高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系同步测试题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册3.2 函数与方程、不等式之间的关系同步测试题，共5页。

函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系


(建议用时：60分钟)


[合格基础练]


一、选择题


1．函数f(x)＝x2－5x－6的零点是( )


A．2,3 B．－2,3


C．6，－1 D．－6,1


C [令x2－5x－6＝0，得x1＝6，x2＝－1.选C.]


2.函数y＝f(x)的大致图像如图所示，则函数y＝f(|x|)的零点的个数为( )





A．4 B．5 C．6 D．7


D [∵y＝f(|x|)是偶函数，∴其图像关于y轴对称．


∵当x＞0时，有三个零点，∴当x＜0时，也有三个零点．又因为0是y＝f(|x|)的一个零点，故共有7个零点．]


3．已知f(x)唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的是( )


A．函数f(x)在(1,2)或[2,3]内有零点


B．函数f(x)在(3,5)内无零点


C．函数f(x)在(2,5)内有零点


D．函数f(x)在(2,4)内不一定有零点


C [唯一的零点必须在区间(1,3)内，而不在[3,5)，所以函数f(x)在(2,5)内有零点是错误的，可能没有．]


4．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是( )


A．[－4,4] B．(－4,4)


C．(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．(－∞，－4)∪(4，＋∞)


A [由条件可知，Δ＝a2－4×4≤0，所以－4≤a≤4.]


5．二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＜x＜\f(1,2)))))，则ab的值为( )


A．－6 B．－2 C．2 D．6


C [由题意知方程ax2＋bx＋1＝0的实数根为－1和eq \f(1,2)，且a＜0，


由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－1＋\f(1,2)，,\f(1,a)＝－1×\f(1,2)，))


解得a＝－2，b＝－1，所以ab＝2.故选C.]


二、填空题


6．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．


－eq \f(1,2)，－eq \f(1,3) [依题意知方程x2－ax－b＝0的两个根是2和3，所以有a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6，b＝－6，因此g(x)＝－6x2－5x－1，易求出其零点是－eq \f(1,2)和－eq \f(1,3).]


7．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．


(－1,0) [∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＜0，,f1＞0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b<0，,1＋b>0.))∴－1

8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．


3 0 [∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0.]


三、解答题


9．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个实数根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．


[解] 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14，


依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,f4<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,f4>0，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>0，,26m＋38<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,26m＋38>0，))


解得－eq \f(19,13)

10．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.


(1)写出函数y＝f(x)的解析式；


(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．


[解] (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，


∵y＝f(x)是奇函数，


∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，


∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.))


(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.


∴作出函数y＝f(x)的图像，如图所示，





根据图像得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，


∴a的取值范围是(－1,1)．


[等级过关练]


1．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为(－1,2)，则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为( )


A．(－2,1)


B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)


C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)


D．(－1,2)


B [因为关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为(－1,2)，


所以－1,2是ax2＋bx＋2＝0(a＜0)的两根．


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋2＝－\f(b,a)，,－1×2＝\f(2,a)，))所以a＝－1，b＝1.


所以不等式bx2－ax－2＞0即为x2＋x－2＞0，


所以x＜－2或x＞1，故选B.]


2.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是( )


A．(－∞，2) B．(－∞，2]


C．(－2,2) D．(－2,2]


D [当a＝2时，－4＜0恒成立．


当a≠2时，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－2＜0，,4a－22＋16a－2＜0，))∴－2＜a＜2.


综上，得－2＜a≤2.]


3．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0，))若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是( )


A．1 B．2 C．3 D．4


C [由已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16－4b＋c＝c，,4－2b＋c＝－2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝4，,c＝2.))


∴f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x＋2，x≤0，,2， x>0.))


当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x，


即x2＋3x＋2＝0，


∴x＝－1或x＝－2；


当x>0时，方程为x＝2，


∴方程f(x)＝x有3个解．]


4．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为________．


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2))) [∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)·(1－x－a)，


∴不等式(x－a)⊙(x＋a)＜1，


即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x恒成立，


即x2－x－a2＋a＋1＞0对任意实数x恒成立，


所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，解得－eq \f(1,2)＜a＜eq \f(3,2).]


5．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，函数F(x)＝f(x)－x的两个零点为m，n(m＜n)．


(1)若m＝－1，n＝2，求不等式F(x)＞0的解集；


(2)若a＞0，且0＜x＜m＜n＜eq \f(1,a)，比较f(x)与m的大小．


[解] (1)由题意知a≠0，F(x)＝f(x)－x＝a(x－m)(x－n)，当m＝－1，n＝2时，不等式F(x)＞0，即a(x＋1)·(x－2)＞0.


当a＞0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|x＜－1或x＞2}；


当a＜0时，不等式F(x)＞0的解集为{x|－1＜x＜2}．


(2)f(x)－m＝F(x)＋x－m＝a(x－m)(x－n)＋x－m＝(x－m)(ax－an＋1)，因为a＞0，且0＜x＜m＜n＜eq \f(1,a)，所以x－m＜0,1－an＋ax＞0，所以f(x)－m＜0，即f(x)＜m.