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数学必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系课时训练
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这是一份数学必修 第一册2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系课时训练，共6页。
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列一元二次方程的解集为空集的是( )
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
B [A.∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，此选项不合题意；
B．∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根，此选项符合题意；
C．∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意；
D．∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意．故选B.]
2．用配方法解下列方程，配方正确的是( )
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
D [A.2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故选项错误；B.x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故选项错误；C.x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；D.x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故选项正确．故选D.]
3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是( )
A．只有一个元素 B．有两个元素
C．为空集 D．不能确定有几个元素
A [∵Δ＝62－4×1×9＝0，∴一元二次方程x2＋6x＋9＝0有两个相等的实数根，故选A.]
4．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个不相等的实数根，则α＋β＋αβ的值为( )
A．－1 B．9 C．3 D．27
C [∵α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数根，
∴α＋β＝5，αβ＝－2，∴α＋β＋αβ＝5－2＝3.故选C.]
5．已知x＝－1是关于x的一元二次方程2x2＋kx－1＝0的一个根，则实数k的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
A [把x＝－1代入方程2x2＋kx－1＝0，可得2－k－1＝0，即k＝1，故选A.]
二、填空题
6．已知方程3x2－18x＋m＝0的一个根是1，那么它的另一个根是________，m＝________.
5 15 [将x＝1代入原方程，得3×12－18×1＋m＝0，解得m＝15.由根与系数的关系可得方程的另一根为eq \f(m,3)＝5.]
7.若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝________.
－3 [由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，∴x1＋x2＋x1x2＝－3.]
8．若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，则m的值为________．
－1 [∵关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(－m)＝0，解得m＝－1.]
三、解答题
9．一元二次方程x2－2x－eq \f(5,4)＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋eq \f(9,4)＝0的根，求k的值．
[解] x2－2x－eq \f(5,4)＝0，
移项得x2－2x＝eq \f(5,4)，
配方得x2－2x＋1＝eq \f(9,4)，即(x－1)2＝eq \f(9,4)，
开方得x－1＝±eq \f(3,2)，
解得x1＝eq \f(5,2)，x2＝－eq \f(1,2).
①把x＝eq \f(5,2)代入x2－(k＋2)x＋eq \f(9,4)＝0中，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2－eq \f(5,2)(k＋2)＋eq \f(9,4)＝0，
解得k＝eq \f(7,5).
②把x＝－eq \f(1,2)代入x2－(k＋2)x＋eq \f(9,4)＝0中，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)(k＋2)＋eq \f(9,4)＝0，
解得k＝－7.
当k＝eq \f(7,5)或－7时，b2－4ac＝(k＋2)2－9都大于0，
综上所述，k的值为－7或eq \f(7,5).
10．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
[解] (1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．
得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0，
解得k＜4.
(2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3，
∴一元二次方程为x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3.
∵一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0，
得1＋m－1＝0，解得m＝0.
当x＝3时，把x＝3代入x2＋mx－1＝0，
得9＋3m－1＝0，解得m＝－eq \f(8,3).
综上，m＝0或－eq \f(8,3).
[等级过关练]
1．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
A [由一元二次方程根与系数的关系x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)即可判断A正确，故选A.]
2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x＝2－eq \r(5)，则方程中m的值及方程的另一个根分别是( )
A．1,2＋eq \r(5) B．－1,2＋eq \r(5)
C．1，－2－eq \r(5) D．－1，－2－eq \r(5)
B [∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x＝2－eq \r(5)，设另一根为a，则有x＋a＝4，即2－eq \r(5)＋a＝4，解得a＝2＋eq \r(5).
则m＝(2－eq \r(5))(2＋eq \r(5))＝4－5＝－1.故选B.]
3．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．
{－1,3} [把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x.
∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，
∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.
∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}．]
4．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解集为________．
{－1,3} [根据图像可知，二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像经过点(3,0)，所以该点适合方程y＝－x2＋2x＋m.代入，得－32＋2×3＋m＝0，解得m＝3. ①
把①代入一元二次方程－x2＋2x＋m＝0，得
－x2＋2x＋3＝0，②
解②得x1＝3，x2＝－1，解集为{－1,3}．]
5．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0.
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0.
解得：y1＝1，y2＝2.
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2.
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：x4－10x2＋9＝0.
(2)若实数x满足x2＋eq \f(1,x2)－3x－eq \f(3,x)＝2，求x＋eq \f(1,x)的值．
[解] (1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0，
即(a－1)(a－9)＝0，
解得：a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3.
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.
(2)设x＋eq \f(1,x)＝y，则原方程可化为：y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，
∴(y＋1)(y－4)＝0，
解得：y＝－1或y＝4，
即x＋eq \f(1,x)＝－1(方程无解，舍去)或x＋eq \f(1,x)＝4，
故x＋eq \f(1,x)＝4.
(建议用时：60分钟)
[合格基础练]
一、选择题
1．下列一元二次方程的解集为空集的是( )
A．x2＋2x＋1＝0 B．x2＋x＋2＝0
C．x2－1＝0 D．x2－2x－1＝0
B [A.∵Δ＝22－4×1×1＝0，∴方程有两个相等的实数根，此选项不合题意；
B．∵Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，∴方程没有实数根，此选项符合题意；
C．∵Δ＝0－4×1×(－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意；
D．∵Δ＝(－2)2－4×1×(－1)＝8＞0，∴方程有两个不相等的实数根，此选项不合题意．故选B.]
2．用配方法解下列方程，配方正确的是( )
A．2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝4
B．x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝8
C．x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝16
D．x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4
D [A.2y2－4y－4＝0可化为(y－1)2＝3，故选项错误；B.x2－2x－9＝0可化为(x－1)2＝10，故选项错误；C.x2＋8x－9＝0可化为(x＋4)2＝25，故选项错误；D.x2－4x＝0可化为(x－2)2＝4，故选项正确．故选D.]
3．一元二次方程x2＋6x＋9＝0的解集情况是( )
A．只有一个元素 B．有两个元素
C．为空集 D．不能确定有几个元素
A [∵Δ＝62－4×1×9＝0，∴一元二次方程x2＋6x＋9＝0有两个相等的实数根，故选A.]
4．已知α，β是一元二次方程x2－5x－2＝0的两个不相等的实数根，则α＋β＋αβ的值为( )
A．－1 B．9 C．3 D．27
C [∵α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数根，
∴α＋β＝5，αβ＝－2，∴α＋β＋αβ＝5－2＝3.故选C.]
5．已知x＝－1是关于x的一元二次方程2x2＋kx－1＝0的一个根，则实数k的值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．2
A [把x＝－1代入方程2x2＋kx－1＝0，可得2－k－1＝0，即k＝1，故选A.]
二、填空题
6．已知方程3x2－18x＋m＝0的一个根是1，那么它的另一个根是________，m＝________.
5 15 [将x＝1代入原方程，得3×12－18×1＋m＝0，解得m＝15.由根与系数的关系可得方程的另一根为eq \f(m,3)＝5.]
7.若x1，x2是一元二次方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则x1＋x2＋x1x2＝________.
－3 [由根与系数的关系可知，x1＋x2＝－1，x1x2＝－2，∴x1＋x2＋x1x2＝－3.]
8．若关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，则m的值为________．
－1 [∵关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的解集中只有一个元素，∴Δ＝b2－4ac＝0，即22－4(－m)＝0，解得m＝－1.]
三、解答题
9．一元二次方程x2－2x－eq \f(5,4)＝0的某个根，也是一元二次方程x2－(k＋2)x＋eq \f(9,4)＝0的根，求k的值．
[解] x2－2x－eq \f(5,4)＝0，
移项得x2－2x＝eq \f(5,4)，
配方得x2－2x＋1＝eq \f(9,4)，即(x－1)2＝eq \f(9,4)，
开方得x－1＝±eq \f(3,2)，
解得x1＝eq \f(5,2)，x2＝－eq \f(1,2).
①把x＝eq \f(5,2)代入x2－(k＋2)x＋eq \f(9,4)＝0中，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2－eq \f(5,2)(k＋2)＋eq \f(9,4)＝0，
解得k＝eq \f(7,5).
②把x＝－eq \f(1,2)代入x2－(k＋2)x＋eq \f(9,4)＝0中，
得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋eq \f(1,2)(k＋2)＋eq \f(9,4)＝0，
解得k＝－7.
当k＝eq \f(7,5)或－7时，b2－4ac＝(k＋2)2－9都大于0，
综上所述，k的值为－7或eq \f(7,5).
10．已知一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．
(1)求k的取值范围；
(2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，求此时m的值．
[解] (1)由一元二次方程x2－4x＋k＝0的解集中有两个元素．
得Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4k＞0，
解得k＜4.
(2)由k是符合条件的最大整数，得k＝3，
∴一元二次方程为x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3.
∵一元二次方程x2－4x＋k＝0与x2＋mx－1＝0有一个相同的根，
∴当x＝1时，把x＝1代入x2＋mx－1＝0，
得1＋m－1＝0，解得m＝0.
当x＝3时，把x＝3代入x2＋mx－1＝0，
得9＋3m－1＝0，解得m＝－eq \f(8,3).
综上，m＝0或－eq \f(8,3).
[等级过关练]
1．已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0
C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
A [由一元二次方程根与系数的关系x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1x2＝eq \f(c,a)即可判断A正确，故选A.]
2．若关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x＝2－eq \r(5)，则方程中m的值及方程的另一个根分别是( )
A．1,2＋eq \r(5) B．－1,2＋eq \r(5)
C．1，－2－eq \r(5) D．－1，－2－eq \r(5)
B [∵关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的一个根为x＝2－eq \r(5)，设另一根为a，则有x＋a＝4，即2－eq \r(5)＋a＝4，解得a＝2＋eq \r(5).
则m＝(2－eq \r(5))(2＋eq \r(5))＝4－5＝－1.故选B.]
3．已知关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，则关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是________．
{－1,3} [把后面一个方程m(x＋a－2)2＋n＝0中的x－2看作整体，相当于前面一个方程中的x.
∵关于x的方程m(x＋a)2＋n＝0的解集是{－3,1}，
∴方程m(x＋a－2)2＋n＝0可变形为m[(x－2)＋a]2＋n＝0，此方程中x－2＝－3或x－2＝1，解得x＝－1或x＝3.
∴关于x的方程m(x＋a－2)2＋n＝0的解集是{－1,3}．]
4．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解集为________．
{－1,3} [根据图像可知，二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像经过点(3,0)，所以该点适合方程y＝－x2＋2x＋m.代入，得－32＋2×3＋m＝0，解得m＝3. ①
把①代入一元二次方程－x2＋2x＋m＝0，得
－x2＋2x＋3＝0，②
解②得x1＝3，x2＝－1，解集为{－1,3}．]
5．在学习解一元二次方程以后，对于某些不是一元二次方程的方程，我们可通过变形将其转化为一元二次方程来解．例如：解方程：x2－3|x|＋2＝0.
解：设|x|＝y，则原方程可化为：y2－3y＋2＝0.
解得：y1＝1，y2＝2.
当y＝1时，|x|＝1，∴x＝±1；
当y＝2时，|x|＝2，∴x＝±2.
∴原方程的解是：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.
上述解方程的方法叫做“换元法”．请用“换元法”解决下列问题：
(1)解方程：x4－10x2＋9＝0.
(2)若实数x满足x2＋eq \f(1,x2)－3x－eq \f(3,x)＝2，求x＋eq \f(1,x)的值．
[解] (1)设x2＝a，则原方程可化为a2－10a＋9＝0，
即(a－1)(a－9)＝0，
解得：a＝1或a＝9，
当a＝1时，x2＝1，∴x＝±1；
当a＝9时，x2＝9，∴x＝±3.
∴原方程的解是x1＝1，x2＝－1，x3＝3，x4＝－3.
(2)设x＋eq \f(1,x)＝y，则原方程可化为：y2－2－3y＝2，即y2－3y－4＝0，
∴(y＋1)(y－4)＝0，
解得：y＝－1或y＝4，
即x＋eq \f(1,x)＝－1(方程无解，舍去)或x＋eq \f(1,x)＝4，
故x＋eq \f(1,x)＝4.
