高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质教案，共9页。
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性








知识点一 周期函数


1．周期函数


2.最小正周期


eq \x(状元随笔) 关于最小正周期


(1)并不是所有的周期函数都有最小正周期，如常数函数f(x)＝C，对于任意非零常数T，都有f(x＋T)＝f(x)，即任意常数T都是函数的周期，因此没有最小正周期．


(2)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B，y＝Acs(ωx＋φ)＋B，可以利用公式T＝eq \f(2π,|ω|)求最小正周期．


知识点二 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性





eq \x(状元随笔) 关于正、余弦函数的奇偶性


(1)正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数，反映在图象上，正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴对称．


(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．


提醒：诱导公式三是正弦函数、余弦函数的奇偶性的另一种表示形式．


[教材解难]


1．教材P202思考


函数的周期性与解析式中x的系数有关．


2．教材P202思考


知道了一个函数的周期性和奇偶性能更容易画出函数的图象，从而得到函数的性质．


[基础自测]


1．下列函数中，周期为eq \f(π,2)的是( )


A．y＝sineq \f(x,2) B．y＝sin 2x


C．y＝cseq \f(x,4) D．y＝cs 4x


解析：对于A，T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，对于B，T＝eq \f(2π,2)＝π，


对于C，T＝eq \f(2π,\f(1,4))＝8π，对于D，T＝eq \f(2π,4)＝eq \f(π,2).


答案：D


2．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )


A．奇函数 B．偶函数


C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数


解析：由于x∈R，且f(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故选A.


答案：A


3．下列函数中是偶函数的是( )


A．y＝sin 2x B．y＝－sin x


C．y＝sin|x| D．y＝sin x＋1


解析：A、B是奇函数，D是非奇非偶函数，C符合f(－x)＝sin|－x|＝sin|x|＝f(x)，∴y＝sin|x|是偶函数．


答案：C


4．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))的图象( )


A．关于x轴对称 B．关于y轴对称


C．关于原点对称 D．关于直线x＝eq \f(π,2)对称


解析：因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝cs x，


又因为cs(－x)＝cs x，为偶函数，


所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y轴对称．


答案：B








题型一 求三角函数的周期[教材P201例2]


例1 求下列函数的周期：


(1)y＝3sin x，x∈R；


(2)y＝cs 2x，x∈R；


(3)y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))，x∈R.


【解析】 (1)∀x∈R，有3sin(x＋2π)＝3sin x.


由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.


(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cs z的周期为2π，即cs(z＋2π)＝cs z，于是cs(2x＋2π)＝cs 2x，所以cs 2(x＋π)＝cs 2x，x∈R.由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.


(3)令z＝eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)，由x∈R得z∈R，且y＝2sin z的周期为2π，即2sin(z＋2π)＝2sin z，于是2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)＋2π))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6)))，所以2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋4π－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,6))).由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π.


eq \x(状元随笔) 通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式f(x＋T)＝f(x)而求出相应的周期．


对于(2)，应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出cs 2(x＋T)＝cs 2x，x∈R；


对于(3)，应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋T－\f(π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x －\f(π,6)))，x∈R.





教材反思


求函数周期的方法


(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．


(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acs(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)，可利用T＝eq \f(2π,ω)来求．


(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般采用此法．





跟踪训练1 (1)下列函数中，不是周期函数的是( )


A.y＝|cs x|


B．y＝cs|x|


C．y＝|sin x|


D．y＝sin|x|


(2)函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,6)))的周期为________．


解析：(1)画出y＝sin|x|的图象，易知y＝sin|x|不是周期函数．


(2)方法一 因为2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,6)＋2π))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,6)))，


即2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)x＋6π－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,6))).


所以y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－\f(π,6)))的最小正周期是6π.


方法二 函数的周期T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,\f(1,3))＝6π.


答案：(1)D (2)6π


(1)作出函数的图象，根据周期的定义判断．


(2)利用周期的定义，需要满足f(x＋T)＝f(x) ；也可利用公式T＝eq \f(2π,|ω|)计算周期．


题型二 正、余弦函数的奇偶性问题[经典例题]


例2 判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,2)))；


(2)f(x)＝sin(cs x)．


【解析】 (1)函数的定义域为R.且f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2x))＝－sin 2x.


因为f(－x)＝－sin(－2x)＝sin 2x＝－f(x)，所以函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5π,2)))是奇函数．


(2)函数的定义域为R.且f(－x)＝sin[cs(－x)]＝sin(cs x)＝f(x)，


所以函数f(x)＝sin(cs x)是偶函数.


先用诱导公式化简，再利用定义法判断函数的奇偶性．





方法归纳


利用定义判断函数奇偶性的三个步骤





注意：若函数f(x)的定义域不关于原点对称，无论f(－x)与f(x)有何关系，f(x)仍然是非奇非偶函数．


跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性：


(1)f(x)＝|sin x|＋cs x；


(2)f(x)＝eq \r(1－cs x)＋eq \r(cs x－1).


解析：(1)函数的定义域为R，


又f(－x)＝|sin(－x)|＋cs(－x)＝|sin x|＋cs x＝f(x)，所以f(x)是偶函数．


(2)由1－cs x≥0且cs x－1≥0，


得cs x＝1，从而x＝2kπ，k∈Z，此时f(x)＝0，故该函数既是奇函数又是偶函数．


(1)利用定义法判断函数的奇偶性．


(2)由偶次根式被开方数大于等于0求出cs x的值以及x的值，最后判断函数的奇偶性．





题型三 三角函数的奇偶性与周期性的综合应用[经典例题]


例3 定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值．


【解析】 因为f(x)的最小正周期是π，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，


因为f(x)是R上的偶函数，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sineq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2).


利用周期性


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π－2π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，再利用奇偶性feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))，最后代入求值．





方法归纳


三角函数周期性与奇偶性的解题策略


(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)的形式，再利用公式求解．


(2)判断函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acs(ωx＋φ)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y＝Asin ωx(Aω≠0)或y＝Acs ωx(Aω≠0)其中的一个．


跟踪训练3 若本例中函数的最小正周期变为eq \f(π,2)，其他条件不变，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,6)π))的值．


解析：因为f(x)的最小正周期是eq \f(π,2)，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,6)π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3π＋\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6×\f(π,2)＋\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝sineq \f(π,6)＝eq \f(1,2)





利用周期性feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17,6)π))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3π＋\f(π,6)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))代入求值．

















课时作业 34





一、选择题


1．函数y＝－5cs(3x＋1)的最小正周期为( )


A.eq \f(π,3) B．3π


C.eq \f(2π,3) D.eq \f(3π,2)


解析：该函数的最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,3).


答案：C


2．函数f(x)＝eq \r(2)sin 2x的奇偶性为( )


A．奇函数 B．偶函数


C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数


解析：因为f(x)的定义域是R，且f(－x)＝eq \r(2)sin 2(－x)＝－eq \r(2)sin 2x＝－f(x)，


所以函数f(x)为奇函数．


答案：A


3．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 011,2)π－2 010x))是( )


A．奇函数 B．偶函数


C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数


解析：f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2 011,2)π－2 010x))


＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2 010x))＋1 005π))


＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2 010x))＝－cs 2 010x，


f(x)定义域为R，


且f(－x)＝－cs(－2 010x)＝－cs 2010x＝f(x)，


所以函数f(x)为偶函数．


答案：B


4．函数f(x)＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))( )


A．是奇函数 B．是非奇非偶函数


C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数


解析：由题，得函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(x)＝xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝xcs x，所以f(－x)＝(－x)·cs(－x)＝－xcs x＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．


答案：A


二、填空题


5．f(x)＝sin xcs x是________(填“奇”或“偶”)函数．


解析：x∈R时，f(－x)＝sin(－x)cs(－x)＝－sin xcs x＝－f(x)，即f(x)是奇函数．


答案：奇


6．函数y＝cseq \f(1－xπ,2)的最小正周期是________．


解析：∵y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)x＋\f(π,2)))，∴T＝eq \f(2π,\f(π,2))＝2π×eq \f(2,π)＝4.


答案：4


7．函数f(x)是以2为周期的函数，且f(2)＝3，则f(8)＝________.


解析：∵f(x)的周期为2，


∴f(x＋2)＝f(x)，


∴f(8)＝f(2＋3×2)＝f(2)＝3.


答案：3


三、解答题


8．求下列函数的最小正周期：


(1)y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,6)))；(2)y＝|sineq \f(x,2)|.


解析：(1)利用公式T＝eq \f(2π,|ω|)，可得函数


y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,6)))的最小正周期为T＝eq \f(2π,|－2|)＝π.


(2)易知函数y＝sineq \f(x,2)的最小正周期为T＝eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，而函数y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)))的图象是由函数y＝sineq \f(x,2)的图象将在x轴下方部分翻折到上方后得到的，此时函数周期减半，即y＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(x,2)))的最小正周期为2π.


9．判断下列函数的奇偶性．


(1)f(x)＝eq \r(3)cs 2x；


(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))；


(3)f(x)＝x·cs x.


解析：(1)因为x∈R，


f(－x)＝eq \r(3)cs(－2x)＝eq \r(3)cs 2x＝f(x)，


所以f(x)＝eq \r(3)cs 2x是偶函数．


(2)因为x∈R，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))＝－cseq \f(3x,4)，所以f(－x)＝－cseq \f(3－x,4)＝－cseq \f(3x,4)＝f(x)，所以函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3x,4)＋\f(3π,2)))是偶函数．


(3)因为x∈R，f(－x)＝－x·cs(－x)＝－x·cs x＝－f(x)，


所以f(x)＝xcs x是奇函数．


[尖子生题库]


10．已知函数y＝eq \f(1,2)cs x＋eq \f(1,2)|cs x|.


(1)画出函数的图象；


(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．


解析：(1)y＝eq \f(1,2)cs x＋eq \f(1,2)|cs x|


＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs x，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))k∈Z，,0，x∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))k∈Z，))


函数图象如图所示．





(2)由图象知这个函数是周期函数，且最小正周期是2π.





条件
①对于函数f(x)，存在一个非零常数T
②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)
结论
函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期
条件
周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数
结论
这个最小正数叫做f(x)的最小正周期
函数
y＝sin x
y＝cs x
周期
2kπ(k∈Z且k≠0)
2kπ(k∈Z且k≠0)
最小正周期
2π
2π
奇偶性
奇函数
偶函数