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2019-2020学年广东省佛山市三水区七年级（下）期末数学试卷 解析版
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2019-2020学年广东省佛山市三水区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+b＝ab B．（x+1）2＝x2+1
C．a10÷a5＝a2 D．（﹣a3）2＝a6
2．（3分）某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（ ）
A．9.5×10﹣7 B．9.5×10﹣8 C．0.95×10﹣7 D．95×10﹣8
3．（3分）以每组数为线段的长度，可以构成三角形三边的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4，4，8
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．内错角相等
B．掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上
C．13人中至少有两个人的生肖相同
D．打开电视，一定能看到三水新闻
5．（3分）如果∠A＝50°，那么∠A的余角是（ ）
A．30° B．40° C．90° D．130°
6．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，把一副三角板放在桌面上，当AB∥DC时，∠CAE等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．（3分）一个长方体的长、宽、高分别是3m﹣4，2m和m，则它的体积是（ ）
A．3m3﹣4m2 B．3m2﹣4m3 C．6m3﹣8m2 D．6m2﹣8m3
9．（3分）为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（ ）
A．[（a+c）﹣b][（a﹣c）+b] B．[（a﹣b）+c][（a+b）﹣c]
C．[a﹣（b+c）][a+（b﹣c）] D．[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]
10．（3分）如图所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的有（ ）
①体育场离张强家3.5千米
②张强在体育场锻炼了15分钟
③体育场离早餐店1.5千米
④张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：（﹣a2）•a3＝ ．
12．（4分）若ax＝2，ay＝3，则ax﹣y＝ ．
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的度数是 ．
14．（4分）有5张纸签，分别标有数字2，3，4，5，6，从中随机抽出一张，则抽出标有数字为偶数的概率为 ．
15．（4分）等腰三角形两边长为3和6，则此等腰三角形的周长是 ．
16．（4分）三角形的底边长为8，高是x，那么三角形的面积y与高x之间的关系式是 ．
17．（4分）如图，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D在线段AB上运动，线段CD的最短距离是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）﹣32+50﹣（）﹣2+（﹣1）2020
19．（6分）先化简再求值：[（x﹣y）2﹣（y﹣x）（y+x）]÷2x，其中x＝2021，y＝1．
20．（6分）元旦期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖，指向其余数字不中奖．
（1）转动转盘中奖的概率是多少？
（2）元旦期间有1000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）
21．（8分）如图，AB＝CD，AF＝CE，∠A＝∠C，那么BE＝DF吗？请说明理由．
22．（8分）三水区响应“绿色环保”号召，鼓励市民节约用电，对电费采用分段收费标准，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）之间关系的图象如图所示：
（1）当用电量不超过50度时，每度收费多少元？超过50度时，超过的部分每度收费多少元？
（2）若某户居民某月交电费120元，该户居民用电多少度？
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝40°．用尺规作图作边AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，请利用这一方法解决下列问题：
（1）观察图2，写出所表示的数学等式： ＝ ．
（2）观察图3，写出所表示的数学等式： ＝ ．
（3）已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37．请利用（2）中的结论求ab+bc+ac的值．
25．（10分）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s），当点P到达点B时，点Q也停止运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1s时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ吗？请说明理由．
（2）将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”后得到如图（2），其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．
（3）在（2）成立的条件下且P、Q两点的运动速度相同时，∠CPQ＝ ．（直接写出结果）
2019-2020学年广东省佛山市三水区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+b＝ab B．（x+1）2＝x2+1
C．a10÷a5＝a2 D．（﹣a3）2＝a6
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的的除法的运算法则、幂的乘方的运算法则进行计算后判断即可．
【解答】解：A、a与b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（x+1）2＝x2+2x+1，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（ ）
A．9.5×10﹣7 B．9.5×10﹣8 C．0.95×10﹣7 D．95×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000095＝9.5×10﹣7，
故选：A．
3．（3分）以每组数为线段的长度，可以构成三角形三边的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4，4，8
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、5+6＝11＞10，能组成三角形；
B、5+6＝11，不能够组成三角形；
C、3+4＝7＜8，不能组成三角形；
D、4+4＝8，不能组成三角形．
故选：A．
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．内错角相等
B．掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上
C．13人中至少有两个人的生肖相同
D．打开电视，一定能看到三水新闻
【分析】直接利用随机事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A．内错角相等，是随机事件，不合题意；
B．掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上，是随机事件，不合题意；
C．13人中至少有两个人的生肖相同，是必然事件，符合题意；
D．打开电视，一定能看到三水新闻，是随机事件，不合题意；
故选：C．
5．（3分）如果∠A＝50°，那么∠A的余角是（ ）
A．30° B．40° C．90° D．130°
【分析】和为90°的两个角是互为余角，∠A的余角为（90°﹣∠A），代入计算即可．
【解答】解：90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
6．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
7．（3分）如图，把一副三角板放在桌面上，当AB∥DC时，∠CAE等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】根据三角形的内角和定理和平行线的性质定理可得结果．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠EAB＝∠AED＝45°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠CAE＝EAB﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
8．（3分）一个长方体的长、宽、高分别是3m﹣4，2m和m，则它的体积是（ ）
A．3m3﹣4m2 B．3m2﹣4m3 C．6m3﹣8m2 D．6m2﹣8m3
【分析】根据长方体体积的计算方法，列出算式进行计算即可．
【解答】解：根据长方体体积的计算公式得，（3m﹣4）•2m•m＝6m3﹣8m2，
故选：C．
9．（3分）为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（ ）
A．[（a+c）﹣b][（a﹣c）+b] B．[（a﹣b）+c][（a+b）﹣c]
C．[a﹣（b+c）][a+（b﹣c）] D．[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]
【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项．
【解答】解：（a﹣b+c）（a+b﹣c）＝[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]．
故选：D．
10．（3分）如图所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的有（ ）
①体育场离张强家3.5千米
②张强在体育场锻炼了15分钟
③体育场离早餐店1.5千米
④张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象的横坐标，可得时间，根据函数图象的纵坐标，可得距离．
【解答】解：由纵坐标看出，体育场离张强家3.5千米，故①说法正确；
由横坐标看出，30﹣15＝15分钟，张强在体育场锻炼了15分钟，故②说法正确；
由纵坐标看出，3.5﹣2.0＝1.5千米，体育场离早餐店1.5千米，故③说法正确；
由纵坐标看出早餐店离家2千米，由横坐标看出从早餐店回家用了95﹣65＝30分钟＝0.5小时，2÷＝4千米/小时，故④说法错误；
故选：A．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：（﹣a2）•a3＝ ﹣a5 ．
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：原式＝﹣a5，
故答案是﹣a5．
12．（4分）若ax＝2，ay＝3，则ax﹣y＝ ．
【分析】根据同底数幂的除法与幂的乘方的性质，即可得ax﹣y＝ax÷ay，又由ax＝2，ay＝3，即可求得答案．
【解答】解：∵ax＝2，ay＝3，
∴ax﹣y＝ax÷ay＝2÷3＝．
故答案为：．
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的度数是 80° ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．
故答案为：80°．
14．（4分）有5张纸签，分别标有数字2，3，4，5，6，从中随机抽出一张，则抽出标有数字为偶数的概率为 ．
【分析】直接利用偶数的定义结合概率求法得出答案．
【解答】解：有5张纸签，分别标有数字2，3，4，5，6，
从中随机抽出一张，则抽出标有数字为偶数的是2，4，6，
故抽出标有数字为偶数的概率为：．
故答案为：．
15．（4分）等腰三角形两边长为3和6，则此等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】首先根据三角形的三边关系推出腰长为6，底边长为3，即可推出周长．
【解答】解：若3为腰长，6为底边长，
∵3+3＝6，
∴腰长不能为3，底边长不能为6，
∴腰长为6，底边长为3，
∴周长＝6+6+3＝15．
故答案为15．
16．（4分）三角形的底边长为8，高是x，那么三角形的面积y与高x之间的关系式是 y＝4x ．
【分析】根据三角形的面积计算方法可得函数关系式．
【解答】解：y＝×8x＝4x，
故答案为：y＝4x．
17．（4分）如图，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D在线段AB上运动，线段CD的最短距离是 4.8 ．
【分析】当CD⊥AB时，线段CD的长度最短，依据三角形的面积即可得到CD的长．
【解答】解：∵点D在线段AB上运动，
∴当CD⊥AB时，线段CD的长度最短，
又∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴AC×BC＝AB×CD，
∴CD＝＝＝4.8，
故答案为：4.8．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）﹣32+50﹣（）﹣2+（﹣1）2020
【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：﹣32+50﹣（）﹣2+（﹣1）2020
＝﹣9+1﹣4+1
＝﹣11．
19．（6分）先化简再求值：[（x﹣y）2﹣（y﹣x）（y+x）]÷2x，其中x＝2021，y＝1．
【分析】原式中括号中利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：[（x﹣y）2﹣（y﹣x）（y+x）]÷2x
＝（x2﹣2xy+y2﹣y2+x2）÷2x
＝（2x2﹣2xy）÷2x
＝x﹣y，
当x＝2021，y＝1时，原式＝2021﹣1＝2020．
20．（6分）元旦期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖，指向其余数字不中奖．
（1）转动转盘中奖的概率是多少？
（2）元旦期间有1000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？
【分析】（1）找到8，2，6，1，3，5份数之和占总份数的多少即为中奖的概率，
（2）先求出获得一等奖的概率，从而得出获得一等奖的人数．
【解答】解：（1）∵数字8，2，6，1，3，5的份数之和为6份，
∴转动圆盘中奖的概率为：＝；
（2）根据题意可得，获得一等奖的概率是，
则元旦这天有1000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数为：1000×＝125（人）．
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）
21．（8分）如图，AB＝CD，AF＝CE，∠A＝∠C，那么BE＝DF吗？请说明理由．
【分析】由“SAS”可证△ABF≌△CDE，可得BF＝DE，可得BE＝DF．
【解答】解：BE＝DF．理由如下：
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF．
22．（8分）三水区响应“绿色环保”号召，鼓励市民节约用电，对电费采用分段收费标准，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）之间关系的图象如图所示：
（1）当用电量不超过50度时，每度收费多少元？超过50度时，超过的部分每度收费多少元？
（2）若某户居民某月交电费120元，该户居民用电多少度？
【分析】（1）根据图象上点的坐标进行列式计算即可；
（2）根据（1）的结论求出超过50度部分的用电量即可求解．
【解答】解：（1）不超过50度时每度收费：30÷50＝0.6（元），
超过50度时，超过的部分每度收费：（60﹣30）÷（80﹣50）＝1（元）；
答：当用电量不超过50度时，每度收费0.5元，超过50度时，超过的部分每度收费1元．
（2）120﹣0.6×50＝90（元），
90÷1＝90（度），
50+90＝140（度）．
答：该户居民用电140度．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝40°．用尺规作图作边AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】分别以A．B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AC于D，交AB于E．
【解答】解：如图，直线DE即为所求．
五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，请利用这一方法解决下列问题：
（1）观察图2，写出所表示的数学等式： （a+2b）（a+b） ＝ a2+3ab+2b2 ．
（2）观察图3，写出所表示的数学等式： （a+b+c）2 ＝ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ．
（3）已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37．请利用（2）中的结论求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）根据大矩形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（2）根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（3）先求出（a+b+c）2的值，再根据（2）中关系式求得结果．
【解答】解：（1）大矩形的面积＝（a+2b）（a+b），
各部分面积和＝a2+3ab+2b2，
∴（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（a+b）；a2+3ab+2b2；
（2）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2；
各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：（a+b+c）2；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）由（2）得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∵（a+b+c）2＝（7x﹣5﹣4x+2﹣3x+4）2＝1，
∴1＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a2+b2+c2＝37，
∴1＝37+2（ab+bc+ac），
∴2（ab+bc+ac）＝﹣36，
∴ab+bc+ac＝﹣18．
25．（10分）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s），当点P到达点B时，点Q也停止运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1s时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ吗？请说明理由．
（2）将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”后得到如图（2），其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．
（3）在（2）成立的条件下且P、Q两点的运动速度相同时，∠CPQ＝ 60° ．（直接写出结果）
【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可；
（3）根据题意得P、Q两点的运动速度为2，得到BP＝AC，根据全等三角形的性质得到∠C＝∠BPQ，于是得到结论．
【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ，
∵AC⊥AB，BD⊥AB
∴∠A＝∠B＝90°
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，
①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝；
（3）∵∠A＝∠B＝60°
∵P、Q两点的运动速度相同，
∴P、Q两点的运动速度为2，
∴t＝1，
∴AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝120°，
∴∠APC+∠BPQ＝120°，
∴∠CPQ＝60°．
故答案为：60°．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+b＝ab B．（x+1）2＝x2+1
C．a10÷a5＝a2 D．（﹣a3）2＝a6
2．（3分）某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（ ）
A．9.5×10﹣7 B．9.5×10﹣8 C．0.95×10﹣7 D．95×10﹣8
3．（3分）以每组数为线段的长度，可以构成三角形三边的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4，4，8
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．内错角相等
B．掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上
C．13人中至少有两个人的生肖相同
D．打开电视，一定能看到三水新闻
5．（3分）如果∠A＝50°，那么∠A的余角是（ ）
A．30° B．40° C．90° D．130°
6．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（3分）如图，把一副三角板放在桌面上，当AB∥DC时，∠CAE等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
8．（3分）一个长方体的长、宽、高分别是3m﹣4，2m和m，则它的体积是（ ）
A．3m3﹣4m2 B．3m2﹣4m3 C．6m3﹣8m2 D．6m2﹣8m3
9．（3分）为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（ ）
A．[（a+c）﹣b][（a﹣c）+b] B．[（a﹣b）+c][（a+b）﹣c]
C．[a﹣（b+c）][a+（b﹣c）] D．[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]
10．（3分）如图所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的有（ ）
①体育场离张强家3.5千米
②张强在体育场锻炼了15分钟
③体育场离早餐店1.5千米
④张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：（﹣a2）•a3＝ ．
12．（4分）若ax＝2，ay＝3，则ax﹣y＝ ．
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的度数是 ．
14．（4分）有5张纸签，分别标有数字2，3，4，5，6，从中随机抽出一张，则抽出标有数字为偶数的概率为 ．
15．（4分）等腰三角形两边长为3和6，则此等腰三角形的周长是 ．
16．（4分）三角形的底边长为8，高是x，那么三角形的面积y与高x之间的关系式是 ．
17．（4分）如图，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D在线段AB上运动，线段CD的最短距离是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）﹣32+50﹣（）﹣2+（﹣1）2020
19．（6分）先化简再求值：[（x﹣y）2﹣（y﹣x）（y+x）]÷2x，其中x＝2021，y＝1．
20．（6分）元旦期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖，指向其余数字不中奖．
（1）转动转盘中奖的概率是多少？
（2）元旦期间有1000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）
21．（8分）如图，AB＝CD，AF＝CE，∠A＝∠C，那么BE＝DF吗？请说明理由．
22．（8分）三水区响应“绿色环保”号召，鼓励市民节约用电，对电费采用分段收费标准，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）之间关系的图象如图所示：
（1）当用电量不超过50度时，每度收费多少元？超过50度时，超过的部分每度收费多少元？
（2）若某户居民某月交电费120元，该户居民用电多少度？
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝40°．用尺规作图作边AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，请利用这一方法解决下列问题：
（1）观察图2，写出所表示的数学等式： ＝ ．
（2）观察图3，写出所表示的数学等式： ＝ ．
（3）已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37．请利用（2）中的结论求ab+bc+ac的值．
25．（10分）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s），当点P到达点B时，点Q也停止运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1s时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ吗？请说明理由．
（2）将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”后得到如图（2），其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．
（3）在（2）成立的条件下且P、Q两点的运动速度相同时，∠CPQ＝ ．（直接写出结果）
2019-2020学年广东省佛山市三水区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a+b＝ab B．（x+1）2＝x2+1
C．a10÷a5＝a2 D．（﹣a3）2＝a6
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、同底数幂的的除法的运算法则、幂的乘方的运算法则进行计算后判断即可．
【解答】解：A、a与b不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（x+1）2＝x2+2x+1，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、a10÷a5＝a5，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（﹣a3）2＝a6，原计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（ ）
A．9.5×10﹣7 B．9.5×10﹣8 C．0.95×10﹣7 D．95×10﹣8
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000095＝9.5×10﹣7，
故选：A．
3．（3分）以每组数为线段的长度，可以构成三角形三边的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4，4，8
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，
A、5+6＝11＞10，能组成三角形；
B、5+6＝11，不能够组成三角形；
C、3+4＝7＜8，不能组成三角形；
D、4+4＝8，不能组成三角形．
故选：A．
4．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．内错角相等
B．掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上
C．13人中至少有两个人的生肖相同
D．打开电视，一定能看到三水新闻
【分析】直接利用随机事件的定义分别分析得出答案．
【解答】解：A．内错角相等，是随机事件，不合题意；
B．掷两枚硬币，必有一个正面朝上，一个反面朝上，是随机事件，不合题意；
C．13人中至少有两个人的生肖相同，是必然事件，符合题意；
D．打开电视，一定能看到三水新闻，是随机事件，不合题意；
故选：C．
5．（3分）如果∠A＝50°，那么∠A的余角是（ ）
A．30° B．40° C．90° D．130°
【分析】和为90°的两个角是互为余角，∠A的余角为（90°﹣∠A），代入计算即可．
【解答】解：90°﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
6．（3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
7．（3分）如图，把一副三角板放在桌面上，当AB∥DC时，∠CAE等于（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【分析】根据三角形的内角和定理和平行线的性质定理可得结果．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠EAB＝∠AED＝45°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠CAE＝EAB﹣∠BAC＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
8．（3分）一个长方体的长、宽、高分别是3m﹣4，2m和m，则它的体积是（ ）
A．3m3﹣4m2 B．3m2﹣4m3 C．6m3﹣8m2 D．6m2﹣8m3
【分析】根据长方体体积的计算方法，列出算式进行计算即可．
【解答】解：根据长方体体积的计算公式得，（3m﹣4）•2m•m＝6m3﹣8m2，
故选：C．
9．（3分）为了应用平方差公式计算（a﹣b+c）（a+b﹣c），必须先适当变形，下列变形中，正确的是（ ）
A．[（a+c）﹣b][（a﹣c）+b] B．[（a﹣b）+c][（a+b）﹣c]
C．[a﹣（b+c）][a+（b﹣c）] D．[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]
【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可判定选择项．
【解答】解：（a﹣b+c）（a+b﹣c）＝[a﹣（b﹣c）][a+（b﹣c）]．
故选：D．
10．（3分）如图所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的有（ ）
①体育场离张强家3.5千米
②张强在体育场锻炼了15分钟
③体育场离早餐店1.5千米
④张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据函数图象的横坐标，可得时间，根据函数图象的纵坐标，可得距离．
【解答】解：由纵坐标看出，体育场离张强家3.5千米，故①说法正确；
由横坐标看出，30﹣15＝15分钟，张强在体育场锻炼了15分钟，故②说法正确；
由纵坐标看出，3.5﹣2.0＝1.5千米，体育场离早餐店1.5千米，故③说法正确；
由纵坐标看出早餐店离家2千米，由横坐标看出从早餐店回家用了95﹣65＝30分钟＝0.5小时，2÷＝4千米/小时，故④说法错误；
故选：A．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）计算：（﹣a2）•a3＝ ﹣a5 ．
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【解答】解：原式＝﹣a5，
故答案是﹣a5．
12．（4分）若ax＝2，ay＝3，则ax﹣y＝ ．
【分析】根据同底数幂的除法与幂的乘方的性质，即可得ax﹣y＝ax÷ay，又由ax＝2，ay＝3，即可求得答案．
【解答】解：∵ax＝2，ay＝3，
∴ax﹣y＝ax÷ay＝2÷3＝．
故答案为：．
13．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，则∠A的度数是 80° ．
【分析】根据等腰三角形两底角相等可求∠C，再根据三角形内角和为180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠C＝50°，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°．
故答案为：80°．
14．（4分）有5张纸签，分别标有数字2，3，4，5，6，从中随机抽出一张，则抽出标有数字为偶数的概率为 ．
【分析】直接利用偶数的定义结合概率求法得出答案．
【解答】解：有5张纸签，分别标有数字2，3，4，5，6，
从中随机抽出一张，则抽出标有数字为偶数的是2，4，6，
故抽出标有数字为偶数的概率为：．
故答案为：．
15．（4分）等腰三角形两边长为3和6，则此等腰三角形的周长是 15 ．
【分析】首先根据三角形的三边关系推出腰长为6，底边长为3，即可推出周长．
【解答】解：若3为腰长，6为底边长，
∵3+3＝6，
∴腰长不能为3，底边长不能为6，
∴腰长为6，底边长为3，
∴周长＝6+6+3＝15．
故答案为15．
16．（4分）三角形的底边长为8，高是x，那么三角形的面积y与高x之间的关系式是 y＝4x ．
【分析】根据三角形的面积计算方法可得函数关系式．
【解答】解：y＝×8x＝4x，
故答案为：y＝4x．
17．（4分）如图，已知∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，点D在线段AB上运动，线段CD的最短距离是 4.8 ．
【分析】当CD⊥AB时，线段CD的长度最短，依据三角形的面积即可得到CD的长．
【解答】解：∵点D在线段AB上运动，
∴当CD⊥AB时，线段CD的长度最短，
又∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，AB＝10，
∴AC×BC＝AB×CD，
∴CD＝＝＝4.8，
故答案为：4.8．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）﹣32+50﹣（）﹣2+（﹣1）2020
【分析】原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：﹣32+50﹣（）﹣2+（﹣1）2020
＝﹣9+1﹣4+1
＝﹣11．
19．（6分）先化简再求值：[（x﹣y）2﹣（y﹣x）（y+x）]÷2x，其中x＝2021，y＝1．
【分析】原式中括号中利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
【解答】解：[（x﹣y）2﹣（y﹣x）（y+x）]÷2x
＝（x2﹣2xy+y2﹣y2+x2）÷2x
＝（2x2﹣2xy）÷2x
＝x﹣y，
当x＝2021，y＝1时，原式＝2021﹣1＝2020．
20．（6分）元旦期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有转动圆盘的机会（如图），如果规定当圆盘停下来时指针指向8就中一等奖，指向2或6就中二等奖，指向1或3或5就中纪念奖，指向其余数字不中奖．
（1）转动转盘中奖的概率是多少？
（2）元旦期间有1000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数是多少？
【分析】（1）找到8，2，6，1，3，5份数之和占总份数的多少即为中奖的概率，
（2）先求出获得一等奖的概率，从而得出获得一等奖的人数．
【解答】解：（1）∵数字8，2，6，1，3，5的份数之和为6份，
∴转动圆盘中奖的概率为：＝；
（2）根据题意可得，获得一等奖的概率是，
则元旦这天有1000人参与这项活动，估计获得一等奖的人数为：1000×＝125（人）．
四、解答题（二）（本大题3小题，毎小题8分，共24分）
21．（8分）如图，AB＝CD，AF＝CE，∠A＝∠C，那么BE＝DF吗？请说明理由．
【分析】由“SAS”可证△ABF≌△CDE，可得BF＝DE，可得BE＝DF．
【解答】解：BE＝DF．理由如下：
在△ABF和△CDE中，
∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴BF＝DE，
∴BF﹣EF＝DE﹣EF，
∴BE＝DF．
22．（8分）三水区响应“绿色环保”号召，鼓励市民节约用电，对电费采用分段收费标准，若某户居民每月应交电费y（元）与用电量x（度）之间关系的图象如图所示：
（1）当用电量不超过50度时，每度收费多少元？超过50度时，超过的部分每度收费多少元？
（2）若某户居民某月交电费120元，该户居民用电多少度？
【分析】（1）根据图象上点的坐标进行列式计算即可；
（2）根据（1）的结论求出超过50度部分的用电量即可求解．
【解答】解：（1）不超过50度时每度收费：30÷50＝0.6（元），
超过50度时，超过的部分每度收费：（60﹣30）÷（80﹣50）＝1（元）；
答：当用电量不超过50度时，每度收费0.5元，超过50度时，超过的部分每度收费1元．
（2）120﹣0.6×50＝90（元），
90÷1＝90（度），
50+90＝140（度）．
答：该户居民用电140度．
23．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝60°，∠A＝40°．用尺规作图作边AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）．
【分析】分别以A．B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN交AC于D，交AB于E．
【解答】解：如图，直线DE即为所求．
五、解答题（三）（本大题2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）对于一个平面图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个关于整式乘法的数学等式，例如图1可以得到完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，请利用这一方法解决下列问题：
（1）观察图2，写出所表示的数学等式： （a+2b）（a+b） ＝ a2+3ab+2b2 ．
（2）观察图3，写出所表示的数学等式： （a+b+c）2 ＝ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ．
（3）已知（2）的等式中的三个字母可以取任何数，若a＝7x﹣5，b＝﹣4x+2，c＝﹣3x+4，且a2+b2+c2＝37．请利用（2）中的结论求ab+bc+ac的值．
【分析】（1）根据大矩形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（2）根据正方形的面积＝各矩形的面积之和求解即可；
（3）先求出（a+b+c）2的值，再根据（2）中关系式求得结果．
【解答】解：（1）大矩形的面积＝（a+2b）（a+b），
各部分面积和＝a2+3ab+2b2，
∴（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，
故答案为：（a+2b）（a+b）；a2+3ab+2b2；
（2）正方形的面积可表示为＝（a+b+c）2；
各个矩形的面积之和＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，
∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．
故答案为：（a+b+c）2；a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（3）由（2）得（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
∵（a+b+c）2＝（7x﹣5﹣4x+2﹣3x+4）2＝1，
∴1＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∵a2+b2+c2＝37，
∴1＝37+2（ab+bc+ac），
∴2（ab+bc+ac）＝﹣36，
∴ab+bc+ac＝﹣18．
25．（10分）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s），当点P到达点B时，点Q也停止运动．
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1s时，△ACP与△BPQ全等，此时PC⊥PQ吗？请说明理由．
（2）将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”后得到如图（2），其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值．
（3）在（2）成立的条件下且P、Q两点的运动速度相同时，∠CPQ＝ 60° ．（直接写出结果）
【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可；
（3）根据题意得P、Q两点的运动速度为2，得到BP＝AC，根据全等三角形的性质得到∠C＝∠BPQ，于是得到结论．
【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ，
∵AC⊥AB，BD⊥AB
∴∠A＝∠B＝90°
∵AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，
∴∠APC+∠BPQ＝90°，
∴∠CPQ＝90°，
∴PC⊥PQ；
（2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等，
①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt
解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，
则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t
解得：x＝，t＝；
（3）∵∠A＝∠B＝60°
∵P、Q两点的运动速度相同，
∴P、Q两点的运动速度为2，
∴t＝1，
∴AP＝BQ＝2，
∴BP＝5，
∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）；
∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝120°，
∴∠APC+∠BPQ＝120°，
∴∠CPQ＝60°．
故答案为：60°．
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