人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质教案

这是一份人教A版 (2019)5.4 三角函数的图象与性质教案，共11页。






知识点 函数y＝tan x的图象与性质


eq \x(状元随笔) 如何作正切函数的图象


(1)几何法


就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．


(2)“三点两线”法


“三点”是指eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，－1))，(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，1))；“两线”是指x＝－eq \f(π,2)和x＝eq \f(π,2). 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．


[教材解难]


1．教材P209思考


有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．


2．教材P210思考


可以先考察函数y＝tan x，x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．


[基础自测]


1．下列说法正确的是( )


A．y＝tan x是增函数


B．y＝tan x在第一象限是增函数


C．y＝tan x在某一区间上是减函数


D．y＝tan x在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是增函数


解析：由正切函数的图象可知D正确．


答案：D


2．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的定义域是( )








A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(π,4))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ－\f(π,4)，k∈Z)))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))


解析：由x＋eq \f(π,4)≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得x≠kπ＋eq \f(π,4)，k∈Z.


答案：D


3．已知函数f(x)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，则函数f(x)的最小正周期为( )


A.eq \f(π,4) B.eq \f(π,2)


C．π D．2π


解析：解法一 函数y＝tan(ωx＋φ)的周期T＝eq \f(π,|ω|)，可得T＝eq \f(π,|2|)＝eq \f(π,2).


解法二 由诱导公式可得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))


＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋π))＝taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＋\f(π,3)))，


所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝f(x)，所以周期为T＝eq \f(π,2).


答案：B


4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)


解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y＝tan x在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°.


答案：＜





题型一 求函数的定义域


例1 求下列函数的定义域：


(1)y＝eq \f(1,1＋tan x)；


(2)y＝lg(eq \r(3)－tan x)．


【解析】 (1)要使函数y＝eq \f(1,1＋tan x)有意义，


需使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋tan x≠0，,x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z，))


所以函数的定义域为


{xx∈R且x≠kπ－eq \f(π,4)，x≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}.


(2)要使y＝lg(eq \r(3)－tan x)有意义，需使eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(3)－tan x>0,x≠kπ＋\f(π,2)k∈Z))，


所以函数的定义域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)