(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．将集合A＝{x|1＜x≤3}用区间表示正确的是( )

A．(1,3) B．(1,3]

C．[1,3) D．[1,3]

B [集合A为左开右闭区间，可表示为(1,3]．]

2．集合A＝{x∈N︱x－1≤2 019}中的元素个数为( )

A．2 018 B．2 019

C．2 020 D．2 021

D [因为集合A＝{x∈N︱x－1≤2 019}＝{x∈N︱x≤2 020}＝{0,1,2，…，2 020}，所以元素个数为2 021.]

3．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(3，\f(5,2)，\f(7,3)，\f(9,4)，…))用描述法可表示为( )

A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2n＋1,2n)，n∈N*))))

B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2n＋3,n)，n∈N*))))

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2n－1,n)，n∈N*))))

D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2n＋1,n)，n∈N*))))

D [由3，eq \f(5,2)，eq \f(7,3)，eq \f(9,4)，即eq \f(3,1)，eq \f(5,2)，eq \f(7,3)，eq \f(9,4)从中发现规律，x＝eq \f(2n＋1,n)，n∈N*，故可用描述法表示为xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2n＋1,n)，))n∈N*.]

4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝2n，n∈Z}，且x1，x2∈A，x3∈B，则下列判断不正确的是( )

A．x1·x2∈A B．x2·x3∈B

C．x1＋x2∈B D．x1＋x2＋x3∈A

D [集合A表示奇数集，B表示偶数集，∴x1，x2是奇数，x3是偶数，

∴x1＋x2＋x3应为偶数，即D是错误的．]

5．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q，a≠b}，则P*Q中元素的个数为( )

A．4 B．5 C．19 D．20

C [由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合P*Q的元素为：(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当a＝2,3时集合P*Q的元素个数都为5个，当a＝4时，集合P*Q中元素为：(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P*Q中元素的个数为19个，故选C.]

二、填空题

6．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y∈N\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(8,x－1)，x∈N，x≠1))))用列举法可表示为________．

{2,3,5,9} [因为集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y∈N\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(8,x－1)，x∈N，x≠1))))，

故x－1为8的正约数，即x－1的值可以为1,2,4,8，所以x可以为2,3,5,9.用列举法表示为{2,3,5,9}．]

7．设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________．

{－1,4} [∵4∈A，∴16－12＋a＝0，

∴a＝－4，

∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．]

三、解答题

8．下列三个集合：①A＝{x|y＝x2＋1}；②B＝{y|y＝x2＋1}；③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}．

(1)它们是不是相同的集合？

(2)它们各自的含义分别是什么？

[解] (1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．

(2)集合A＝{x|y＝x2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x2＋1}＝R，即A＝R.

集合B＝{y|y＝x2＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x2＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．

集合C＝{(x，y)|y＝x2＋1}的代表元素是(x，y)，是满足y＝x2＋1的数对．可以认为集合C是坐标平面内满足y＝x2＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x2＋1的图像．

9．设P，Q为两个非空实数集，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？

[解] 当a＝0时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为1,2,6；当a＝2时，b依次取1,2,6，得a＋b的值分别为3,4,8；当a＝5时，b依次取1,2,6，得 a＋b的值分别为6,7,11.由集合中元素的互异性知 P＋Q中元素为1,2,3,4,6,7,8,11，共8个．

[等级过关练]

1．已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)＋\f(1,4)，k∈Z))))，N＝xeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)))＋eq \f(1,2)，k∈Z，若x0∈M，则x0与N的关系是( )

A．x0∈N B．x0∉N

C．x0∈N或x0∉N D．不能确定

A [M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2k＋1,4)，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k＋2,4)，k∈Z))))，

∵2k＋1(k∈Z)是一个奇数，k＋2(k∈Z)是一个整数，

∴x0∈M时，一定有x0∈N，故选A.]

2．已知x，y为非零实数，则集合M＝meq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝\f(x,|x|)))＋eq \f(y,|y|)＋eq \f(xy,|xy|)为( )

A．{0,3} B．{1,3}

C．{－1,3} D．{1，－3}

C [当x>0，y>0时，m＝3，

当x<0，y<0时，m＝－1－1＋1＝－1.

若x，y异号，不妨设x>0，y<0，

则m＝1＋(－1)＋(－1)＝－1.

因此m＝3或m＝－1，则M＝{－1,3}．]

3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x＋y∈A}，则B中所含元素的个数为________．

3 [根据x∈A，y∈A，x＋y∈A，知集合B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}，有3个元素．]

4．已知P＝{x|2＜x＜a，x∈N}，已知集合P中恰有3个元素，则整数a＝________.

6 [用数轴分析可知a＝6时，集合P中恰有3个元素3,4,5.]

5．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A且eq \f(a,b)(b≠0)∈A”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．

[解] 数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．

例如，3∈N,2∈N，而eq \f(3,2)＝1.5∉N；

3∈Z，－2∈Z，而eq \f(3,－2)＝－1.5∉Z，

故N，Z不是闭集．

由于两个有理数a与b的和、差、积、商，

即a±b，ab，eq \f(a,b)(b≠0)仍是有理数，故Q是闭集，同理R是闭集.