第07讲 一元二次方程及其应用（解析版） 试卷

第7讲　一元二次方程及其应用

1．定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．通常可写成如下的一般形式：ax2＋bx＋c＝0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项．
2．解法
(1)直接开平方法：方程符合x2＝m(m≥0)或(x±m)2＝n(n≥0)的形式；
(2)配方法：①二次项系数化为1；②移项；③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；④原方程写成a(x＋h)2＝k的形式；⑤当k≥0时，直接开平方求解；
(3)公式法：①化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值；④当b2－4ac≥0时，将a，b，c的值代入得x＝；
(4)因式分解法：①将方程右边化为0；②将方程左边进行因式分解；③令每个因式为零，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，得原方程的两个根．
3．一元二次方程的根的判别式
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其根的判别式为b2－4ac(或记为“Δ”)．
(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)b2－4ac＜0⇔方程没有实数根；
(4)b2－4ac≥0⇔方程有实数根．
4．一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1＋x2＝－，x1x2＝．
5．一元二次方程的实际应用常见类型及关系
(1)增长率问题：设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率时，n为下降次数，b为下降后的量，则有a(1－m)n＝b.
(2)几何图形问题：
①面积问题：S长方形＝ab(a，b分别表示长和宽)；
S正方形＝a2(a表示边长)；
S圆＝πr2(r表示圆的半径)；
②体积问题：V长方体＝abh(a、b、h分别表示长、宽、高)；
V正方体＝a3(a表示边长)；
V圆锥＝πr2h(r表示底面圆的半径，h表示高)；

考点1：一元二次方程的解法
【例题1】嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式时，对于b2－4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2＋bx＋c＝0变形为：
x2＋x＝－，……第一步
x2＋x＋()2＝－＋()2，……第二步
(x＋)2＝，……第三步
x＋＝(b2－4ac＞0)，……第四步
x＝.……第五步
(1)嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝；
(2)用配方法解方程：x2－2x－24＝0.
解：x2－2x＝24，
x2－2x＋1＝24＋1，
(x－1)2＝25，
x－1＝±5，
x＝1±5，
∴x1＝－4，x2＝6.
归纳：一元二次方程有四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法．
(1)若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0，可考虑用因式分解法求解；
(2)若一元二次方程可分解因式或缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；
(3)若一元二次方程的二次项系数为1，且一次项的系数是偶数时或常数项非常大时，可考虑用配方法求解；
(4)若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解．
考点2：一元二次方程的实际应用
【例题2】(2019•湖北宜昌•10分)HW公司2018年使用自主研发生产的“QL”系列甲、乙、丙三类芯片共2800万块，生产了2800万部手机，其中乙类芯片的产量是甲类芯片的2倍，丙类芯片的产量比甲、乙两类芯片产量的和还多400万块．这些“QL”芯片解决了该公司2018年生产的全部手机所需芯片的10%．
(1)求2018年甲类芯片的产量；
(2)HW公司计划2020年生产的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．
【考点】一元二次方程应用题．
【分析】(1)设2018年甲类芯片的产量为x万块，由题意列出方程，解方程即可；
(2)2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，设丙类芯片的产量每年增加的熟练为y万块，则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，得出丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，由题意得出400(1+m%)2+2×400(1+m%﹣1)2+8000＝28000×(1+10%)，设m%＝t，化简得：3t2+2t﹣56＝0，解得：t＝4，或t＝﹣（舍去），即可得出答案．
【解答】解：(1)设2018年甲类芯片的产量为x万块，
由题意得：x+2x+（x+2x）+400＝2800，解得：x＝400，
答：2018年甲类芯片的产量为400万块；
(2)2018年万块丙类芯片的产量为3x+400＝1600万块，
设丙类芯片的产量每年增加的数量为y万块，
则1600+1600+y+1600+2y＝14400，解得：y＝3200，
∴丙类芯片2020年的产量为1600+2×3200＝8000万块，
2018年HW公司手机产量为2800÷10%＝28000万部，
400(1+m%)2+2×400(1+m%－1)2+8000＝28000×(1+10%)，
设m%＝t，化简得：3t2+2t－56＝0，
解得：t＝4，或t＝－（舍去），
∴t＝4，∴m%＝4，∴m＝400；
答：丙类芯片2020年的产量为8000万块，m＝400．
归纳：利用一元二次方程解决实际应用问题的关键是根据题干寻找等量关系，从而建立方程；解方程时要注意检验方程的根是否符合实际意义．
考点3： 一元二次方程与其它问题的综合应用
【例题3】（2018•重庆）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
【分析】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，根据沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
（2）根据单价=总价÷数量可求出修建每个沼气池的平均费用，进而可求出修建每个垃圾集中点的平均费用，设y=a%结合总价=单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．
【解答】（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，
根据题意得：x≥4（50﹣x），
解得：x≥40．
答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．
（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），
修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．
根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），
设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，
解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，
∴a的值为10．

一、选择题：
1. （2018•临沂）一元二次方程y2﹣y﹣=0配方后可化为（　　）
A．（y+）2=1 B．（y﹣）2=1 C．（y+）2= D．（y﹣）2=
【答案】B
【解答】y2﹣y﹣=0
y2﹣y=
y2﹣y+=1
（y﹣）2=1
故选：B．
2. （2019•湖南怀化•4分）一元二次方程x2+2x+1＝0的解是（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝2
【答案】C
【解答】解：∵x2+2x+1＝0，
∴（x+1）2＝0，
则x+1＝0，
解得x1＝x2＝﹣1，
故选：C．
3. （2019•河北省•2分）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（　　）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解答】解：∵小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝4，解出其中一个根是x＝﹣1，
∴（﹣1）2﹣4+c＝0，
解得：c＝3，
故原方程中c＝5，
则b2﹣4ac＝16﹣4×1×5＝﹣4＜0，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
4. 2019•山东省聊城市•3分）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（　　）
A．k≥0 B． k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
【答案】D
【解答】解：（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0，
∵关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，
∴，
解得：k≥且k≠2．
故选：D．
5. （2018•嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　）

A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【答案】B
【解答】欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，
设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
二、填空题：
6. （2018年四川省南充市）若2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，则m﹣n的值为　﹣　．
【答案】﹣．
【解答】解：∵2n（n≠0）是关于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=﹣．
故答案是：﹣．
7. （2018•黄冈）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为　16 　．
【答案】16．
【解答】解：解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为：16．
8.（2018年四川省内江市）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　1　．
【答案】1
【解答】解：设x+1=t，方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根分别是x3，x4，
∴at2+bt+1=0，
由题意可知：t1=1，t2=2，
∴t1+t2=3，
∴x3+x4+2=3
故答案为：1
9. （2018•黔南州）三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形周长是　13 　．
【答案】13
【解答】x2﹣6x+8=0，
（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x1=2，x2=4，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：13．
三、解答题：
10. 解方程：x2－1＝2(x＋1)．
【解答】　解：方法一(因式分解法)：
(x＋1)(x－1)＝2(x＋1)，
(x＋1)(x－3)＝0.
∴x＋1＝0或x－3＝0.
∴x1＝－1，x2＝3.
方法二(配方法)：
整理，得x2－2x＝3.
配方，得(x－1)2＝4.
两边开平方，得x－1＝±2.
解得x1＝－1，x2＝3.
方法三(公式法)：
整理成一般形式为x2－2x－3＝0.
∵a＝1，b＝－2，c＝－3，
∴Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0.
∴x＝＝1±2.
∴x1＝－1，x2＝3.
11. 已知，一个矩形周长为56厘米．
(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？
(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．
【分析】　(1)设矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据矩形的面积公式列出相应方程求解即可；(2)同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．
【解答】　解：(1)设矩形的长为x厘米，则另一边长为(28－x)厘米，依题意，得
x(28－x)＝180.解得x1＝10(舍去)，x2＝18.
则28－x＝28－18＝10.
答：长为18厘米，宽为10厘米．
(2)不能围成面积为200平方厘米的矩形．
理由：设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，得
x(28－x)＝200，即x2－28x＋200＝0，
则b2－4ac＝282－4×200＝784－800＜0，∴原方程无解．
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
12. （2019·广西贺州·8分）2016年，某贫困户的家庭年人均纯收入为2500元，通过政府产业扶持，发展了养殖业后，到2018年，家庭年人均纯收入达到了3600元．
（1）求该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率；
（2）若年平均增长率保持不变，2019年该贫困户的家庭年人均纯收入是否能达到4200元？
【分析】（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，根据该该贫困户2016年及2018年家庭年人均纯收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其中正值即可得出结论；
（2）根据2019年该贫困户的家庭年人均纯收入＝2018年该贫困户的家庭年人均纯收入
（1+增长率），可求出2019年该贫困户的家庭年人均纯收入，再与4200比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为x，
依题意，得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该贫困户2016年到2018年家庭年人均纯收入的年平均增长率为20%．
（2）3600×（1+20%）＝4320（元），
4320＞4200．
答：2019年该贫困户的家庭年人均纯收入能达到4200元．
13. 已知关于x的方程x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5的值．(要求先化简，再求值)
【解析】：(1)证明：∵Δ＝(2m＋1)2－4m(m＋1)＝1＞0.
∴方程总有两个不相等的实数根．
(2)∵x＝0是此方程的一个根，
∴把x＝0代入方程中得到m(m＋1)＝0.
∴原式＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5
＝3m2＋3m＋5
＝3m(m＋1)＋5
＝5.
14. （2019•四川省广安市•10分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：无论为任何实数，此方程总有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根为、，满足，求的值；
（3）若△的斜边为5，另外两条边的长恰好是方程的两个根、，求的内切圆半径.
【解析】 （1）证明：，
无论为任何实数时，此方程总有两个实数根.
（2）由题意得：，，
，，即，
解得：；
（3）解方程得：，，
根据题意得：，即，
设直角三角形的内切圆半径为，如图，
由切线长定理可得：，
直角三角形的内切圆半径=；

15. (2018·张家口一模)已知n边形的对角线共有条(n是不小于3的整数)；
(1)五边形的对角线共有5条；
(2)若n边形的对角线共有35条，求边数n；
(3)若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n.
【解析】：（1）5
(2)＝35，
整理，得n2－3n－70＝0.
解得n＝10或n＝－7(舍去)．
所以边数n＝10.
(3)根据题意，得－＝9.
解得n＝10.
所以边数n＝10.
16. （2018东营）关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．
（1）求sinA的值；
（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得sinA=；
（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；
当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．
【解答】（1）根据题意得△=25sin2A﹣16=0，
∴sin2A=，
∴sinA=或 ，
∵∠A为锐角，
∴sinA=；
（2）由题意知，方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0有两个实数根，则△≥0，
∴100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，
∴﹣（k﹣2）2≥0，
∴（k﹣2）2≤0，
又∵（k﹣2）2≥0，
∴k=2，
把k=2代入方程，得y2﹣10y+25=0，
解得y1=y2=5，
∴△ABC是等腰三角形，且腰长为5．
分两种情况：
当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=AC=5
∵sinA=，
∴AD=3，BD=4∴DC=2，
∴BC= ．
∴△ABC的周长为10+；
当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，
∵sinA=，
∴A D=DC=3，
∴AC=6．
∴△ABC的周长为16，
综合以上讨论可知：△ABC的周长为10+或16．