人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念教学设计及反思

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最新课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.








知识点 同角三角函数的基本关系式








eq \x(状元随笔) (1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化．


(2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.


[教材解难]


同角三角函数的基本关系


(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角的表达形式无关，如：sin23α＋cs23a＝1.


(2)sin2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.


(3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子tan 90°＝eq \f(sin 90°,cs 90°)不成立．再如：sin2α＋cs2β＝1就不一定恒成立．


[基础自测]


1．若α为第二象限角，且sin α＝eq \f(2,3)，则cs α＝( )


A．－eq \f(\r(5),3) B.eq \f(1,3)


C.eq \f(\r(5),3) D．－eq \f(1,3)


解析：∵α是第二象限角，∴cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(\r(5),3).


答案：A


2．已知tan α＝eq \f(1,2)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))，则sin α的值是( )


A．－eq \f(\r(5),5) B.eq \f(\r(5),5)


C.eq \f(2\r(5),5) D．－eq \f(2\r(5),5)


解析：∵α∈(π，eq \f(3π,2))，∴sin α0，且sin α≠1，所以α是第一或第二象限角．


①当α为第一象限角时，cs α＝eq \r(1－sin2α)＝eq \r(1－\f(1,25))＝eq \f(2 \r(6),5)，tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(\r(6),12)；


②当α为第二象限角时，cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2 \r(6),5)，tan α＝－eq \f(\r(6),12).


(2)分子、分母同除以cs2α，得eq \f(3sin2α－cs2α,2sin2α－6cs2α)＝eq \f(3tan2α－1,2tan2α－6).


又tan α＝3，所以eq \f(3sin2α－cs2α,2sin2α－6cs2α)＝eq \f(3×32－1,2×32－6)＝eq \f(13,6).


eq \x(状元随笔) (1)已知角的正弦值或余弦值，求其他三角函数值，应先判断三角函数值的符号，然后根据平方关系求出该角的余弦值或正弦值，再利用商数关系求解该角的正切值即可．


(2)利用同角基本关系式，分子、分母同除以cs2α，把正弦、余弦化成正切．





方法归纳


求同角三角函数值的一般步骤


(1)根据已知三角函数值的符号，确定角所在的象限．


(2)根据(1)中角所在象限确定是否对角所在的象限进行分类讨论．


(3)利用两个基本公式求出其余三角函数值．


跟踪训练1 (1)本例(2)条件变为eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，求eq \f(3sin α－cs α,2sin α＋3cs α)的值．


(2)本例(2)条件不变，求4sin2α－3sin α·cs α－5cs2α的值．


解析：(1)法一：由eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2，化简得sin α＝3cs α，


原式＝eq \f(3×3cs α－cs α,2×3cs α＋3cs α)＝eq \f(8cs α,9cs α)＝eq \f(8,9).


法二：由eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝2得tan α＝3，


原式＝eq \f(3tan α－1,2tan α＋3)＝eq \f(3×3－1,2×3＋3)＝eq \f(8,9).


(2)原式＝eq \f(4sin2α－3sin α·cs α－5cs2α,sin2α＋cs2α)


＝eq \f(4tan2α－3tan α－5,tan2α＋1)＝eq \f(4×9－3×3－5,9＋1)＝eq \f(11,5).


形如(2)式的求解，应灵活利用“1”的代换，将整式变为分式，即利用分式的性质将式子变为关于tanα的代数式，从而代入求值．





题型二 化简三角函数式[经典例题]


例2 化简：


(1)eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)；


(2)eq \f(\r(1＋2sin 10°cs 10°),cs 10°＋\r(1－cs210°)) .


【解析】 (1)eq \f(sin α,1＋sin α)－eq \f(sin α,1－sin α)＝


eq \f(sin α1－sin α－sin α1＋sin α,1＋sin α1－sin α)＝eq \f(－2sin2α,1－sin2α)＝eq \f(－2sin2α,cs2α)＝－2tan2α.


(2)eq \f(\r(1＋2sin 10°cs 10°),cs 10°＋\r(1－cs210°))＝eq \f(\r(cs 10°＋sin 10°2),cs 10°＋sin 10°)＝eq \f(|cs 10°＋sin 10°|,cs 10°＋sin 10°)＝1.


(1)利用同角基本关系化简．


(2)注意1的活用．例如


1＋2sin 10 °cs 10 °＝sin210 °＋cs210 °＋2sin210 °cs 10 °＝(cs 10 ° ＋sin 10 ° )2


方法归纳


三角函数式的化简技巧


(1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．


(2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．


(3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cs2α＝1，以降低次数，达到化简的目的．


跟踪训练2 (1)化简：eq \f(\r(1－2sin 130°cs 130°),sin 130°＋\r(1－sin2130°))；


(2)化简：sin2αtan α＋2sin αcs α＋eq \f(cs2α,tan α).


解析：(1)原式＝


eq \f(\r(sin2130°－2sin 130°cs 130°＋cs2130°),sin 130°＋\r(cs2130°))＝


eq \f(|sin 130°－cs 130°|,sin 130°＋|cs 130°|)＝eq \f(sin 130°－cs 130°,sin 130°－cs 130°)＝1.


(2)原式＝sin2α·eq \f(sin α,cs α)＋2sin αcs α＋cs2α·eq \f(cs α,sin α)＝eq \f(sin4α＋2sin2αcs2α＋cs4α,sin αcs α)＝eq \f(sin2α＋cs2α2,sin αcs α)＝eq \f(1,sin αcs α).


(1)1－sin2130 °＝cs2130 °，


1－2sin 130 °cs 130 °＝


(sin 130 °－cs 130 °)2.


(2)式子中的tanα应化为eq \f(sinα,csα)，如果出现分式，一般应通分．


题型三 利用同角三角函数关系证明[教材P183例7]


例3 求证eq \f(cs x,1－sin x)＝eq \f(1＋sin x,cs x).


【证明】 证明1：由cs x≠0，知sin x≠－1，所以1＋sin x≠0，于是


左边＝eq \f(cs x1＋sin x,1－sin x1＋sin x)


＝eq \f(cs x1＋sin x,1－sin2x)


＝eq \f(cs x1＋sin x,cs2 x)


＝eq \f(1＋sin x,cs x)＝右边．


所以，原式成立．


证明2：因为(1－sin x)(1＋sin x)


＝1－sin2x＝cs2x


＝cs xcs x，


且1－sin x≠0，cs x≠0，


所以eq \f(cs x,1－sin x)＝eq \f(1＋sin x,cs x).





教材反思


证明简单三角恒等式的思路


(1)从一边开始，证明它等于另一边，遵循由繁到简的原则．


(2)证明左右两边等于同一个式子．


(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.


(4)证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立．


跟踪训练3 求证：


eq \f(1－2sin 2xcs 2x,cs22x－sin22x)＝eq \f(1－tan 2x,1＋tan 2x).


解析：证明：因为左边


＝eq \f(cs22x＋sin22x－2sin 2xcs 2x,cs22x－sin22x)


＝eq \f(cs 2x－sin 2x2,cs 2x－sin 2xcs 2x＋sin 2x)


＝eq \f(cs 2x－sin 2x,cs 2x＋sin 2x)＝eq \f(1－tan 2x,1＋tan 2x)＝右边，


所以等式成立．


左边是含正、余弦的式子，右边是含有正切的式子，因此需要弦化切，左边的分子可以用平方关系，分母可以用平方差公式实现变形．





题型四 sin α±cs α型求值[经典例题]


sinα＋csα＝两边平方→求出2sinαcsα的值→求sinα－csα的值


例4 已知sin α＋cs α＝eq \f(1,3)，其中0