人教B版 (2019)必修第一册第三章函数本章综合与测试巩固练习

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这是一份人教B版 (2019)必修第一册第三章函数本章综合与测试巩固练习，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(满分：150分时间：120分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列各组函数中，表示同一个函数的是( )

A．y＝x－1和y＝eq \f(x2－1,x＋1)

B．y＝x0和y＝1

C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2

D．f(x)＝eq \f(\r(x2),x)和g(x)＝eq \f(x,\r(x2))

D [A、B中两函数的定义域不同，C中两函数的解析式不同．]

2．函数f(x)＝eq \r(1＋x)＋eq \f(1,x)的定义域是( )

A．[－1，＋∞)

B．(－∞，0)∪(0，＋∞)

C．[－1,0)∪(0，＋∞)

D．R

C [要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋x≥0，,x≠0，))即x≥－1且x≠0.]

3．方程2x＝eq \f(1,x)的解的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

C [函数y＝2x的图像与函数y＝eq \f(1,x)的图像有2个交点，故选C.]

4．f(x)为奇函数，且在(－∞，0)上是增函数；g(x)为偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，则在(0，＋∞)上( )

A．f(x)和g(x)都是增函数

B．f(x)和g(x)都是减函数

C．f(x)为增函数，g(x)为减函数

D．f(x)为减函数，g(x)为增函数

C [定义在R上的奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，定义在R上的偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故应选C.]

5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )

A．feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＜f(－1)＜f(2)

B．f(－1)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＜f(2)

C．f(2)＜f(－1)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))

D．f(2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＜f(－1)

D [由f(x)是偶函数，得f(2)＝f(－2)．又因为f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，且－2＜－eq \f(3,2)＜－1，则f(2)＜feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＜f(－1). ]

6．若函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x－1，则当x＜0时，有( )

A．f(x)＞0 B．f(x)＜0

C．f(x)f(－x)≤0 D．f(x)－f(－x)＞0

C [∵函数f(x)为奇函数，令x＜0，则－x＞0，∴f(－x)＝－x－1.∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，f(x)＝x＋1，此时f(x)＝x＋1的函数值符号不确定，因此排除选项A，B.

∵f(x)f(－x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋12，x＜0，,0，x＝0，,－x－12，x＞0，))

∴f(x)f(－x)≤0成立，选项C符合题意．]

7．函数y＝3x＋eq \r(2x－1)(x≥2)的值域是( )

A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，＋∞)) B．[6＋eq \r(3)，＋∞)

C．[6，＋∞) D．[eq \r(3)，＋∞)

B [∵y＝3x＋eq \r(2x－1)在[2，＋∞)上是增函数，

∴ymin＝3×2＋eq \r(2×2－1)＝6＋eq \r(3).

∴y＝3x＋eq \r(2x－1)(x≥2)的值域为[6＋eq \r(3)，＋∞)．]

8．已知函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，则f(3)等于( )

A．8 B．9 C．11 D．10

C [∵feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))2＋2，

设x－eq \f(1,x)＝t，∴f(t)＝t2＋2，

即f(x)＝x2＋2，

∴f(3)＝32＋2＝11.]

9．若函数f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则F(x)在(－∞，0)上( )

A．有最小值－5 B．有最大值－5

C．有最小值－1 D．有最大值－3

C [设h(x)＝af(x)＋bg(x)，则F(x)＝h(x)＋2，且h(x)为奇函数．当x＞0时，F(x)≤5，即h(x)＋2≤5，

∴h(x)≤3.设x＜0，则－x＞0，∴h(－x)≤3，h(x)≥－3，∴F(x)＝h(x)＋2≥－1.]

10．在下列区间中，函数f(x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为( )

A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))

C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))

B [因为feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))3＋4×eq \f(1,4)－1＝eq \f(1,64)＞0，f(0)＝－1＜0，所以f(x)＝x3＋4x－1的零点所在的区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))).]

11．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么( )

A．f(2)＜f(1)＜f(4)

B．f(1)＜f(2)＜f(4)

C．f(4)＜f(2)＜f(1)

D．f(2)＜f(4)＜f(1)

A [由f(2＋t)＝f(2－t)，可知抛物线的对称轴是直线x＝2，再由二次函数的单调性，可得f(2)＜f(1)＜f(4)．]

12．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为eq \f(x,8)天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )

A．60件 B．80件 C．100件 D．120件

B [设平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为y元，

则y＝eq \f(800＋\f(x2,8),x)＝eq \f(800,x)＋eq \f(x,8).

∵x＞0，

∴eq \f(800,x)＋eq \f(x,8)≥2eq \r(\f(800,x)·\f(x,8))＝20，

当且仅当eq \f(800,x)＝eq \f(x,8)，即x＝80时取等号．

即每批生产80件，平均每件产品的费用最小．]

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥0，,fx＋2，x＜0，))则f(－3)＝________.

3 [∵－3＜0，∴f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)．

∵1＞0，∴f(1)＝2×1＋1＝3，∴f(－3)＝3.]

14．已知f(x)为R上的减函数，则满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＞f(1)的实数x的取值范围为________．

(－∞，0)∪(1，＋∞) [∵f(x)在R上是减函数，∴eq \f(1,x)＜1，

解得x＞1或x＜0.]

15.用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．

eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) [设f(x)＝x3－6x2＋4，显然f(0)＞0，f(1)＜0，

又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))3－6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋4＞0，

∴下一步可断定方程的根所在区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)).]

16．对于定义在R上的任意函数f(x)，若实数x0满足f(x0)＝x0，则称x0是函数f(x)的一个不动点．若二次函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点，则实数a的取值范围是________．

(－3,1) [若二次函数f(x)＝x2－ax＋1有不动点，则方程x2－ax＋1＝x，即x2－(a＋1)x＋1＝0有实数解．∴Δ＝(a＋1)2－4＝a2＋2a－3＝(a＋3)(a－1)≥0，∴a≤－3或a≥1.

∴当函数f(x)＝x2－ax＋1没有不动点时，实数a的取值范围是－3＜a＜1.]

三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知直角三角形ABC的面积是y，AB⊥AC，且|AB|＝x－1，|AC|＝x＋1，求y关于x的函数解析式，并求出函数的定义域．

[解] 由于△ABC是直角三角形，则有y＝eq \f(1,2)|AB|·|AC|＝eq \f(1,2)(x－1)(x＋1)＝eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2).

由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|AB|＝x－1＞0，,|AC|＝x＋1＞0，))解得x＞1.

所以函数的定义域是(1，＋∞)．

18．(本小题满分12分)若f(x)对x∈R恒有2f(x)－f(－x)＝3x＋1，求f(x)．

[解] 2f(x)－f(－x)＝3x＋1，①

将①中的x换为－x，得2f(－x)－f(x)＝－3x＋1，②

①②联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2fx－f－x＝3x＋1，,2f－x－fx＝－3x＋1，))

把f(x)与f(－x)看成未知数，解得f(x)＝x＋1.

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)．

(1)证明：函数f(x)是偶函数；

(2)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后画出函数图像；

(3)写出函数的值域．

[解] (1)由于函数定义域是R，且f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

(2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x，x＜－1，,2，－1≤x≤1，,2x，x＞1，))

图像如图所示．

(3)由函数图像知，函数的值域为[2，＋∞)．

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq \f(2x＋1,x＋1).

(1)判断函数在区间[1，＋∞)上的单调性，并用定义证明你的结论；

(2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值．

[解] (1)f(x)在[1，＋∞)上是增函数．

证明如下：任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2，f(x1)－f(x2)＝eq \f(2x1＋1,x1＋1)－eq \f(2x2＋1,x2＋1)

＝eq \f(x1－x2,x1＋1x2＋1).

因为x1－x2＜0，(x1＋1)(x2＋1)＞0，

所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．

所以函数f(x)在[1，＋∞)上是增函数．

(2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是增函数，

∴最大值为f(4)＝eq \f(2×4＋1,4＋1)＝eq \f(9,5)，最小值为f(1)＝eq \f(2×1＋1,1＋1)＝eq \f(3,2).

21．(本小题满分12分)学校食堂定期从某粮店以每吨1 500元的价格购买大米，每次购进大米需支付运输劳务费100元．已知食堂每天需用大米1吨，贮存大米的费用为每吨每天2元，假定食堂每次均在用完大米的当天购买．

(1)该食堂多少天购买一次大米，能使平均每天所支付的费用最少？

(2)粮店提出价格优惠条件：一次购买量不少于20吨时，大米价格可享受九五折优惠(即是原价的95%)，问：食堂可否接受此优惠条件？请说明理由．

[解] (1)设每t天购进一次大米，易知每次购进大米量为t吨，那么库存总费用即为

2[t＋(t－1)＋…＋2＋1]＝t(t＋1)．

若设平均每天所支付的总费用为y1，则

y1＝eq \f(1,t)[t(t＋1)＋100]＋1 500＝t＋eq \f(100,t)＋1 501≥1 521，

当且仅当t＝eq \f(100,t)，即t＝10时，等号成立，

故应每10天购买一次大米，能使平均每天支付的总费用最少．

(2)若接受价格优惠条件，则至少每20天购买一次，

设t(t≥20)天购买一次，每天支付费用为y2，

则y2＝eq \f(1,t)[t(t＋1)＋100]＋1 500×0.95＝t＋eq \f(100,t)＋1 426，

令f(t)＝t＋eq \f(100,t)(t≥20)，

设20≤t1＜t2，

f(t2)－f(t1)＝eq \f(t2－t1t1t2－100,t1·t2)＞0，

即f(t)在[20，＋∞)上单调递增．

故当t＝20时，y2取最小值为20＋eq \f(100,20)＋1 426＝1 451.因为1 451＜1 521，所以该食堂应接受价格优惠条件．

22．(本小题满分12分)设函数f(x)的定义域为U＝{x|x∈R，且x＞0}，且满足条件f(4)＝1.对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＞0.

(1)求f(1)的值；

(2)如果f(x＋6)＋f(x)＞2，求x的取值范围．

[解] (1)因为对任意的x1，x2∈U，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，所以令x1＝x2＝1，得f(1×1)＝f(1)＋f(1)＝2f(1)，所以f(1)＝0.

(2)设0＜x1＜x2，则x2－x1＞0.

又因为当x1≠x2时，eq \f(fx2－fx1,x2－x1)＞0，

所以f(x2)－f(x1)＞0，即f(x2)＞f(x1)，

所以f(x)在定义域内为增函数．

令x1＝x2＝4，得f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝1＋1＝2，

即f(16)＝2.

当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋6＞0，,x＞0，))即x＞0时，

原不等式可化为f[x(x＋6)]＞f(16)．

又因为f(x)在定义域上为增函数，

所以x(x＋6)＞16，解得x＞2或x＜－8.

又因为x＞0，所以x＞2.

所以x的取值范围为(2，＋∞)．