人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用一课一练

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.2.4 均值不等式及其应用一课一练，共5页。
(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则t与s的大小关系是( )


A．s≥t B．s>t


C．s≤t D．s0，b>0，则下列不等式中错误的是( )


A．ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2 B．ab≤eq \f(a2＋b2,2)


C.eq \f(1,ab)≥eq \f(2,a2＋b2) D.eq \f(1,ab)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a＋b)))2


D [由均值不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由eq \f(a2＋b2,2)≥ab得，ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，∴eq \f(1,ab)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a＋b)))2，故选D.]


4．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是( )


A．a＞b＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)


B．a＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞b


C．a＞eq \f(a＋b,2)＞b＞eq \r(ab)


D.a＞eq \r(ab)＞eq \f(a＋b,2)＞b


B [a＝eq \f(a＋a,2)＞eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)＞eq \r(b·b)＝b，因此只有B项正确．]


5．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )


A.eq \f(1,ab)＞eq \f(1,2) B.eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≤1


C.eq \r(ab)≥2 D.eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,8)


D [由eq \r(ab)≤2得ab≤4，


∴eq \f(1,ab)≥eq \f(1,4)，故A错；


B中，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,ab)＝eq \f(4,ab)≥1，故B错；


由a＋b＝4，得eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)＝eq \f(4,2)＝2，故C错；


由eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2得a2＋b2≥2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2)))2＝8，


∴eq \f(1,a2＋b2)≤eq \f(1,8)，D正确．]


二、填空题


6．已知a＞b＞c，则eq \r(a－bb－c)与eq \f(a－c,2)的大小关系是________．


eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－c,2) [∵a＞b＞c，


∴a－b＞0，b－c＞0，


∴eq \r(a－bb－c)≤eq \f(a－b＋b－c,2)＝eq \f(a－c,2).]


7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值eq \f(a＋b,2)的大小关系为________．


x≤eq \f(a＋b,2) [用两种方法求出第三年的产量分别为


A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)．


∴1＋x＝eq \r(1＋a1＋b)≤eq \f(1＋a＋1＋b,2)＝1＋eq \f(a＋b,2)，


∴x≤eq \f(a＋b,2).当且仅当a＝b时等号成立．]


8．已知函数y＝4x＋eq \f(a,x)(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.


36 [y＝4x＋eq \f(a,x)≥2eq \r(4x·\f(a,x))＝4eq \r(a)(x>0，a>0)，当且仅当4x＝eq \f(a,x)，即x＝eq \f(\r(a),2)时等号成立，此时y取得最小值4eq \r(a).又由已知x＝3时，ymin＝4eq \r(a)，


∴eq \f(\r(a),2)＝3，即a＝36.]


三、解答题


9．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥4.


[证明] eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(a＋b,a)＋eq \f(a＋b,b)


＝1＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)＋1


＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4.


当且仅当a＝b时“＝”成立．


10．已知a，b，c为正数，求证：eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)≥3.


[证明] 左边＝eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)－1＋eq \f(c,b)＋eq \f(a,b)－1＋eq \f(a,c)＋eq \f(b,c)－1


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3.


∵a，b，c为正数，


∴eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(当且仅当a＝b时取“＝”)；


eq \f(c,a)＋eq \f(a,c)≥2(当且仅当a＝c时取“＝”)；


eq \f(c,b)＋eq \f(b,c)≥2(当且仅当b＝c时取“＝”)．


从而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥6(当且仅当a＝b＝c时取等号)．


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,b)＋\f(b,c)))－3≥3，


即eq \f(b＋c－a,a)＋eq \f(c＋a－b,b)＋eq \f(a＋b－c,c)≥3.


[等级过关练]


1．下列不等式一定成立的是( )


A．x＋eq \f(1,x)≥2 B.eq \f(x2＋2,\r(x2＋2))≥eq \r(2)


C.eq \f(x2＋3,\r(x2＋4))≥2 D．2－3x－eq \f(4,x)≥2


B [A项中当x