高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性综合训练题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性综合训练题，共5页。

(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1．已知函数y＝f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则当x<0时，f(x)的解析式是( )


A．f(x)＝－x2＋2x－3 B．f(x)＝－x2－2x－3


C．f(x)＝x2－2x＋3 D．f(x)＝－x2－2x＋3


B [若x<0，则－x>0，因为当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，所以f(－x)＝x2＋2x＋3，因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝x2＋2x＋3＝－f(x)，所以f(x)＝－x2－2x－3，所以x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.故选B.]


2．已知f(x)是偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，则f(－0.5)，f(－1)，f(0)的大小关系是( )


A．f(－0.5)＜f(0)＜f(－1)


B．f(－1)＜f(－0.5)＜f(0)


C．f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)


D．f(－1)＜f(0)＜f(－0.5)


C [∵函数f(x)为偶函数，∴f(－0.5)＝f(0.5)，f(－1)＝f(1)．又∵f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，∴f(0)＜f(0.5)＜f(1)，即f(0)＜f(－0.5)＜f(－1)，故选C.]


3．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为( )


A．(－∞，0] B．[0，＋∞)


C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞)


A [因为函数为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数为f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．]


4．一个偶函数定义在区间[－7,7]上，它在[0,7]上的图像如图，下列说法正确的是( )





A．这个函数仅有一个单调增区间


B．这个函数有两个单调减区间


C．这个函数在其定义域内有最大值是7


D．这个函数在其定义域内有最小值是－7


C [根据偶函数在[0,7]上的图像及其对称性，作出函数在[－7,7]上的图像，如图所示，可知这个函数有三个单调增区间；有三个单调减区间；在其定义域内有最大值是7；在其定义域内最小值不是－7.故选C.





5．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3)))


A [由题意得|2x－1|

二、填空题


6．函数f(x)在R上为偶函数，且x＞0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.


eq \r(－x)＋1 [∵f(x)为偶函数，x＞0时，f(x)＝eq \r(x)＋1，


∴当x＜0时，－x＞0，


f(x)＝f(－x)＝eq \r(－x)＋1，


即x＜0时，f(x)＝eq \r(－x)＋1.]


7．偶函数f(x)在(0，＋∞)内的最小值为2 019，则f(x)在(－∞，0)上的最小值为________．


2 019 [由于偶函数的图像关于y轴对称，


所以f(x)在对称区间内的最值相等．


又当x∈(0，＋∞)时，f(x)min＝2 019，


故当x∈(－∞，0)时，f(x)min＝2 019.]


8．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)按从小到大的排列是________．


f(－2)

当m≠1时，由题意可知，其图像关于y轴对称，∴m＝0，


∴f(x)＝－x2＋2，


∴f(x)在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减．


又0<1<2，∴f(0)>f(1)>f(2)＝f(－2)．]


三、解答题


9．已知f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且f(x)在(－1，1)上是减函数，解不等式f(1－x)＋f(1－2x)<0.


[解] ∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，


∴由f(1－x)＋f(1－2x)<0，得


f(1－x)<－f(1－2x)，∴f(1－x)

又∵f(x)在(－1,1)上是减函数，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<1－x<1，,－1<1－2x<1，,1－x>2x－1，))解得0

∴原不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))).


10．已知y＝f(x)是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，试问F(x)＝eq \f(1,fx)在(－∞，0)上是增函数还是减函数？证明你的结论．


[解] F(x)在(－∞，0)上是减函数．


证明如下：


任取x1，x2∈(－∞，0)，且x1－x2>0.


因为y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(x)<0，所以f(－x2)

又因为f(x)是奇函数，


所以f(－x2)＝－f(x2)，f(－x1)＝－f(x1)，②


由①②得f(x2)>f(x1)>0.于是F(x1)－F(x2)＝eq \f(fx2－fx1,fx1·fx2)>0，即F(x1)>F(x2)，


所以F(x)＝eq \f(1,fx)在(－∞，0)上是减函数．


[等级过关练]


1．下列函数中，是偶函数，且在区间(0,1)上为增函数的是( )


A．y＝|x| B．y＝1－x


C．y＝eq \f(1,x) D．y＝－x2＋4


A [选项B中，函数不具备奇偶性；选项C中，函数是奇函数；选项A，D中的函数是偶函数，但函数y＝－x2＋4在区间(0,1)上单调递减．故选A.]


2．若奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有( )


A．最大值－eq \f(1,4) B．最大值eq \f(1,4)


C．最小值－eq \f(1,4) D．最小值eq \f(1,4)


B [法一(奇函数的图像特征)：当x<0时，


f(x)＝x2＋x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)，


所以f(x)有最小值－eq \f(1,4)，因为f(x)是奇函数，


所以当x>0时，f(x)有最大值eq \f(1,4).


法二(直接法)：当x>0时，－x<0，


所以f(－x)＝－x(1－x)．


又f(－x)＝－f(x)，


所以f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(1,4)，


所以f(x)有最大值eq \f(1,4).故选B.]


3．如果函数F(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－3，x>0，,fx，x<0))是奇函数，则f(x)＝________.


2x＋3 [当x<0时，－x>0，F(－x)＝－2x－3，


又F(x)为奇函数，故F(－x)＝－F(x)，


∴F(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.]


4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则eq \f(fx,x)<0的解集为________．


{x|－33} [∵f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，


∴f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，


∴f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，f(x)<0，解得x>3；


当x<0时，f(x)>0，解得－3

5．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)＝x5＋x3＋b.


(1)求b的值；


(2)若f(x)在[0,2]上单调递增，且f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．


[解] (1)因为函数f(x)是定义在[－2,2]上的奇函数，


所以f(0)＝0，解得b＝0.


(2)因为函数f(x)在[0,2]上是增函数，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)在[－2,2]上是单调递增的，


因为f(m)＋f(m－1)>0，


所以f(m－1)>－f(m)＝f(－m)，


所以m－1>－m，①


又需要不等式f(m)＋f(m－1)>0在函数f(x)定义域范围内有意义．


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2≤m≤2，,－2≤m－1≤2，))②


解①②得eq \f(1,2)

所以m的取值范围为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)).