﹣，，，…
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得﹣，然后分母有理化，求出结果即可．
【解答】解：（1）﹣＝﹣＝﹣＝﹣1，
＝﹣＝﹣2，
＝＝﹣3，
＝﹣＝﹣4，
（2）﹣＝﹣5，
（3）﹣＝﹣＝﹣n．
27．（12分）如图，已知函数y＝﹣x+b的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与函数y＝x的图象交于点M，点M的横坐标为2．
（1）求点A的坐标；
（2）在x轴上有一动点P（a，0）（其中a＞2），过点P作x轴的垂线，分别交函数y＝﹣+b和y＝x的图象于点C、D．
①若OB＝2CD，求a的值；
②是否存在这样的点P，使以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）可先求得M点坐标，代入直线y＝﹣x+b的解析式，令y＝0则可求得A点坐标；
（2）①用a可表示出C、D的坐标，从而可表示出CD的长，则由条件可得到关于a的方程，可求得a的值；②当四边形为平行四边形时则可得OB＝CD，同①可得到关于a的方程，可求得a的值，则可求得P点坐标．
【解答】解：
（1）∵点M的横坐标为2，点M在直线y＝x上，
∴M（2，2），
∵点M（2，2）在一次函数y＝﹣x+b的图象上，
∴b＝3，
∴一次函数的表达式为y＝﹣x+3，
令y＝0，得x＝6，
∴点A的坐标为（6，0）；
（2）①由题意得：C（a，﹣12a+3），D（a，a），
∴CD＝a﹣（﹣a+3）＝a﹣3，
∵OB＝2CD．
∴2（a﹣3）＝3，
∴a＝3；
②存在，
∵CD∥OB，且以B、O、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴OB＝CD，
∴a﹣3＝3，解得a＝4，
∴P（4，0），
即存在满足条件的点P，其坐标为（4，0）．
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