2019-2020学年辽宁省辽阳市文圣区七年级（下）期末数学试卷 解析版

2019-2020学年辽宁省辽阳市文圣区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．a7÷a＝a6 C．a3•a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6
3．（3分）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）已知：a﹣b＝2，ab＝﹣1，则a2+b2＝（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
5．（3分）小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后把纸片展开，得到的图形应是（　　）

A． B．
C． D．
6．（3分）下列语句正确的有（　　）个
（1）线段是轴对称图形，对称轴是这条线段的垂直平分线；
（2）确定事件的概率是1；
（3）同位角相等；
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（3分）如图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能反映容积内水的体积y与容器内水深x之间的关系的图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
9．（3分）端午节期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按8折优惠”．在此活动中，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，则应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（　　）
A．y＝48x B．y＝48x+20 C．y＝48x﹣80 D．y＝48x+40
10．（3分）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D．下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题题3分，共24分）
11．（3分）若一个角的余角是其补角的，则这个角的度数为　 　．
12．（3分）光在真空中的速度约为3×108米/秒，太阳光照射到地球上大约需要5×102秒，地球与太阳距离约为　 　米．
13．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为　 　．
14．（3分）把一根长度为6的铁丝截成3段，若三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率　 　．
15．（3分）某种细菌每30秒由1个分裂成2个，经过3分，1个细菌分裂成　 　个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成　 　个．
16．（3分）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）的个位数字是　 　．
17．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，图形中相等的角有　 　对，互余的角有　 　对．

18．（3分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交边AB于点D，交边AC于点E，BF垂直平分CE，交AC于点F，则∠A＝　 　度．

三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
19．（6分）计算：
（1）a4+（a2）4﹣（a3）2÷a2；
（2）20192﹣2020×2018（用简便方法计算）．
20．（6分）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E在边BC上，EF⊥AC于F，点M、G在边AB上，∠AMD＝∠AGF，BD与GF交于点H，∠BHG＝∠FEC＝54°．
（1）求∠GFC的度数．
（2）判断DM与BC的位置关系，并说明理由．

21．（6分）先化简，再求值：（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（2a+b）+（a+b）（a﹣b），其中a4＝9﹣2，2b＝42．
四、解答题（本大题共2小题，22题6分，23题8分共14分）
22．（6分）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣PA|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣PA|的最大值．

23．（8分）已知：如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，且AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
（1）试说明：△ABC≌△DEF；
（2）判断线段AC与DF的关系，并说明理由．

五、解答题（本大题共2小题，24题6分，25题8分，共14分）
24．（6分）某城市为了节约用水，采用分段收费标准．若某户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间关系的图象如图所示，根据图形回答：
（1）当每户每月的用水量不足5吨时，每吨水费多少元？当每户每月的用水量超过5吨时，超过的部分每吨交水费多少元？
（2）若某户居民某月交了水费19.5元，则该户居民用了多少吨水？

25．（8分）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD＝CD，CE平分∠ACB．
（1）如图1，试说明BE＝CF．
（2）如图2，若点M在边BC上（不与点B重合），MN⊥AB于点N，交BD于点G，∠BMN＝∠ACB，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．


2019-2020学年辽宁省辽阳市文圣区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：C．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B．a7÷a＝a6 C．a3•a2＝a6 D．（﹣a3）2＝﹣a6
【分析】利用同底数幂的乘法和除法法则以及合并同类项的法则运算即可．
【解答】解：A．a5+a5＝2a5，所以此选项错误；
B．a7÷a＝a6，所以此选项正确；
C．a3•a2＝a5，所以此选项错误；
D．（﹣a3）2＝a6，所以此选项错误；
故选：B．
3．（3分）一个不透明的布袋里装有5个红球，2个白球，3个黄球，它们除颜色外其余都相同，从袋中任意摸出1个球，是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】让黄球的个数除以球的总个数即为所求的概率．
【解答】解：因为一共10个球，其中3个黄球，所以从袋中任意摸出1个球是黄球的概率是．
故选：C．
4．（3分）已知：a﹣b＝2，ab＝﹣1，则a2+b2＝（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【分析】原式利用完全平方公式变形，把已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：∵a﹣b＝2，ab＝﹣1，
∴原式＝（a﹣b）2+2ab＝4﹣2＝2．
故选：B．
5．（3分）小强将一张正方形纸片按如图所示对折两次，并在如图位置上剪去一个小正方形，然后把纸片展开，得到的图形应是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】对于此类问题，学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．
【解答】解：严格按照图中的顺序向左对折，向上对折，从直角三角形的一直角边的正中间剪去一个正方形，展开后实际是从正方形的一条对角线上剪去两个小长方形，得到结论．故选B．
6．（3分）下列语句正确的有（　　）个
（1）线段是轴对称图形，对称轴是这条线段的垂直平分线；
（2）确定事件的概率是1；
（3）同位角相等；
（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据平行公理及推论、概率公式以及概率的意义分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解：（1）线段是轴对称图形，对称轴是这条线段的垂直平分线和这条线段所在直线，故本选项错误；
（2）确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故本选项错误；
（3）两直线平行，同位角相等，故本选项错误；
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误；
故选：A．
7．（3分）如图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能反映容积内水的体积y与容器内水深x之间的关系的图象可能为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故容器内水的体积y与容器内水深x间的函数是增函数，根据球的特征进行判断分析即可．
【解答】解：根据球形容器形状可知，函数y的变化趋势呈现出，当0＜x＜R时，y增量越来越大，当R＜x＜2R时，y增量越来越小，
曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故y关于x的函数图象是先凹后凸．
故选：A．
8．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是（　　）

A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA＝OC，然后判断出△AOE和△COE全等，再根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，从而得到△ABC关于直线AD轴对称，再根据全等三角形的定义写出全等三角形即可得解．
【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，
又∵OE＝OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故选：D．
9．（3分）端午节期间，某商场搞优惠促销活动，其活动内容是：“凡在本商场一次性购买粽子超过100元者，超过100元的部分按8折优惠”．在此活动中，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，则应付款y（元）与商品件数x（件）之间的关系式是（　　）
A．y＝48x B．y＝48x+20 C．y＝48x﹣80 D．y＝48x+40
【分析】根据已知表示出买x件礼盒的总钱数以及优惠后价格，进而得出等式即可．
【解答】解：∵凡在该商店一次性购物超过 100元者，超过100元的部分按8折优惠，李明到该商场一次性购买单价为60元的礼盒x（x＞2）件，
∴李明应付货款y（元）与办公用品件数x（件）的函数关系式是：y＝（60x﹣100）×0.8+100＝48x+20（x＞2），
故选：B．
10．（3分）已知：如图，在△ABC与△AEF中，点F在BC上，AB＝AE，BC＝EF，∠B＝∠E，AB交EF于点D．下列结论：①∠EAB＝∠FAC；②AF＝AC；③FA平分∠EFC；④∠BFE＝∠FAC中，正确的有（　　）个．

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据SAS证明△AEF≌△ABC，由全等三角形的性质和外角性质可依次判断即可求解．
【解答】解：在△AEF和△ABC中，
，
∴△AEF≌△ABC（SAS），
∴∠EAF＝∠BAC，AF＝AC，∠C＝∠EFA，
∴∠EAB＝∠FAC，∠AFC＝∠C，
∴∠EFA＝∠AFC，
即FA平分∠EFC．
又∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠AFE+∠BFE，
∴∠BFE＝∠FAC．
故①②③④正确．
故选：D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题题3分，共24分）
11．（3分）若一个角的余角是其补角的，则这个角的度数为　45°　．
【分析】设这个角的度数为x，则它的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x，再根据题意列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：设这个角的度数为x，则它的余角为90°﹣x，补角为180°﹣x，
依题意得：90°﹣x＝（180°﹣x），
解得x＝45°．
故答案为：45°．
12．（3分）光在真空中的速度约为3×108米/秒，太阳光照射到地球上大约需要5×102秒，地球与太阳距离约为　1.5×1011　米．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：3×108×5×102＝1.5×1011．
故答案为：1.5×1011．
13．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，那么这个等腰三角形的底角为　75°或15°　．
【分析】首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．
【解答】解：根据题意得：AB＝AC，BD⊥AC，
如图（1），∠ABD＝60°，
则∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝75°；
如图（2），∠ABD＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°．
故这个等腰三角形的底角是：75°或15°．
故答案为：75°或15°．

14．（3分）把一根长度为6的铁丝截成3段，若三段的长度均为正整数，则能构成三角形的概率　　．
【分析】先求出将长度为6的铁丝截成3段，每段长度均为整数厘米，共有几种情况，再找出其中能构成三角形的情况，最后根据概率公式计算即可．
【解答】解：因为将长度为6的铁丝截成3段，每段长度均为整数厘米，
共有3种情况，分别是1，1，4；1，2，3；2，2，2；其中能构成三角形的是：2，2，2一种情况，
所以能构成三角形的概率是．
故答案为：．
15．（3分）某种细菌每30秒由1个分裂成2个，经过3分，1个细菌分裂成　64　个，这些细菌再继续分裂t分后共分裂成　22t+6　个．
【分析】把3分、t分转化为含30秒的次数，根据乘方的意义得结论．
【解答】解：因为3分＝6个30秒，
所以1个细菌经过3分钟分裂成26个，即64个．
t分＝2t个30秒，
再继续分裂t分钟，即一个细菌分裂了（2t+6）次，
此时共分裂22t+6个．
故答案为：64，22t+6．
16．（3分）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）的个位数字是　5　．
【分析】先根据平方差公式进行计算，求出264的末位数字是6，再求出答案即可．
【解答】解：（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）
＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）…（232+1）
＝（24﹣1）（24+1）…（232+1）
＝…
＝264﹣1，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…
∴264的末位数字是6，
∴264﹣1的末位数字是5，
故答案为：5．
17．（3分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AD，垂足为点D，图形中相等的角有　5　对，互余的角有　3　对．

【分析】可以在Rt△ABC和Rt△BDC、Rt△ADC分别找出与相等和互余的角．
【解答】解：图形中相等的角有∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD，∠A＝∠BCD，∠ACB＝∠BDC，∠ACB＝∠CDA，∠BDC＝∠CDA，一共5对，互余的角有∠A和∠B，∠A和∠ACD，∠B和∠BCD，一共3对．
故答案为：5；3．
18．（3分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AB，交边AB于点D，交边AC于点E，BF垂直平分CE，交AC于点F，则∠A＝　36　度．

【分析】连结BE，根据线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质可得5∠A＝180°，即可得出答案．
【解答】解：连结BE，
∵DE垂直平分AB，
∴∠ABE＝∠A，
∵BF垂直平分AC，
∴∠BEF＝∠C，
∵∠BEC＝∠ABE+∠A，
∴∠C＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2∠A，
∴5∠A＝180°，
解得∠A＝36°．
故答案为：36．

三、解答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
19．（6分）计算：
（1）a4+（a2）4﹣（a3）2÷a2；
（2）20192﹣2020×2018（用简便方法计算）．
【分析】（1）先算乘方，再算除法，最后合并同类项即可；
（2）先变形，再根据平方差公式进行计算，最后求出即可．
【解答】解：（1）原式＝a4+a8﹣a6÷a2
＝a4+a8﹣a4
＝a8；

（2）原式＝20192﹣（2019+1）×（2019﹣1）
＝20192﹣20192+1
＝1．
20．（6分）已知：如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，点E在边BC上，EF⊥AC于F，点M、G在边AB上，∠AMD＝∠AGF，BD与GF交于点H，∠BHG＝∠FEC＝54°．
（1）求∠GFC的度数．
（2）判断DM与BC的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）根据平行线的判定和性质解答即可；
（2）根据平行线的判定解答即可．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，
∴∠BDF＝∠EFC＝90°，
∴BD∥EF，
∴∠HBE＝∠FEC，
∵∠BHG＝∠FEC＝54°，
∴∠BHG＝∠HBE＝54°，
∴GF∥BC，
∴∠GFE＝∠FEC＝54°，
∴∠GFC＝∠HFE+∠EFC＝54°+90°＝144°；
（2）DM∥BC，理由如下：
∵∠AMD＝∠AGF，
∴DM∥GF，
∵GF∥BC，
∴DM∥BC．
21．（6分）先化简，再求值：（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（2a+b）+（a+b）（a﹣b），其中a4＝9﹣2，2b＝42．
【分析】先根据整式的乘法法则和乘法公式算乘法，再合并同类项，求出a、b的值，最后再代入求出即可．
【解答】解：（a﹣2b）2﹣（a﹣b）（2a+b）+（a+b）（a﹣b）
＝a2﹣4ab+4b2﹣2a2﹣ab+2ab+b2+a2﹣b2
＝4b2﹣3ab，
∵a4＝9﹣2，2b＝42，
∴a4＝（3﹣1）4，2b＝24，
∴a＝±，b＝4，
当a＝，b＝4时，原式＝4×42﹣3××4＝60；
当a＝﹣，b＝4时，原式＝64+4＝68．
四、解答题（本大题共2小题，22题6分，23题8分共14分）
22．（6分）已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．
（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣PA|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣PA|的最大值．

【分析】（1）利用网格特点，分别画出A、B、C关于直线的对称点A1、B1、C1即可；
（2）由于PA＝PA1，则|PB﹣PA|＝|PB﹣PA1|，而|PB﹣PA1|≤A1B，当点P、A1、B共线时取等号，从而得到|PB﹣PA|的最大值．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，点P为所作，|PB﹣PA|的最大值为3．

23．（8分）已知：如图，点B、E、C、F四点在一条直线上，且AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF．
（1）试说明：△ABC≌△DEF；
（2）判断线段AC与DF的关系，并说明理由．

【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出答案；
（2）由全等三角形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF
∵BE＝FC，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
（2）AC＝DF，AC∥DF．
理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，
∴AC∥DF．
五、解答题（本大题共2小题，24题6分，25题8分，共14分）
24．（6分）某城市为了节约用水，采用分段收费标准．若某户居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间关系的图象如图所示，根据图形回答：
（1）当每户每月的用水量不足5吨时，每吨水费多少元？当每户每月的用水量超过5吨时，超过的部分每吨交水费多少元？
（2）若某户居民某月交了水费19.5元，则该户居民用了多少吨水？

【分析】（1）根据图象给出的数据即可求出答案．
（2）设该户居民用了x吨水，根据题意列出方程即可求出答案．
【解答】解：（1）当用水量不足5吨时，
每吨水费为：＝元/吨，
当用水量超过5吨时，
每吨水费为：＝元/吨．
（2）设该户居民用了x吨水，
由题意可知：5×+（x﹣5）＝19.5，
解得：x＝7，
答：该户居民用了7吨水．
25．（8分）已知：如图，BD、CE是△ABC的高，BD、CE交于点F，BD＝CD，CE平分∠ACB．
（1）如图1，试说明BE＝CF．
（2）如图2，若点M在边BC上（不与点B重合），MN⊥AB于点N，交BD于点G，∠BMN＝∠ACB，请直接写出BN与MG的数量关系，并画出能够说明该结论成立的辅助线，不必书写过程．

【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△FCD，可得AB＝CF，由“ASA”可证△ACE≌△BCE，可得AE＝BE，可得结论；
（2）如图，过点M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，由“SAS”可证BPH≌△MPG，可得GM＝BH，由“ASA”可证△BMN≌△HMN，可得BN＝NH，可得结论．
【解答】解：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠BDC＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠ACE＝90°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD（SAS），
∴AB＝CF，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE，
在△ACE和△BCE中，
，
∴△ACE≌△BCE（ASA），
∴AE＝BE，
∴BE＝AB＝CF；
（2）BN＝MG，
理由如下：如图，过点M作MH∥AC，交AB于H，交BD于P，

∵BD＝CD，BD⊥CD，
∴∠DBC＝∠DCB＝45°，
∵MH∥AC，
∴∠PMB＝∠DCB＝∠PBM＝45°，∠BPM＝∠BDC＝90°，
∴BP＝PM，
∵∠BHP+∠HBP＝90°，∠BHP+∠HMN＝90°，
∴∠HBP＝∠HMN，
在△BHP和△MGP中，
，
∴△BPH≌△MPG（ASA），
∴GM＝BH，
∵∠BMN＝∠ACB＝22.5°，
∴∠BMN＝∠HMN＝22.5°，
在△BMN和△HMN中，
，
∴△BMN≌△HMN（ASA）
∴BN＝NH，
∴BN＝BH＝MG．