数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件教学设计

这是一份数学必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.4 充分条件与必要条件教学设计，共9页。
最新课程标准：(1)通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系．(2)通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系．(3)通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.








知识点一 充分条件与必要条件


一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件(sufficient cnditin)，q是p的必要条件(necessary cnditin)．


eq \x(状元随笔) 如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作pq．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．


知识点二 充要条件


如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q.此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件(sufficient and necessary cnditin)．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．


eq \x(状元随笔) p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．


[教材解难]


1．教材P17思考


(1)(4)是真命题，(2)(3)是假命题．


2．教材P18思考


不唯一，两组对边分别平行，一组对边平行且相等．


3．教材P19思考


不唯一，两组对边分别平行，两组对边分别相等，一组对边平行且相等．


4．教材P20思考


命题(1)(4)和它的逆命题是真命题．


命题(2)是真命题，它的逆命题是假命题．


命题(3)是假命题，它的逆命题是真命题．


5．教材P21探究


“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件，又是必要条件，所以它们都是“四边形是平行四边形”的充要条件．


[基础自测]


1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( )


A．充分条件 B．必要条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．


答案：B


2．设p：x1，则x>1”是假命题，故x2>1x>1.


(2)命题“若a，b都是偶数，则a＋b是偶数”是真命题，故a，b都是偶数⇒a＋b是偶数．


答案：(1) (2)⇒











题型一 充分条件、必要条件、充要条件的判断


[教材P18例1、P19例2]


例1 (1)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？


①若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；


②若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；


③若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；


④若x2＝1，则x＝1；


⑤若a＝b，则ac＝bc；


⑥若x，y为无理数，则xy为无理数．





(2)下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？


①若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；


②若两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例；


③若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形；


④若x＝1，则x2＝1；


⑤若ac＝bc，则a＝b；


⑥若xy为无理数，则x，y为无理数．


【解析】 (1)①这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．


②这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．


③这是一条菱形的性质定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．


④由于(－1)2＝1，但－1≠1，pq，所以p不是q的充分条件．


⑤由等式的性质知，p⇒q，所以p是q的充分条件．


⑥eq \r(2)为无理数，但eq \r(2)×eq \r(2)＝2为有理数，pq，所以p不是q的充分条件．


p⇒q由充分条件的定义来判断．


(2)①这是平行四边形的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．


②这是三角形相似的一条性质定理，p⇒q，所以，q是p的必要条件．





③如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，pq，所以，q不是p的必要条件．


④显然，p⇒q，所以，q是p的必要条件．


⑤由于(－1)×0＝1×0，但－1≠1，pq，所以，q不是p的必要条件．


⑥ 由于1×eq \r(2)＝eq \r(2)为无理数，但1，eq \r(2)不全是无理数，pq，所以，q不是p的必要条件.


p⇒q由必要条件的定义来判断．





教材反思


充分条件、必要条件、充要条件的判断方法


1．定义法


(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件，哪个是结论．


(2)找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．


(3)根据推式及条件得出结论．


2．等价转化法


(1)等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．


(2)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．


若綈p⇒綈q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；


若綈p⇒綈q，且綈q 綈p，则p是q的必要不充分条件；


若綈p⇔綈q，则p与q互为充要条件；


若綈p綈q，且綈q 綈p，则p是q的既不充分也不必要条件．


3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)}，利用集合间的包含关系进行判断．


4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论，应根据条件画出相应的推式图，根据图中推式的传递性进行判断．


5．特殊值法：对于选择题，可以取一些特殊值或特殊情况，用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件)，但是这种方法不适用于证明题．


跟踪训练1 指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．


(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；


(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；


(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c.


解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 x－3＝0，故p是q的充分不必要条件．


(2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件．


(3)a>b⇒a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c⇒a>b，故p是q的充要条件．


eq \x(判断p⇒q，q⇒p是否成立)→eq \x(结合定义得出结论)





题型二 求条件(充分条件、必要条件和充要条件)


[经典例题]


例2 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( )


A．x≥0


B．x2


C. x∈{－1,3,5}


D．x≤－eq \f(1,2)或x≥3


【解析】 由2x2－5x－3≥0，得x≥3或x≤－eq \f(1,2)，所以选项中只有x∈{－1,3,5}是使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件．


【答案】 C


eq \x(先求出满足题意的充要条件)eq \(―――――――→,\s\up13(结合集合关系))eq \x(从选项中选出充分不必要条件)








方法归纳


本题易错的地方是颠倒充分性和必要性，根据{x|x≥3或x≤－eq \f(1,2)}{x|x>2或x