高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语本章综合与测试精品教案

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【例1】 已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．


(1)用列举法表示集合A与B；


(2)求A∩B及∁U(A∪B)．


[解] (1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．


(2)由题知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{0,5,6}．





集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.








1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝( )


A．{1,3,4} B．{3,4}


C．{3} D．{4}


D [∵A＝{1,2}，B＝{2,3}，∴A∪B＝{1,2,3}，


∴∁U(A∪B)＝{4}．]


【例2】 已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．


(1)若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；


(2)是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？


[解] (1)A＝{x|0≤x≤2}，





∴∁RA＝{x|x<0或x>2}．


∵(∁RA)∪B＝R，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤0，,a＋3≥2.))


∴－1≤a≤0.


(2)由(1)知(∁RA)∪B＝R时，－1≤a≤0，而2≤a＋3≤3，


∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在．





根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.








2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B⊆A，求实数k的取值范围.


[解] 由于B⊆A，在数轴上表示A，B，如图，





可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2k－1≥－3，,2k＋1＜2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≥－1，,k＜\f(1,2).))


所以k的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤k＜\f(1,2))))).


【例3】 已知a≥eq \f(1,2)，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤eq \f(3,4).


[解] 因为a≥eq \f(1,2)，所以函数y＝－a2x2＋ax＋c的图像的对称轴方程为x＝eq \f(a,2a2)＝eq \f(1,2a)，且0＜eq \f(1,2a)≤1，当x＝eq \f(1,2a)时，y＝eq \f(1,4)＋c.


先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1，即eq \f(1,4)＋c≤1，所以c≤eq \f(3,4).


再证充分性：


因为c≤eq \f(3,4)，当x＝eq \f(1,2a)时，y的最大值为eq \f(1,4)＋c≤eq \f(1,4)＋eq \f(3,4)＝1，所以对于任意x∈{x|0≤x≤1}，


y＝－a2x2＋ax＋c≤1，即y≤1.


即充分性成立．





利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.








3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．


－eq \f(1,2)或eq \f(1,3) [p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.


q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝－eq \f(1,a).


由题意知pq，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有－eq \f(1,a)＝2或－eq \f(1,a)＝－3，解得a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,3).


综上可知，a＝－eq \f(1,2)或a＝eq \f(1,3).]


【例4】 (1)下列语句不是全称量词命题的是( )


A．任何一个实数乘以零都等于零


B．自然数都是正整数


C．高一(一)班绝大多数同学是团员


D．每一个实数都有大小


(2)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则( )


A．p是假命题；p：∃x∈R，x2＜0


B．p是假命题；p：∃x∈R，x2≤0


C．p是真命题；p：∀x∈R，x2＜0


D．p是真命题；p：∀x∈R，x2≤0


(1) C (2) B [(1)A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选C.


(2)由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B.]





“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系


1一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论px的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.


2与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.








4．下列命题不是存在量词命题的是( )


A．有些实数没有平方根


B．能被5整除的数也能被2整除


C．在实数范围内，有些一元二次方程无解


D．有一个m使2－m与|m|－3异号


B [选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]


5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．


存在一个能被7整除的数不是奇数 [原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]





集合的并、交、补运算
集合关系和运算中的参数问题
充分条件与必要条件
全称量词与存在量词