数学人教B版 (2019)3.1.1 函数及其表示方法优秀第1课时教学设计

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3.1 函数的概念与性质


3.1.1 函数及其表示方法


第1课时 函数的概念








1．函数的概念


思考：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？


(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？


提示：(1)这种看法不对．


符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，f是对应关系，y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，h(x)等来表示函数．


(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．


2．两个函数相同


一般地，如果两个函数的定义域相同，对应关系也相同(即对自变量的每一个值，两个函数对应的函数值都相等)，则称这两个函数就是同一个函数．





1．思考辨析


(1)函数y＝f(x)＝x2，x∈A与u＝f(t)＝t2，t∈A表示的是同一个函数．( )


(2)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与g(x)＝2x，x∈[0,2]表示的是同一个函数．( )


(3)函数y＝f(x)＝x2，x∈[0,2]与h(x)＝x2，x∈(0,2)表示同一个函数．( )


[提示] (1)两个函数定义域相同，对应关系也相同．


(2)两函数的对应关系不同．


(3)两函数的定义域不同．


[答案] (1)√ (2)× (3)×


2．函数y＝eq \f(1,\r(x＋1))的定义域是( )


A．[－1，＋∞) B．[－1,0)


C．(－1，＋∞) D．(－1,0)


C [由x＋1>0得x>－1.


所以函数的定义域为(－1，＋∞)．]


3．若f(x)＝eq \f(1,1－x2)，则f(3)＝________.


－eq \f(1,8) [f(3)＝eq \f(1,1－9)＝－eq \f(1,8).]


4．下表表示y是x的函数，则函数的值域是________．


{－1,0,1} [函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．]





【例1】 (1)下列四组函数，表示同一函数的是( )


A．f(x)＝eq \r(x2)，g(x)＝x


B．f(x)＝x，g(x)＝eq \f(x2,x)


C．f(x)＝eq \r(3,x3)，g(x)＝x


D．f(x)＝x2，g(x)＝(eq \r(x))4


(2)判断下列对应f是否为定义在集合A上的函数．


①A＝R，B＝R，对应法则f：y＝eq \f(1,x2)；


②A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；


③A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应法则如图所示．





(1)C [选项A中，由于f(x)＝eq \r(x2)＝|x|，g(x)＝x两函数对应法则不同，所以它们不是同一函数；


选项B中，由于f(x)＝x的定义域为R，g(x)＝eq \f(x2,x)的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域不相同，所以它们不是同一函数；


选项C中，f(x)＝eq \r(3,x3)＝x，g(x)＝x的定义域和对应法则完全相同，所以它们是同一函数；


选项D中，f(x)＝x2的定义域为R，g(x)＝(eq \r(x))4＝x2的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不相同，所以它们不是同一函数．]


(2)[解] ①A＝R，B＝R，对于集合A中的元素x＝0，在对应法则f：y＝eq \f(1,x2)的作用下，在集合B中没有元素与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．


②由f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4，知集合A中的每一个元素在对应法则f的作用下，在集合B中都有唯一的元素与之对应，故所给对应是定义在A上的函数．


③集合A中的元素3在集合B中没有与之对应的元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应不是定义在A上的函数．





1．判断对应关系是否为函数的2个条件


(1)A，B必须是非空实数集．


(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．


对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．


2．判断函数相等的方法


(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；


(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．








1．判断下列对应关系f是不是定义在集合A上的函数．


(1)A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；


(2)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；


(3)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；


(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．


[解] (1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．


(2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．


(3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．


(4)集合A不是数集，故不是函数．





[探究问题]


1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？


提示：不可以．如f(x)＝eq \f(x＋1,x2－1).倘若先化简，则f(x)＝eq \f(1,x－1)，从而定义域与原函数不等价．


2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？


提示：[1,2]是自变量x的取值范围．


函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．


【例2】 求下列函数的定义域：


(1)f(x)＝2＋eq \f(3,x－2)；


(2)f(x)＝(x－1)0＋eq \r(\f(2,x＋1))；


(3)f(x)＝eq \r(3－x)·eq \r(x－1)；


(4)f(x)＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x).


[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．


[解] (1)当且仅当x－2≠0，


即x≠2时，


函数f(x)＝2＋eq \f(3,x－2)有意义，


所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．


(2)函数有意义，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))


解得x>－1且x≠1，


所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．


(3)函数有意义，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x－1≥0，))


解得1≤x≤3，


所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．


(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足


eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，


即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．





(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．


[解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.


所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．





求函数定义域的常用方法


1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.


2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.


3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.


4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.


5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.








2．下列函数的定义域不是R的是( )


A．y＝x＋1 B．y＝x2


C．y＝eq \f(1,x) D．y＝2x


C [A中为一次函数，B中为二次函数，D中为正比例函数，定义域都是R；C中为反比例函数，定义域是{x|x≠0}，不是R.]


3．已知函数f(x)＝eq \f(1,\r(2－x))的定义域为M，g(x)＝eq \r(x＋2)的定义域为N，则M∩N＝( )


A．{x|x≥－2} B．{x|x＜2}


C．{x|－2＜x＜2} D．{x|－2≤x＜2}


D [由题意得M＝{x|x＜2}，N＝{x|x≥－2}，所以M∩N＝{x|－2≤x＜2}．]





【例3】 设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq \f(1,x＋2).


(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；


(2)求函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域．


[思路点拨] (1)直接把自变量x的取值代入相应函数解析式求值即可；


(2)所有函数值的集合即为值域．


[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2，


所以f(2)＝2×22＋2＝10，


f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.


因为g(x)＝eq \f(1,x＋2)，


所以g(a)＋g(0)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,0＋2)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,2)(a≠－2)．


g(f(2))＝g(10)＝eq \f(1,10＋2)＝eq \f(1,12).


(2)当x＝1时，y＝3；当x＝2时，y＝5；当x＝3时，y＝7；当x＝4时，y＝9.


所以函数y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4}的值域为{3,5,7,9}．





1．函数求值的方法


(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．


(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．


2．求函数值域的常用方法


(1)观察法：通过对解析式的简单变形和观察，利用熟知的基本函数的值域，求出函数的值域．如：①一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)的值域是R；②反比例函数f(x)＝eq \f(k,x)(k≠0)的值域是{y|y≠0}；③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当a＞0时，值域是yeq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≥f－\f(b,2a)))；当a＜0时，值域是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(y≤f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a))))))).


(2)配方法，判别式法是求解二次函数型值域的常用方法．


(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数转化为简单的函数，从而求得函数的值域．








4．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)和f(f(－1))的值．


[解] f(1)＝13＋2×1＋3＝6；


f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3.


5．求函数y＝1－x2的值域．


[解] 因为1－x2≤1，所以函数y＝1－x2的值域为(－∞，1]．





1．判断两个函数相同


函数的定义主要包括定义域和定义域到值域的对应法则，因此，判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．


2．对函数定义的再理解


(1)函数的定义域必须是非空实数集，因此定义域为空集的函数不存在．如y＝eq \f(1,\r(1－x))＋eq \r(x－3)就不是函数；集合A中的元素是实数，即A≠∅且A⊆R.


(2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)元素x，都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．


(3)函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，而是非空数集B的子集．


例如，对于从集合A＝R到集合B＝R的函数y＝x2，值域是{y|y≥0}，而不是R.





1．思考辨析


(1)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．( )


(2)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．( )


(3)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )


[答案] (1)√ (2)× (3)×


2．下列函数中，与函数y＝x相等的是( )


A．y＝(eq \r(x))2 B．y＝eq \r(x2)


C．y＝|x| D．y＝eq \r(3,x3)


D [函数y＝x的定义域为R；y＝(eq \r(x))2的定义域为[0，＋∞)；y＝eq \r(x2)＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝eq \r(3,x3)＝x，且定义域为R.故选D.]


3．将函数y＝eq \f(3,1－\r(1－x))的定义域为________．


(－∞，0)∪(0,1] [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))


解得x≤1且x≠0，


因此函数的定义域为(－∞，0)∪(0,1]．]


4．已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x).


(1)求f(x)的定义域；


(2)求f(－1)，f(2)的值；


(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．


[解] (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，


∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．


(2)f(－1)＝－1＋eq \f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).


(3)当a≠－1时，a＋1≠0，


∴f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1).





学 习 目 标
核 心 素 养
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)


2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)
1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．


2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．


3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
定义
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中的每一个实数x，按照对应关系f，在集合B中都有唯一确定的实数y＝f(x)与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A，其中x称为自变量，y称为因变量
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量x的取值的范围 (即数集A)
值域
所有函数值组成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}
x
x＜2
2≤x≤3
x＞3
y
－1
0
1
函数的概念
求函数的定义域
求函数值(值域)