人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性同步达标检测题

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性同步达标检测题，共5页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是( )





A．函数在区间[－5，－3]上单调递增


B．函数在区间[1,4]上单调递增


C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减


D．函数在区间[－5,5]上没有单调性


C [由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C.]


2．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则有( )


A．a≥eq \f(1,2) B．a≤eq \f(1,2)


C．a>eq \f(1,2) D．a

D [函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是单调减函数，则2a－1<0，即a

3．函数y＝eq \f(1,x－1)在[2,3]上的最小值为( )


A．2 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,2)


B [∵函数y＝eq \f(1,x－1)在[2,3]上单调递减，∴当x＝3时，ymin＝eq \f(1,3－1)＝eq \f(1,2).]


4．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为( )


A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3


C [函数f(x)＝x2－2bx＋2的图像是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，


若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C.]


5．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是( )


A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]


B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)


C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]


D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)


D [因为a＋b≤0，所以a≤－b或b≤－a，


又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，


所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，


所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．]


二、填空题


6．函数f(x)＝eq \f(1,x)在[1，b](b>1)上的最小值是eq \f(1,4)，则b＝________.


4 [因为f(x)＝eq \f(1,x)在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,4)，所以b＝4.]


7．若函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．


[－1，＋∞) [函数f(x)＝eq \f(1,x＋1)的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，


又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.]


8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．


①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)；


③y＝eq \f(1,fx)；④y＝[f(x)]2.


②③ [f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，eq \f(1,fx)均为递增函数，故选②③.]


三、解答题


9．f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，解不等式f(x)＞f(8(x－2))．


[解] 由f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,8x－2>0，,x>8x－2，))解得2＜x＜eq \f(16,7).


10．求函数f(x)＝x＋eq \f(4,x)在[1,4]上的最值．


[解] 设1≤x1

∵1≤x10，


∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．


同理f(x)在[2,4]上是增函数．


∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.


[等级过关练]


1．定义在R上的函数f(x)，对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则( )


A．f(3)

C．f(2)

A [对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)<0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3>2>1，则f(3)

2．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3x＋5x≤1，,\f(2a,x)x＞1))是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )


A．(0,3) B．(0,3]


C．(0,2) D．(0,2]


D [由题意知实数a满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－3＜0，,2a＞0，,a－3＋5≥2a，))解得0＜a≤2，故实数a的取值范围为(0,2]．]


3．函数f(x)＝2x2－3|x|的单调递减区间是________．


eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,4)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) [函数f(x)＝2x2－3|x|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－3x，x≥0，,2x2＋3x，x<0，))


图像如图所示，f(x)的单调递减区间为


eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,4)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))).


]


4．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．


6 [在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像．





根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图像应为图中的实线部分．


解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点为(4,6)．


所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2，0≤x≤4，,10－x，x>4，))其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.]


5．已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.


(1)求f(x)的解析式；


(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．


[解] (1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)．


从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝16，,ab＋b＝5，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝－\f(5,3)))(不合题意，舍去)．


所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1.


(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图像的对称轴为直线x＝－eq \f(4m＋1,8).


若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－eq \f(4m＋1,8)≤1，解得m≥－eq \f(9,4)，所以实数m的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，＋∞)).