高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示教案，共11页。
最新课程标准：(1)在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．(2)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.








知识点一 函数的表示法





eq \x(状元随笔) 1.解析法是表示函数的一种重要方法，这种表示方法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系．


2．由列表法和图象法的概念可知：函数也可以说就是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量x的值可查找到和它对应的唯一的函数值y.


知识点二 分段函数


在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．


eq \x(状元随笔) 1.分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．


2．分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，－2≤x≤0，,x，0f(3)的x的值为________．





【解析】 (1)由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.


【答案】 (1)D


由题意找到出发时间与离校距离的关系及变化规律


【解析】 (2)由表格可知f(3)＝1，故f(f(x))>f(3)即为f(f(x))>1.


∴f(x)＝1或f(x)＝2，∴x＝3或1.


【答案】(2)3或1


观察表格，先求出f(1)、f(2)、f(3)，进而求出f(f(x))的值，再与f(3)比较.








方法归纳


理解函数的表示法应关注三点


(1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示方法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念．


(2)判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义．


(3)函数的三种表示方法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主．





跟踪训练1 某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(x为正整数)与收款数y之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．


解析：(1)列表法：


(2)图象法：如图所示．





(3)解析法：y＝3 000x，x∈{1,2,3，…，10}．


eq \x(状元随笔) 本题中函数的定义域是不连续的，作图时应注意函数图象是一些点，而不是直线．另外，函数的解析式应注明定义域．


题型二 求函数的解析式 [经典例题]


例2 根据下列条件，求函数的解析式：


(1)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)，求f(x)；


(2)f(x)是二次函数，且f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3，求f(x)．


【解析】 (1)设t＝eq \f(1,x)，则x＝eq \f(1,t)(t≠0)，代入feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(x,1－x2)，得f(t)＝eq \f(\f(1,t),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))2)＝eq \f(t,t2－1)，


故f(x)＝eq \f(x,x2－1)(x≠0且x≠±1)．


(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．


因为f(2)＝－3，f(－2)＝－7，f(0)＝－3.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－3，,4a－2b＋c＝－7，,c＝－3.))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,b＝1，,c＝－3.))


所以f(x)＝－eq \f(1,2)x2＋x－3.


(1)换元法：设eq \f(1,x)＝t，注意新元的范围．


(2)待定系数法：设二次函数的一般式f(x)＝ax2＋bx＋c.





跟踪训练2 (1)已知f(x2＋2)＝x4＋4x2，则f(x)的解析式为________；


(2)已知f(x)是一次函数，且f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝________.


解析：(1)因为f(x2＋2)＝x4＋4x2


＝(x2＋2)2－4，


令t＝x2＋2(t≥2)，则f(t)＝t2－4(t≥2)，所以f(x)＝x2－4(x≥2)．


(2)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，


则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b.


又因为f(f(x))＝4x－1，所以a2x＋ab＋b＝4x－1.


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝－\f(1,3)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝1.))


所以f(x)＝2x－eq \f(1,3)或f(x)＝－2x＋1.


答案：(1)f(x)＝x2－4(x≥2)


(2)2x－eq \f(1,3)或－2x＋1


(1)换元法


设x2＋2＝t.


(2)待定系数法


设f(x)＝ax＋b.


题型三 求分段函数的函数值 [经典例题]


例3 (1)设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x－1|－2|x|≤1，,\f(1,1＋x2)|x|>1，))则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))))＝( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(4,13)


C．－eq \f(9,5) D.eq \f(25,41)


(2)已知f(n)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n－3，n≥10，,ffn＋5，n0，,π x＝0，,0 x