数学5.4 三角函数的图象与性质教案及反思

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知识点 正、余弦函数的图象与性质





eq \x(状元随笔) (1)正、余弦函数的单调性：


①求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；


②单调区间要在定义域内求解；


③确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断．


(2)正、余弦函数的最值


①明确正、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1, |cs x|≤1；


②对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定；


③形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．


[教材解难]


教材P207思考


能．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x＋\f(π,3)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，要求y＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的单调递增区间，即求y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的单调递减区间．


令z＝eq \f(1,2)x－eq \f(π,3)，则函数y＝sin z的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3,2)π＋2kπ))(k∈Z)．


由eq \f(π,2)＋2kπ≤eq \f(1,2)x－eq \f(π,3)≤eq \f(3,2)π＋2kπ，k∈Z.


得eq \f(5,3)π＋4kπ≤x≤eq \f(11,3)π＋4kπ，k∈Z.


又x∈[－2π，2π]


∴－2π≤x≤－eq \f(π,3)，eq \f(5,3)π≤x≤2π


故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x－\f(π,3)))在[－2π，2π]上的单调增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2π，－\f(π,3)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5,3)π，2π)).


[基础自测]


1．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))，x∈R在( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数 B．[0，π]上是减函数


C．[－π，0]上是减函数 D．[－π，π]上是减函数


解析：y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))＝cs x，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数．


答案：B


2．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )


A．y＝cs|x| B．y＝cs|－x|


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2))) D．y＝－sineq \f(x,2)


解析：y＝cs|x|在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数，排除A；y＝cs|－x|＝cs|x|，排除B；y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－x))＝－cs x是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y＝－sineq \f(x,2)在(0，π)上是单调递减的．


答案：C


3．函数y＝1－2cseq \f(π,2)x的最小值，最大值分别是( )


A．－1,3 B．－1,1


C．0,3 D．0,1


解析：∵－1≤cseq \f(π,2)x≤1，∴－1≤y≤3.


答案：A


4．比较大小：sineq \f(3π,5)________cseq \f(π,5).


解析：sineq \f(3π,5)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(π,10)))＝cseq \f(π,10).


∵0＜eq \f(π,10)＜eq \f(π,5)＜π，y＝cs x在[0，π]上递减，


∴cseq \f(π,10)＞cseq \f(π,5)，即sineq \f(3π,5)＞cseq \f(π,5).


答案：＞














题型一 正、余弦函数的单调性[经典例题]


例1 (1)函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的一个递减区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))


B．[－π，0]


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)π，\f(2,3)π))


D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))


(2)函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调递增区间是________．


【解析】 (1)由eq \f(π,3)≤x≤eq \f(4,3)π，可得eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3,2)π.所以eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))是函数的一个减区间．


(2)因为－π＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ，k∈Z.所以kπ－eq \f(π,3)≤x≤kπ＋eq \f(π,6)，k∈Z.


【答案】 (1)D (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)


(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x＋eq \f(π,6)的范围，验证是否为减区间．


(2)将2x－eq \f(π,3)代入到[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z中，解出x的范围，即可得增区间．





方法归纳


求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点


(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．


(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出原函数的单调区间．求形如y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．


(3)①ω0后求解；②若A