第01讲 实数及其有关概念（原卷版）
展开第01讲 实数及其有关概念
1．实数分类
(1)按实数的定义分类
(2)按正负分类
实数
2．实数的有关概念
(1)数轴：如图，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
其中实数和数轴上的点一一对应．
(2)相反数：只有符号不相同的两个数互为相反数，即实数a的相反数是______，0的相反数是0；a与b 互为相反数⇔a＋b＝_____．
(3)绝对值
①定义：数轴上表示数a的点与原点的___距离___叫做数a的绝对值，记作|a|；
②性质：
|a|＝
|a|是一个非负数，即|a|>0.
(4)倒数：实数a的倒数是___，其中a≠0，a，b互为倒数⇔ab＝____．
3．科学记数法，近似数
(1)科学记数法
①定义：把数x写成a×10n(1≤|a|＜10，且n为整数)的形式，这种记数方法叫做科学记数法；
②其中a是整数位数只有一位的数，即1≤|a|＜10；
当|x|≥1时，n为正整数，等于数x的整数部分的位数减1；
当|x|＜1时，n为负整数，其绝对值等于数x中非0数字前面所有0的个数(包含小数点前的0)．或将原数变为a时小数点向右平移的位数．
(2)近似数
一个近似数_____到哪一位，就说这个数精确到哪一位．
4. 有理数的运算
(1)有理数的加法
①法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；一个数加0，仍得这个数．
②运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(2)有理数的减法
减去一个数等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)．
(3)有理数的乘法
①法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数与0相乘，都得0.
②运算律：
a．乘法交换律：ab＝ ____．
b．乘法结合律：(ab)c＝a(ac)．
c．乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.
(4)有理数的除法
①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的 即a÷b＝a·.
②两数相除，同号得正，异号得负，并把 相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.
(5)有理数运算的顺序
①先乘方，再乘除，最后加减；
②同级运算，从左到右进行；
③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算.
考点1：实数的分类
【例题1】（ 甘肃省天水市，1，4分）四个数－3，0，1，π中的负数是（ ）
A．－3 B．0 C．1 D．π
考点2：科学记数法
【例题2】（2019•湖南怀化•4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（ ）
A．27.6×103 B．2.76×103 C．2.76×104 D．2.76×105
考点3： 关于实数的概念考查
【例题3】(2019甘肃省天水市)已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（ ）
A. B. C. 或 D. 1或
一、选择题：
1. （2019•湖南衡阳•3分）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
2. （2018古呼和浩特）﹣3﹣（﹣2）的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．5 D．﹣5
3. （2019▪贵州毕节▪3分）举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104
4. （2019，山东枣庄，3分）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（ ）
A．﹣（a+1） B．﹣（a﹣1） C．a+1 D．a﹣1
5.（河北省，11，2分）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：
甲：b-a<0； 乙：a+b>0； 丙：|a|<|b|； 丁：.
其中正确的是（ ）
A．甲乙 B．丙丁 C．甲丙 D．乙丁
二、填空题：
6. （2018•邵阳）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是 ．
7. （2018•云南）某地举办主题为“不忘初心，牢记使命”的报告会，参加会议的人员3451人，将3451用科学记数法表示为 ．
8. (2019甘肃省陇南市)如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是 .
三、计算题：
9. 已知2a﹣1的算术平方根是5，a+b﹣2的平方根是±3，c+1的立方根是2，求a+b+c的值．
10. 在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是P.
(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；若以C为原点，P又是多少？
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求P.
11.利用运算律有时能进行简便计算．
请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算：
(1)999×(－15)；
(2)999×118＋999×(－)－999×18.
四、解答题：
12. (2018·河北预测改编)我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数在数轴上都能找到与之对应的点，比如我们可以在数轴上找到与数字2对应的点．
(1)在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点A表示；
(2)(1)中所取点A表示的数字是2，相反数是－2，绝对值是2，倒数是，其到点5的距离是5－2；
(3)取原点为O，表示数字1的点为B，将(1)中点A向左平移2个单位长度，再取其关于点B的对称点C，求CO的长．
13. (2017·石家庄长安区质量检测)小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2 km到达小彬家，继续向东跑了1.5 km到达小红家，然后又向西跑了4.5 km到达学校，最后又向东跑回到自己家．
(1)以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1 km，在如图所示的数轴上，分别用点A表示出小彬家、用点B表示出小红家、用点C表示出学校的位置；
(2)求小彬家与学校之间的距离；
(3)如果小明跑步的速度是250 m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？
14. 已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？
（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有点M对应的数．（不必说明理由）．
