高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教学设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式教学设计，共9页。
最新课程标准：掌握基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b≥0)．结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.








知识点 基本不等式


(1)重要不等式：对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．


(2)基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时，等号成立．其中eq \f(a＋b,2)和eq \r(ab)分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数．


eq \x(状元随笔) 基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)(a，b∈R＋)的应用：


(1)两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若a>0，b>0，且a ＋b＝M，M为定值，则ab≤eq \f(M 2,4)，当且仅当a＝b时等号成立．即：a ＋b＝M，M为定值时，(ab)max＝eq \f(M 2,4).


(2)两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即若a>0，b>0，且ab ＝P，P为定值，则a ＋b≥2eq \r(P)，当且仅当a ＝b时等号成立．


[基础自测]


1．已知a，b∈R，且ab>0，则下列结论恒成立的是( )


A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq \r(ab)


C.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)>eq \f(2,\r(ab)) D.eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2


解析：对于A，当a＝b时，a2＋b2＝2ab，所以A错误；对于B，C，虽然ab>0，只能说明a，b同号，当a，b都小于0时，B，C错误；对于D，因为ab>0，所以eq \f(b,a)>0，eq \f(a,b)>0，所以eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))，即eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2成立．


答案：D


2．若a>1，则a＋eq \f(1,a－1)的最小值是( )


A．2 B．a


C.eq \f(2\r(a),a－1) D．3


解析：a>1，所以a－1>0，


所以a＋eq \f(1,a－1)＝a－1＋eq \f(1,a－1)＋1≥2eq \r(a－1·\f(1,a－1))＋1＝3.


当且仅当a－1＝eq \f(1,a－1)即a＝2时取等号．


答案：D


3．下列不等式中，正确的是( )


A．a＋eq \f(4,a)≥4 B．a2＋b2≥4ab


C.eq \r(ab)≥eq \f(a＋b,2) D．x2＋eq \f(3,x2)≥2eq \r(3)


解析：a