人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集优秀教学设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集优秀教学设计，共8页。







1．方程组的解集


一般地，将多个方程联立， 就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．


2．求方程组解集的依据是等式的性质等，常用的方法是消元法．


3．二元一(二)次方程组解集的表示方法为{(x，y)|(a，b)，…}，其中a，b为确定的实数，三元一次方程组解集的表示方法为 {(x, y，z)|(a，b，c)，…}，其中a，b，c为确定的实数．





1．用代入法解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝1－x,x－2y＝4))时，代入正确的是( )


A．x－2－x＝4 B．x－2－2x＝4


C．x－2＋2x＝4 D．x－2＋x＝4


C [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝1－x，①,x－2y＝4，②))把①代入②得，x－2(1－x)＝4，去括号得，x－2＋2x＝4.故选C.]


2．已知二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,x＋2y＝8，))解集为( )


A．{(x，y)|(2,3)} B．{(x，y)|(3,2)}


C．{(x，y)|(－2,3)} D．{(x，y)|(－2，－3)}


A [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，①,x＋2y＝8，②))


①＋②得：3x＋3y＝15，解得x＝2，y＝3，解集为{(x，y)|(2,3)}，故选A.]


3．已知A＝{(x，y)|x＋y＝5}，B＝{(x，y)|2x－y＝4}，则A∩B＝( )


A．{(x，y)|(1,4)} B．{(x，y)|(2,3)}


C．{(x，y)|(3,2)} D．{(x，y)|(4,1)}


C [根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝5，,2x－y＝4，))


由代入消元法可求得x＝3，y＝2，故A∩B＝{(x，y)|(3,2)}. ]


4．已知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝7，,x＋2y＝8，))那么x－y的值是________．


－1 [两式相减可得结果x－y＝－1.]





【例1】 求下列方程组的解集．


(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，①,2x－3y＝3.②))


(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x－7y＝－1，①,3x＋7y＝13.②))


[解] (1)由①，得y＝4－x.③


把③代入②，得2x－3(4－x)＝3.


解这个方程，得x＝3.


把x＝3代入③，得y＝1.


所以原方程组的解集为{(x，y)|(3,1)}．


(2)法一：①＋②，得6x＝12，所以x＝2.


把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，所以y＝1.


所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}．


法二：①－②，得－14y＝－14，所以y＝1.


把y＝1代入①得，3x－7×1＝－1，所以x＝2.


所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,1)}.





求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式.








1．求下列方程组的解集．


(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋8y＝12，①,3x－2y＝5.②))


(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8x＋9y＝73，①,7x＋18y＝2.②))


[解] (1)由②，得2y＝3x－5.③


把③代入①，得4x＋4(3x－5)＝12，解得x＝2.


把x＝2代入③，得y＝eq \f(1,2).


所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,2))))))).


(2)由①×2，得16x＋18y＝146，③


由③－②，得9x＝144，解得x＝16.


把x＝16代入①，得8×16＋9y＝73，解得y＝－eq \f(55,9).


所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(16，－\f(55,9))))))).





【例2】 求下列方程组的解集．


(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝12，①,x＋2y＋5z＝22，②,x＝4y.③))


(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＋3z＝11，①,3x＋2y－2z＝11，②,4x－3y－2z＝4.③))


[解] (1)法一：将③分别代入①②，得


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5y＋z＝12，,6y＋5z＝22，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝2，))


把y＝2代入③，得x＝8.


所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．


法二：②－①，得y＋4z＝10，④


②－③，得6y＋5z＝22，⑤


联立④⑤，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＋4z＝10，,6y＋5z＝22，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2，,z＝2，))


把y＝2代入③，得x＝8.


所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．


法三：①×5，得5x＋5y＋5z＝60，④


④－②，得4x＋3y＝38，⑤


联立③⑤，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4y，,4x＋3y＝38，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝2，))


把x＝8，y＝2代入①，得z＝2.


所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(8,2,2)}．


(2)①×2－②，得x＋8z＝11，④


①×3＋③，得10x＋7z＝37，⑤


联立④⑤，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋8z＝11，,10x＋7z＝37，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,z＝1，))


把x＝3，z＝1代入①，得y＝2.


所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(3,2,1)}．





求三元一次方程组解集的基本思路是：通过 “代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为 “二元”，使三元一次方程组转化为二元一次方程组，进而再转化为一元一次方程求解.








2．求方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，①,y＋z＝6，②,z＋x＝3 ③))的解集．


[解] ①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝10，


即x＋y＋z＝5.④


④－①，得z＝4；④－②，得x＝－1；④－③，得y＝2.


所以原方程组的解集为{(x，y，z)|(－1,2,4)}．





【例3】 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点(－1,2)，(2,8)，(5,158)，求这个二次函数的解析式．


[思路点拨] 把a，b，c看成三个未知数，分别把三组已知的x，y的值代入，就可以得到一个三元一次方程组，解这个方程组即可求出a，b，c的值．


[解] 根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－b＋c＝2，①,4a＋2b＋c＝8，②,25a＋5b＋c＝158，③))


②－①，得a＋b＝2，④


③－①，得4a＋b＝26，⑤


联立④⑤，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＝2，,4a＋b＝26，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝8，,b＝－6，))


把a＝8，b＝－6代入①，得c＝－12.


因此所求函数的解析式为y＝8x2－6x－12.





解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.








3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像过点(1,4)，(3，－20)，(－1，－12)，求这个二次函数的解析式．


[解] 根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋b＋c＝4，,9a＋3b＋c＝－20，,a－b＋c＝－12，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－5，,b＝8，,c＝1，))


因此所求函数的解析式为y＝－5x2＋8x＋1.





【例4】 求下列方程组的解集．


(1)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝8，①,xy＝12.②))


(2)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4xy＋4y2＋x－2y－2＝0，①,3x＋2y－11＝0.②))


[解] (1)由①得y＝8－x，③


把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.


解得x1＝2，x2＝6.


把x1＝2代入③，得y1＝6.


把x2＝6代入③，得y2＝2.


所以原方程组的解集为{(x，y)|(2,6)，(6,2)}．


(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，


解得x－2y＝1或x－2y＝－2，


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝1，,3x＋2y－11＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))


由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＝－2，,3x＋2y－11＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,4)，,y＝\f(17,8).))


所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(3，1，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，\f(17,8))))))).





求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程.








4．求方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2y＝4，①,2xy＝－21②))的解集．


[解] ∵方程①是x与2y的和，方程②是x与2y的积，


∴x与2y是方程z2－4z－21＝0的两个根，解此方程得z1＝－3，z2＝7，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,2y＝7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,2y＝－3，))


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝\f(7,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝－\f(3,2).))


所以原方程组的解集为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，\f(7,2)))，\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，－\f(3,2))))))).





【例5】 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山．该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km,20 km,40 km，则从甲地到乙的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？


[思路点拨] 题中有三个等量关系：①上坡路长度＋平路长度＋下坡路长度＝70 km；②从甲地到乙地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.5 h；③从乙地到甲地的过程中，上坡时间＋平路时间＋下坡时间＝2.3 h.


[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km，y km和z km.


由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝70，,\f(x,20)＋\f(y,30)＋\f(z,40)＝2.5，,\f(z,20)＋\f(y,30)＋\f(x,40)＝2.3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝54，,z＝4，))


故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km.





根据实际问题列方程组，求出方程组的解集，进而解决实际问题.








5．在中国古算术《张丘建算经》(约公元5世纪)里，有一道著名的“百鸡问题”：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，凡百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？(三种鸡都买)


[解] 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别买x只、y只、z只．


根据题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝100，①,5x＋3y＋\f(z,3)＝100.②))


②×3－①，得7x＋4y＝100，y＝eq \f(100－7x,4)＝25－eq \f(7,4)x.


因为x，y均为正数，所以x一定是4的倍数，且x是小于eq \f(100,7)的正整数，所以x的取值只能为4,8,12.


若x＝4，则y＝18，z＝78；


若x＝8，则y＝11，z＝81；


若x＝12，则y＝4，z＝84.


故鸡翁为4只，鸡母为18只，鸡雏为78只或鸡翁为8只，鸡母为11只，鸡雏为81只或鸡翁为12只，鸡母为4只，鸡雏为84只．





1．求二元一次方程组的解集的常用方法有加减消元法和代入消元法，要能够根据所解方程组的特点选用适当的方法，注意解集的表示形式．


2．待定系数法求函数的解析式，解决此类问题的方法是根据图像上的点的坐标列方程组，解方程组求得字母系数的值，进而确定所求函数的解析式.





1．二元一次方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3y＝7，,y－x＝1))的解集是( )


A．{(x，y)|(1,2)} B．{(x，y)|(1,0)}


C．{(x，y)|(－1,2)} D．{(x，y)|(1，－2)}


A [由加减消元法可求得x＝1，y＝2，故所求方程组的解集为{(x，y)|(1,2)}．]


2．求方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－z＝11，,x＋z＝5，,x－y＋2z＝1))的解集时，要使运算简便，消元的方法应选取( )


A．先消去x B．先消去y


C．先消去z D．以上说法都不对


B [根据系数特点，先消去y最简便，故选B.]


3．桌面上有甲、乙、丙三个杯子，三杯内原本均装有一些水．先将甲杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本甲杯内水量的2倍多40毫升；再将乙杯的水全部倒入丙杯，此时丙杯的水量为原本乙杯内水量的3倍少180毫升．若过程中水没有溢出， 则原本甲、乙两杯内的水量相差( )


A．80毫升 B．110毫升


C．140毫升 D．220毫升


B [设甲杯中原有水a毫升，乙杯中原有水 b毫升，丙杯中原有水c毫升，


依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c－40＝2a，①,a＋b＋c＋180＝3b，②))


②－①，得b－a＝110，故选B.]


4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3))和eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2.))试写出符合要求的方程组________．


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＝6,x－y＝－1)) [由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，


故可组成方程组为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(xy＝6，,x－y＝－1))(答案不唯一)．]





学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解方程组的解集的定义及表示方法．(难点)


2．掌握用消元法求方程组解集的方法．(重点)


3．会利用方程组知识解决一些简单的实际问题．(重点、难点)
1.通过理解方程组的定义，培养数学抽象的素养．


2．通过求方程组的解集，提升数据分析、数学运算的学科素养.
二元一次方程组的解集
三元一次方程组的解集
待定系数法求函数的解析式
二元二次方程组的解集
方程组的实际应用