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    第3章 3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点 教案
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    数学3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点优秀教学设计

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    这是一份数学3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点优秀教学设计,共6页。







    1.对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模.


    2.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、建立模型,确定参数、计算求解,验证结果、改进模型,最终解决实际问题.





    1.一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图所示,那么图像所对应的函数模型是( )





    A.分段函数 B.一次函数


    C.二次函数 D.反函数


    A [根据图像知,在不同的时间段内,行驶路程关于时间变化的图像不同,故对应函数模型应为分段函数.]


    2.在x克a%的盐水中,加入y克b%的盐水,浓度变为c%,则x与y的函数关系式为( )


    A.y=eq \f(c-a,c-b)·x B.y=eq \f(c-a,b-c)·x


    C.y=eq \f(a-c,b-c)·x D.y=eq \f(b-c,c-a)·x


    B [据题意有eq \f(a%x+b%y,x+y)=c%,


    所以eq \f(ax+by,x+y)=c,即ax+by=cx+cy,


    所以(b-c)y=(c-a)x,所以y=eq \f(c-a,b-c)·x.]


    3.某车主每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油的情况:


    (注:“累计里程”是汽车出厂后行驶的总路程)


    则16日-21日这段时间内汽车每百公里的平均油耗为( )


    A.6升 B.8升


    C.10升 D.12升


    B [由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8(升),故选B.]


    4.某家具的标价为132元,若降价以九折出售 (即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是________元.


    108 [设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108.]





    【例】 某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元.


    (1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系;


    (2)该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?


    [解] (1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)=k1x,g(x)=k2eq \r(x).


    由已知得f(1)=eq \f(1,8)=k1,g(1)=eq \f(1,2)=k2,


    所以f(x)=eq \f(1,8)x(x≥0),g(x)=eq \f(1,2)eq \r(x)(x≥0).


    (2)设投资债券类产品为x万元,则投资股票类产品为(20-x)万元,依题意得


    y=f(x)+g(20-x)=eq \f(1,8)x+eq \f(1,2)eq \r(20-x)(0≤x≤20).


    令t=eq \r(20-x)(0≤t≤2eq \r(5)),


    则y=eq \f(20-t2,8)+eq \f(1,2)t=-eq \f(1,8)(t-2)2+3,


    所以当t=2,即x=16时,收益最大,即投资债券16万元,投资股票4万元时获得最大收益,最大收益为3万元.





    解决此类问题过程:如下图所示.











    某商场经营一批进价是每件30元的商品,在市场销售中发现,此商品的销售单价x(元)与日销售量y件之间有如下关系(见下表):


    (1)在所给的坐标系中,根据表中提供的数据描出实数对(x,y)对应的点,并确定y与x的一个函数关系式y=f(x);


    (2)设经营此商品的日销售利润为P元,根据上述关系式写出P关于x的函数关系式,并指出销售单价x为多少元时,才能获得最大日销售利润?





    [解] (1)根据题干中所给表作图,如图,点(30,60)、(40,30)、(45,15)、(50,0)在同一条直线上,设此直线为y=kx+b,





    ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50k+b=0,,45k+b=15,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k=-3,,b=150.))


    ∴y=-3x+150(x∈N).


    经检验,点(30,60)、(40,30)也在此直线上,故所求函数关系式为y=-3x+150(x∈N).


    (2)依题意有P=y(x-30)=(-3x+150)(x-30)


    =-3(x-40)2+300,


    ∴当x=40时,P有最大值300.


    故销售单价为40元时,才能获得最大日销售利润.





    1.某产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数关系式为y=3x+4,则当产量为4时,利润y等于( )


    A.4元 B.16元


    C.85元 D.不确定


    B [当x=4时,y=12+4=16.]


    2.已知A、B两地相距150千米,某人开汽车以60千米/时的速度从A地到达B地,在B地停留1小时后再以50千米/时的速度返回A地,把汽车离开A地的距离x表示为时间t(时)的函数表达式是( )


    A.x=60t+50t(0≤t≤6.5)


    B.x=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,1502.5<t≤3.5,150-50t3.5<t≤6.5))


    C.x=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,150-50tt>3.5))


    D.x=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(60t0≤t≤2.5,1502.5<t≤3.5,150-50t-3.53.5<t≤6.5))


    D [根据题意,函数为分段函数,求出每一段上的解析式即可.]


    3.根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:分钟)为


    f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(c,\r(x)),x<A,,\f(c,\r(A)),x≥A))(A,c为常数).


    已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是________,.


    60,16 [因为组装第A件产品用时15分钟,


    所以eq \f(c,\r(A))=15,①


    所以必有4<A,且eq \f(c,\r(4))=eq \f(c,2)=30,②


    联立①②解得c=60,A=16.]


    4.甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查,提供了两个方面的信息,如图.





    甲调查表明:每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只.


    乙调查表明:甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个.


    请你根据提供的信息说明:


    (1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数;


    (2)第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了?说明理由;


    (3)第几年的养殖规模最大?最大养殖量是多少?


    [解] (1)由题图可知,直线y甲=kx+b经过(1,1)和(6,2),可求得k=0.2,b=0.8.


    ∴y甲=0.2(x+4).


    同理可得y乙=4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-x+\f(17,2))).


    当x=2时,y甲=1.2,y乙=26,


    故第2年甲鱼池的个数为26个,全县出产甲鱼的总数为26×1.2=31.2(万只).


    (2)规模缩小了.原因是:第一年出产甲鱼总数30万只,而第6年出产甲鱼总数为20万只.


    (3)设第x年规模最大,即求y甲·y乙=0.2(x+4)·4-x+eq \f(17,2)=-0.8x2+3.6x+27.2的最大值.


    函数图像的对称轴为x=-eq \f(3.6,2×-0.8)=2eq \f(1,4),


    因为x∈N+,∴当x=2时,y甲·y乙=31.2,


    即第二年规模最大,为31.2万只.





    学 习 目 标
    核 心 素 养
    1.理解几种常见函数模型的概念及性质.(难点)


    2.会分析具体的实际问题,建模解决实际问题.(重点、难点)
    1.通过几种函数模型的学习,培养数学抽象的素养.


    2.理解几种函数模型的应用,培养数学建模的素养.
    加油时间
    加油量(升)
    加油时的累计里程(公里)
    2017年11月16日
    12
    32 000
    2017年11月21日
    48
    32 600
    数学建模—建立函数模型解决实际问题
    销售单价x(元)

    30
    40
    45
    50

    日销售量y(件)

    60
    30
    15
    0

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