(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是( )

A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x∈R，|x|>0

C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x∈R，|x|≤0

C [由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.]

2．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是( )

A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0

B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m>0

C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0

D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m>0

D [存在量词命题的否定是全称量词命题．]

3．命题“∃x0∈R，f(x0)＜0”的否定是( )

A．∃x0∉R，f(x0)≥0 B．∀x∉R，f(x)≥0

C．∀x∈R，f(x)≥0 D．∀x∈R，f(x)＜0

C [∵命题“∃x0∈R，f(x0)＜0”是存在量词命题，

∴否定命题为：∀x∈R，f(x)≥0.故选C.]

4．已知命题p：∃n∈N,2n>1 000，则p为( )

A．∀n∈N,2n≤1 000 B．∀n∈N,2n>1 000

C．∃n∈N,2n≤1 000 D．∃n∈N,2n>1 000

A [存在量词命题的否定为全称量词命题，“>”的否定为“≤”．]

5．下列命题是真命题的为( )

A．∀x∈R，|x|＞0 B．∃x∈R，|x|＜0

C．∀x∈R，x2≥0 D．∃x∈R，x2＜0

C [对于A，取x＝0，则|0|＞0不成立，故A错；对于B，因|x|≥0总成立，故B错；对于C，根据二次函数y＝x2的性质，有对任意的x∈R, x2≥0总成立，故C正确，因此D不正确．选C.]

二、填空题

6．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是________．

对任意x∈R，x2＋2x＋5≠0 [存在量词命题的否定是全称量词命题，将“存在”改为“任意”，“＝”改为“≠”．]

7．若命题“∃x＜2 019，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．

[2 019，＋∞) [由于命题“∃x＜2 019，x＞a”是假命题，因此其否定“∀x＜2 019，x≤a”是真命题，所以a≥2 019.]

三、解答题

8．写出下列命题的否定，并判断真假．

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)非负数的平方是正数；

(3)有的四边形没有外接圆；

(4)∃x，y∈Z，使得eq \r(2)x＋y＝3；

(5)∀x∈Z，x2与3的和不等于0；

(6)有些三角形的三个内角都为60°.

[解] (1)命题的否定：“存在一个平行四边形的对边不平行．”由平行四边形的定义知，这是假命题．

(2)命题的否定：“存在一个非负数的平方不是正数．”因为02＝0，不是正数，所以该命题是真命题．

(3)命题的否定：“所有四边形都有外接圆”．因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题．

(4)命题的否定：“∀x，y∈Z，都有eq \r(2)x＋y≠3”．

∵当x＝0，y＝3时，eq \r(2)x＋y＝3，

∴原命题为真命题，命题的否定为假命题．

(5)命题的否定：∃x∈Z，x2与3的和等于0.是假命题．

(6)命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都为60°.是假命题．

9．命题p是“对某些实数x，有x－a＞0或x－b≤0”，其中a，b是常数．

(1)写出命题p的否定；

(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？

[解] (1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b＞0.

(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－a≤0，,x－b＞0))的解集不为空集．

通过画数轴(图略)可看出，a，b应满足的条件是b＜a.

[等级过关练]

1．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则( )

A．p：∀x∈A,2x∉B B．p：∀x∉A,2x∉B

C．p：∃x∉A,2x∈B D．p：∃x∈A,2x∉B

D [根据题意可知命题p：∀x∈A,2x∈B的否定是p：∃x∈A,2x∉B.]

2．下列命题的否定是真命题的为( )

A．p1：每一个合数都是偶数

B．p2：两条平行线被第三条直线所截内错角相等

C．p3：有些实数的绝对值是正数

D．p4：某些平行四边形是菱形

A [若判断某命题的否定的真假，只要判断出原命题的真假即可得解，它们的真假性始终相反．因p1为全称量词命题，且是假命题，则p1是真命题．命题p2，p3，p4均为真命题，即p2，p3，p4均为假命题．]

3．给出四个命题：①末尾数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数，下列说法正确的是( )

A．四个命题都是真命题

B．①②是全称量词命题

C．②③是存在量词命题

D．四个命题中有两个假命题

C [①末尾数是偶数的整数能被2整除，是全称量词命题，是真命题；②有的菱形是正方形，是存在量词命题，是真命题；③存在实数x，x＞0，是存在量词命题，是真命题；④对于任意实数x,2x＋1是奇数，是全称量词命题，是假命题；故A，B，D错误，C正确．故选C.]

4．已知命题p：存在x∈R，x2＋2x＋a＝0.若命题p是真命题，则实数a的取值范围是________．

{a|a≤1} [存在x∈R，x2＋2x＋a＝0为真命题，

∴Δ＝4－4a≥0，∴a≤1.]

5．写出下列命题的否定，并判断其真假．

(1)p：每一个素数都是奇数；

(2)p：某些平行四边形是菱形；

(3)可以被5整除的数，末位是0；

(4)能被3整除的数，也能被4整除．

[解] (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，p：存在一个素数不是奇数，是真命题．

(2)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此，p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题．

(3)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0，是真命题．

(4)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除，是真命题.