第01讲 实数及其有关概念（解析版） 试卷

第01讲　实数及其有关概念

1．实数分类

(1)按实数的定义分类

(2)按正负分类

实数

2．实数的有关概念

(1)数轴：如图，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．

其中实数和数轴上的点一一对应．

(2)相反数：只有符号不相同的两个数互为相反数，即实数a的相反数是_－a___，0的相反数是0；a与b 互为相反数⇔a＋b＝_0_．

(3)绝对值

①定义：数轴上表示数a的点与原点的___距离___叫做数a的绝对值，记作|a|；

②性质：

|a|＝

|a|是一个非负数，即|a|>0.

(4)倒数：实数a的倒数是___，其中a≠0，a，b互为倒数⇔ab＝_1___．

3．科学记数法，近似数

(1)科学记数法

①定义：把数x写成a×10n(1≤|a|＜10，且n为整数)的形式，这种记数方法叫做科学记数法；

②其中a是整数位数只有一位的数，即1≤|a|＜10；

当|x|≥1时，n为正整数，等于数x的整数部分的位数减1；

当|x|＜1时，n为负整数，其绝对值等于数x中非0数字前面所有0的个数(包含小数点前的0)．或将原数变为a时小数点向右平移的位数．

(2)近似数

一个近似数__四舍五入___到哪一位，就说这个数精确到哪一位．

4. 有理数的运算

(1)有理数的加法

①法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加为0；一个数加0，仍得这个数．

②运算律：加法交换律：a＋b＝b＋a；

加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．

(2)有理数的减法

减去一个数等于加上这个数的相反数，即a－b＝a＋(－b)．

(3)有理数的乘法

①法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．

任何数与0相乘，都得0.

②运算律：

a．乘法交换律：ab＝__ba ____．

b．乘法结合律：(ab)c＝a(ac)．

c．乘法分配律：a(b＋c)＝ab＋ac.

(4)有理数的除法

①除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数，即a÷b＝a·.

②两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得0.

(5)有理数运算的顺序

①先乘方，再乘除，最后加减；

②同级运算，从左到右进行；

③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行计算.

考点1：实数的分类

【例题1】（ 甘肃省天水市，1，4分）四个数－3，0，1，π中的负数是（     ）

A．－3    B．0    C．1    D．π

【答案】A

【解答】解：－3是负数；0既不是正数，也不是负数；1和π都是正数．故选择A．

归纳：判断无理数的关键是看其化简后是否可以写成无限不循环小数，掌握常见无理数的四种类型有助于解决此类题目．

考点2：科学记数法

【例题2】（2019•湖南怀化•4分）怀化位于湖南西南部，区域面积约为27600平方公里，将27600用科学记数法表示为（　　）

A．27.6×103 B．2.76×103 C．2.76×104 D．2.76×105

【答案】C

【解析】将27600用科学记数法表示为：2.76×104．故选：C．

考点3： 关于实数的概念考查

【例题3】(2019甘肃省天水市)已知|a|=1，b是2的相反数，则a+b的值为（　　）

A.  B.  C. 或 D. 1或

【答案】C

【解析】∵|a|=1，b是2的相反数，

∴a=1或a=-1，b=-2，

当a=1时，a+b=1-2=-1；

当a=-1时，a+b=-1-2=-3；

综上，a+b的值为-1或-3，

故选：C．

一、选择题：

1. 2019•湖南衡阳•3分）﹣的绝对值是（　　）

A．﹣ B． C．﹣ D．

【答案】B

【解析】解：|﹣|＝，故选：B．

2. （2018古呼和浩特）﹣3﹣（﹣2）的值是（　　）

A．﹣1      B．1     C．5      D．﹣5

【分析】直接利用有理数的减法运算法则计算得出答案．

解析：﹣3﹣（﹣2）=﹣3+2=﹣1．故选：A．

3. （2019▪贵州毕节▪3分）举世瞩目的港珠澳大桥于2018年10月24日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长的跨海大桥，全长约55000米．55000这个数用科学记数法可表示为（　　）

A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104

【答案】D

【解析】解：55000这个数用科学记数法可表示为5.5×104，故选：D．

4. （2019，山东枣庄，3分）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝1，OA＝OB．若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（　　）

A．﹣（a+1） B．﹣（a﹣1） C．a+1 D．a﹣1

【答案】D

【解析】解：∵O为原点，AC＝1，OA＝OB，点C所表示的数为a，

∴点A表示的数为a﹣1，

∴点B表示的数为：﹣（a﹣1），

故选：B．

5.（河北省，11，2分）点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a和b.对于以下结论：

甲：b-a<0；      乙：a+b>0；        丙：|a|<|b|；  丁：.

其中正确的是（    ）

A．甲乙  B．丙丁  C．甲丙  D．乙丁

【答案】C

【解答】解：根据点A，B在数轴上的位置，可假设a=2，b=﹣4，∴b－a=﹣4-2=﹣6＜0，a+b=2+(﹣4)=﹣2＜0，故结论甲正确，结论乙不正确；|a|=|2|=2，|b|=|﹣4|=4，∵2＜4，∴|a|＜|b|，故结论丙正确；＜0，故结论丁不正确.综上可知，答案为选项C.

二、填空题：

6. （2018•邵阳）点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是　﹣2　．

【答案】-2

【解答】解：∵点A在数轴上表示的数是2，

∴点A表示的数的相反数是﹣2．

故答案为：﹣2．

7. （2018•云南）某地举办主题为“不忘初心，牢记使命”的报告会，参加会议的人员3451人，将3451用科学记数法表示为　　．

【答案】3.451×103

【解答】解：3451=3.451×103，

故答案为：3.451×103．

8. (2019甘肃省陇南市)如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，那么点B表示的数是          .

【答案】3

【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，[来源:z^z@step&.com*%]

∴点B表示的数是：3．

三、计算题：

9. 已知2a﹣1的算术平方根是5，a+b﹣2的平方根是±3，c+1的立方根是2，求a+b+c的值．

【解答】：∵2a﹣1的算术平方根是5，

∴2a﹣1=52=25，解得a=13，

∵a+b﹣2的平方根是±3

∴a+b﹣2=（±3）2=9，

∴b=﹣2，

又∵c+1的立方根是2，

∴c+1=23，解得c=7，

∴a+b+c=18．

10. 在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2，BC＝1，如图所示．设点A，B，C所对应数的和是P.

(1)若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；若以C为原点，P又是多少？

(2)若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝28，求P.

解：(1)以B为原点，点A，C分别对应－2，1.2分

P＝－2＋0＋1＝－1；4分

以C为原点，P＝(－1－2)＋(－1)＋0＝－4.6分

(2)P＝(－28－1－2)＋(－28－1)＋(－28)

＝－88.8分

11.利用运算律有时能进行简便计算．

请你参考黑板上老师的讲解，用运算律简便计算：

(1)999×(－15)；

(2)999×118＋999×(－)－999×18.

解：(1)原式＝(1 000－1)×(－15)

＝－15 000＋15

＝－14 985.

(2)原式＝999×[118＋(－)－18]

＝999×100

＝99 900.

四、解答题：

12. (2018·河北预测改编)我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，任意一个实数在数轴上都能找到与之对应的点，比如我们可以在数轴上找到与数字2对应的点．

(1)在如图所示的数轴上，画出一个你喜欢的无理数，并用点A表示；

(2)(1)中所取点A表示的数字是2，相反数是－2，绝对值是2，倒数是，其到点5的距离是5－2；

(3)取原点为O，表示数字1的点为B，将(1)中点A向左平移2个单位长度，再取其关于点B的对称点C，求CO的长．

【解答】　解：(1)如图所示．(答案不唯一)

(3)将点A向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′表示的数字为2－2，其关于点B的对称点为C，

∵点B表示的数字为1，

∴点C表示的数字为2×1－(2－2)＝4－2.

∵2≈2×1.414＝2.828<4，

∴CO＝4－2.

13. (2017·石家庄长安区质量检测)小明早晨跑步，他从自己家出发，向东跑了2 km到达小彬家，继续向东跑了1.5 km到达小红家，然后又向西跑了4.5 km到达学校，最后又向东跑回到自己家．

(1)以小明家为原点，以向东为正方向，用1个单位长度表示1 km，在如图所示的数轴上，分别用点A表示出小彬家、用点B表示出小红家、用点C表示出学校的位置；

(2)求小彬家与学校之间的距离；

(3)如果小明跑步的速度是250 m/min，那么小明跑步一共用了多长时间？

解：(1)如图．

(2)小彬家与学校的距离是2－(－1)＝3(km)．

(3)小明一共跑了2＋1.5＋4.5＋1＝9(km)．

答：小明跑步一共用的时间是9 000÷250＝36(min)．

14. 已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．

（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．

（2）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q可以追上点P？

（3）在数轴上找一点M，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有点M对应的数．（不必说明理由）．

【解答】解：（1）∵a是最大的负整数，∴a=﹣1，

∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，

∴b=3+2=5，

∵c是单项式﹣2xy2的系数，

∴c=﹣2，

（2）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，

∴AB=6，两点速度差为：2﹣，

∴=4，

答：运动4秒后，点Q可以追上点P．

（3）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，

当M在AB之间，则M对应的数是2，

当M在C点左侧，则M对应的数是： .