人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试精练

这是一份人教版九年级上册22.1 二次函数的图象和性质综合与测试精练，共14页。

一．选择题


1．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ）


A．y＝﹣2（x+1）2+1B．y＝﹣2（x﹣1）2+1


C．y＝﹣2（x﹣1）2﹣1D．y＝﹣2（x+1）2﹣1


2．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）


A．B．C．D．


3．如图在同一个坐标系中函数y＝kx2和y＝kx﹣2（k≠0）的图象可能的是（ ）


A．B．C．D．


4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c满足（ ）





A．a＞0，b＞0，c＜0B．a＞0，b＜0，c＜0


C．a＜0，b＞0，c＞0D．a＞0，b＜0，c＞0


5．已知A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k图象上两点，且x1＜x2＜1，则下列说法正确的是（ ）


A．y1+y2＞0B．y1+y2＜0C．y1﹣y2＞0D．y1﹣y2＜0


6．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）在二次函数y＝x2+2x﹣m的图象上，则下列有关y1和y2的大小关系的结论中正确的是（ ）


A．y1＝y2 B．y1＜y2 C．y1＞y2 D．与m的值有关


7．已知点P（m，n）在抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0）上，当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，则a的值为（ ）


A．1B．﹣1C．2D．﹣2


8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②a+b+c＜0；③5a+4c＜0；④4ac﹣b2＞0；⑤若P（﹣5，y1），Q（m，y2）是抛物线上两点，且y1＞y2，则实数m的取值范围是﹣5＜m＜3．其中正确结论的个数是（ ）





A．1B．2C．3D．4


9．y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列4个代数式a+2b+c，2a+b+c，3a+2b+c，﹣，其中值一定大于1的个数是（ ）





A．1个B．2个C．3个D．4个


10．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③9a﹣3b+c＝0；④若m＞n＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的序号是（ ）





A．①③B．②④C．②③D．③④


二．填空题


11．函数y＝（m+2）+2x+1是二次函数，则m的值为 ．


12．二次函数y＝ax2+4x+a的最大值是3，则a的值是 ．


13．若A（1，y1），B（3，y2），C（﹣3，y3）三点都在二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是： ．


14．设y1与y2都是x的二次函数，且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4，已知当x＝m时，y1＝y2＝﹣8，当x＝﹣m时，y1＝y2＝8，则m的值为 ．


15．记函数y＝x2﹣6x﹣5a+3（﹣2≤x≤6）的图象为图形M，函数y＝﹣x+4的图象为图形N，若M与N没有公共点，则a的取值范围是 ．


16．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜0时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0中，正确的有 ．（只填序号）





三．解答题（共4小题）


17．抛物线y＝x2﹣x+4在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线y＝﹣x﹣4与x轴交于点A（﹣5，0），与y轴交于点B．在抛物线上是否存在一点P．使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标并求出△PAB的面积的最小值；若不存在，说明理由．








18．在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x﹣1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A，B．


（1）求点A，B的坐标；


（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；


（3）若抛物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．





19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A．


（1）直接写出点A的坐标；


（2）点A、B关于对称轴对称，求点B的坐标；


（3）已知点P（4，0），．若抛物线与线段PQ恰有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．








20．如图，已知直线y＝x+与x轴、y轴分别相交于B、A两点，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B两点，且对称轴为x＝﹣3．


（1）求A、B两点的坐标，并求抛物线的解析式；


（2）若点P以1个单位/秒的速度从点B沿x轴向点O运动，过点P作y轴的平行线交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P运动的时间为t，MN的长度为s，求s与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，s取得最大值？





参考答案


一．选择题


1．解：∵函数y＝﹣2x2的顶点为（0，0），


∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），


∴将函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣1）2+1，


故选：B．


2．解：A、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；


B、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向下，故选项错误；


C、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的图象应该开口向上，对称轴x＝﹣＞0，故选项正确；


D、由一次函数y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴x＝﹣＜0，故选项错误．故选：C．


3．解：当k＞0时，函数y＝kx﹣2的图象经过一、三、四象限；函数y＝kx2的开口向上，对称轴在y轴上；


当k＜0时，函数y＝kx﹣2的图象经过二、三、四象限；函数y＝kx2的开口向下，对称轴在y轴上，故C正确．


故选：C．


4．解：∵二次函数的图象开口向上，


∴a＞0，


∵二次函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，


∴c＜0，


∵二次函数的对称轴在y轴的右边，


∴﹣＞0，


∴＜0，


∵a＞0，


∴b＜0，


故选：B．


5．解：∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2+k图象的对称轴为直线x＝1，


开口向下，而x1＜x2＜1，


∴y1＜y2，


即y1﹣y2＜0．


故选：D．


6．解：y＝x2+2x﹣m＝（x+1）2﹣1﹣m，


∵点A（﹣2，y1）是二次函数y＝（x+1）2﹣1﹣m图象上的点，


∴y1＝（﹣2+1）2﹣1﹣m＝1﹣1﹣m＝﹣m；


∵点B（1，y2）是二次函数y＝（x+1）2﹣1﹣m图象上的点，


∴y2＝（1+1）2﹣1﹣m＝4﹣1﹣m＝3﹣m．


∴y1＜y2．


故选：B．


7．解：∵抛物线y＝a（x﹣5）2+9（a≠0），


∴抛物线的顶点为（5，9），


∵当7＜m＜8时，总有n＜1，


∴a不可能大于0，


则a＜0，


∴x＜5时，y随x的增大而增大，x＞5时，y随x的增大而减小，


∵当3＜m＜4时，总有n＞1，当7＜m＜8时，总有n＜1，且x＝3与x＝7对称，


∴m＝3时，n≤1，m＝7时，n≥1，


∴，


∴4a+9＝1，


∴a＝﹣2，


故选：D．


8．解：①观察图象可知：


a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，


∴①正确；


②当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，


∴②错误；


③对称轴x＝﹣1，即﹣＝﹣1


得b＝2a，


当x＝时，y＜0，


即a+b+c＜0，


即a+2b+4c＜0，


∴5a+4c＜0．


∴③正确；


④因为抛物线与x轴有两个交点，


所以△＞0，即b2﹣4ac＞0，


∴4ac﹣b2＜0．


∴④错误；


⑤∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1），


∴当y1＞y2时，﹣5＜m＜3．


∴⑤正确．


故选：C．


9．解：由y＝ax2+bx+c的图象可得：


开口向下，故a＜0；


与y轴的交点在（0，1）的上方，故c＞1；


对称轴在y轴右侧，且a＜0故b＞0；


由图象可知当x＝1时，y＝a+b+c＞1


∴a+2b+c＝a+b+c+b＞1；


∵对称轴x＝﹣＞1，


∴b＞﹣2a，


∴2a+b＞0，


∴2a+b+c＞0+c＞1；


3a+2b+c＝（2a+b）+（a+）++c＞0++0+c＞c＞1；


综上所述，值一定大于1的个数是4个．


故选：D．


10．解：①观察图象可知：


a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，


所以①错误；


②∵对称轴为直线x＝﹣1，


即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，


所以②错误；


③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，


∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），


当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，


所以③正确；


∵m＞n＞0，


∴m﹣1＞n﹣1＞﹣1，


由x＞﹣1时，y随x的增大而减小知x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值，故④正确；


故选：D．


二．填空题


11．解：∵函数y＝（m+2）+2x+1是二次函数，


∴m2+m＝2，m+2≠0，


解得：m＝1或﹣2，m≠﹣2，


∴m＝1．


故答案为：1．


12．解：由题意得，＝3，


整理得，a2﹣3a﹣4＝0，


解得a1＝4，a2＝﹣1，


∵二次函数有最大值，


∴a＜0，


∴a＝﹣1．


故答案为：﹣1．


13．解：∵二次函数y＝x2﹣4x﹣m，


∴对称轴为x＝2，


A（1，y1），C（﹣3，y3）在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，


因为1＞﹣3，故y1＜y3，


根据二次函数图象的对称性可知，B（3，y2）与（1，y3）关于对称轴对称，


故有y2＝y1；


于是y2＝y1＜y3．


故答案为y2＝y1＜y3．


14．解：由题意设y1＝a（x﹣m）2﹣8（a＞0），且y1+y2＝﹣x2﹣8x+4．


∴y2＝﹣x2﹣8x+4﹣a（x﹣m）2+8．


∵x＝m，y2＝﹣8，


∴﹣m2﹣8m+12＝﹣8，解得m＝2或m＝﹣10（舍去），


∴m的值为2．


故答案为：2．


15．解：∵函数y＝x2﹣6x﹣5a+3（﹣2≤x≤6）的图象为图形M，


函数y＝﹣x+4的图象为图形N，若M与N没有公共点，


∴①△＜0，


∴x2﹣6x﹣5a+3＝﹣x+4


∴x2﹣5x﹣5a﹣1＝0


△＝25+20a+4＝20a+29


∴20a+29＜0解得a＜﹣；


②当x＝﹣2时，代入函数y＝﹣x+4，得y＝6，


代入函数y＝x2﹣6x﹣5a+3，得y＝﹣5a+19，


当﹣2≤x≤6时，﹣5a+19＜6，解得a＞；


③当x＝6时，代入函数y＝﹣x+4，得y＝﹣2，


代入函数y＝x2﹣6x﹣5a+3，得y＝﹣5a+3，


当﹣2≤x≤6时，﹣5a+3＜﹣2，解得a＞1．


所以综上a＞．


则a的取值范围是a＞或a＜﹣．


故答案为：a＞或a＜﹣．


16．解：①根据图象可知：


a＞0，b＜0，c＜0，


∴abc＞0．


∴①正确；


②∵抛物线与x轴有两个交点，


∴△＞0，即b2﹣4ac＞0，


4ac＜b2．


∴②正确；


③∵抛物线的对称轴x＜1，


即﹣＜1，得2a+b＞0．


∴③正确；


④∵抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣2），


∴抛物线的顶点的纵坐标不能为﹣2．


∴④错误；


⑤根据抛物线的性质可知：


当x＜0时，y随x的增大而减小；


∴⑤正确；


⑥当x＝1时，y＜0，


即a+b+c＜0．


∴⑥错误．


故答案为①②③⑤．


三．解答题


17．解：设与直线y＝﹣x﹣4平行的直线解析式为y＝﹣x+m，


代入抛物线y＝x2﹣x+4＝﹣x+m，即4x2﹣20x+（20﹣5m）＝0，


△＝400﹣4×4（20﹣5m）＝0，


解得m＝﹣1，


则4x2﹣20x+25＝0，


解得x＝，


则y＝﹣﹣1＝﹣3，


则交点P的坐标（，﹣3），


过P作EF∥y轴，交x轴于F，交AB于E，


∴AF＝＝，PF＝3，


当x＝时，y＝﹣×﹣4＝﹣6，


∴PE＝6﹣3＝3，


则△PAB面积的最小值＝S△AFE﹣S△AFP﹣S△BPE＝﹣﹣＝．





18．解：（1）当y＝2时，则2＝x﹣1，


解得：x＝3，


∴A（3，2），


∵点A关于直线x＝1的对称点为B，


∴B（﹣1，2）．


（2）把（3，2），（﹣1，2）代入抛物线C1：y＝x2+bx+c得：





解得：


∴y＝x2﹣2x﹣1．


顶点坐标为（1，﹣2）．


（3）如图，当C2过A点，B点时为临界，





代入A（3，2）则9a＝2，


解得：a＝，


代入B（﹣1，2），则a（﹣1）2＝2，


解得：a＝2，


∴≤a＜2．


19．解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与y轴交于点A，


∴A的坐标为（0，﹣3）；


（2）∵；


∴B（2，﹣3）．


（3）当抛物线过点P（4，0）时，，


∴．


此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．


当抛物线过点时，a＝1，


此时，抛物线与线段PQ有两个公共点．．


∵抛物线与线段PQ恰有两个公共点，


∴．


∵△＝4a2+12a＞0


∴a＞0或a＜﹣3，


当抛物线开口向下时，


a＜﹣3．


综上所述，当或a＜﹣3时，抛物线与线段PQ恰有两个公共点．


20．解：（1）∵直线y＝x+与x轴、y轴分别相交于B、A两点，


∴令x＝0，则y＝，令y＝0，则x＝﹣7，


∴A（0，），B（﹣7，0），


∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3．


∴设抛物线的解析式为y＝a（x+3）2+n，


∵抛物线过A（0，），B（﹣7，0），


∴解得．


∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）2+8．


（2）设BP＝t（0＜t＜7），则OP＝7﹣t，


∴P（t﹣7，0）


∵由于MP与y轴平行，且点M在直线AB上


∴M（t﹣7，），


∵MN与y轴平行，且点N在抛物线上


∴N（t﹣7，﹣（t﹣7+3）2+8），


∴s＝MN＝﹣（t﹣7+3）2+8﹣＝﹣t2+t（0＜t＜7），


∵﹣＜0，即S有最大值


∴当t＝﹣＝时，s最大＝﹣×（）2+×＝．