高中5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）精品同步训练题

这是一份高中5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）精品同步训练题，共3页。试卷主要包含了y＝Asin＋B型的最值问题，可化为y＝f型的值域问题，函数图象平移距离的最小值，ω的最值等内容，欢迎下载使用。

三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变形及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题．


一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题


例1 函数f(x)＝3sin x＋4cs x，x∈[0，π]的值域为________．


答案 [－4,5]


解析 f(x)＝3sin x＋4cs x＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)sin x＋\f(4,5)cs x))


＝5sin(x＋φ)，


其中cs φ＝eq \f(3,5)，sin φ＝eq \f(4,5)，0<φ

∵0≤x≤π，∴φ≤x＋φ≤π＋φ.


∴当x＋φ＝eq \f(π,2)时，f(x)max＝5；


当x＋φ＝π＋φ时，


f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sin φ＝－4.


∴f(x)的值域为[－4,5]．


反思感悟 化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．


二、可化为y＝f(sin x)型的值域问题


例2 函数y＝cs 2x＋2sin x的最大值为( )


A.eq \f(3,4) B．1 C.eq \f(3,2) D．2


答案 C


解析 y＝cs 2x＋2sin x＝－2sin2x＋2sin x＋1.


设t＝sin x，则－1≤t≤1，


所以原函数可以化为


y＝－2t2＋2t＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(3,2)，


所以当t＝eq \f(1,2)时，函数y取得最大值为eq \f(3,2).故选C.


反思感悟 可化为y＝f(sin x)型三角函数的最值或值域可通过换元法转为其他函数的最值或值域．


三、含sin x±cs x，sin xcs x的最值问题


例3 求函数y＝sin x＋cs x＋sin xcs x的值域．


解 令t＝sin x＋cs x，则有


t2＝1＋2sin xcs x，即sin xcs x＝eq \f(t2－1,2).


∴y＝f(t)＝t＋eq \f(t2－1,2)＝eq \f(1,2)(t＋1)2－1.


又t＝sin x＋cs x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，


∴－eq \r(2)≤t≤eq \r(2).


故y＝f(t)＝eq \f(1,2)(t＋1)2－1(－eq \r(2)≤t≤eq \r(2))．


从而知f(－1)≤y≤f(eq \r(2))，即－1≤y≤eq \r(2)＋eq \f(1,2).


则函数的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\r(2)＋\f(1,2))).


反思感悟 通常采用换元的方法，令sin x±cs x＝t，将sin xcs x转化为关于t的解析式，利用二次函数求最值，但要注意换元后变量的取值范围．


四、函数图象平移距离的最小值


例4 将函数f(x)＝sin 4x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，得到了一个偶函数的图象，则φ的最小值为( )


A.eq \f(π,16) B.eq \f(π,12) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,4)


答案 D


解析 伸长后得y＝sin 2x，平移后得y＝sin 2(x＋φ)＝sin(2x＋2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)(k∈Z)，取k＝0，得φ的最小值为eq \f(π,4).故选D.


反思感悟 函数图象平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图象平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值．


五、ω的最值


例5 已知函数f(x)＝eq \r(2)sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝1，当φ＝eq \f(π,4)ω时f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)，－\f(3π,16)))上单调递增，求ω的最大值和最小值之和．


解 函数f(x)＝eq \r(2)sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝±eq \r(2)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,8)))＝1.


当eq \f(π,2)－eq \f(3,8)π＝eq \f(T,8)时，T取最大值．此时ω最小，ωmin＝2.


当φ＝eq \f(π,4)ω时，f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)ω))＝eq \r(2)sin ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，


函数f(x)＝eq \r(2)sin ωeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))的图象向右平移eq \f(π,4)个单位长度得函数g(x)＝eq \r(2)sin ωx的图象，问题等价于函数g(x)＝eq \r(2)sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,16)))上单调递增，


故只要eq \f(1,2)×eq \f(2π,ω)≥2×eq \f(π,8)，即ω≤4.


综上可知2≤ω≤4，故ω的最大值和最小值之和为6.


反思感悟 根据已知的函数性质，确定ω满足的条件求得其最值或者取值范围．