数学必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀同步达标检测题

这是一份数学必修 第一册5.5 三角恒等变换优秀同步达标检测题，共7页。试卷主要包含了5)等内容，欢迎下载使用。




1．sin 162°cs 78°＋cs 162°sin 78°化简得( )


A．－eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(1,2)


答案 C


解析 sin 162°cs 78°＋cs 162°sin 78°＝sin(162°＋78°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－eq \f(\r(3),2).


2．函数y＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－1是( )


A．最小正周期为π的偶函数


B．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数


C．最小正周期为π的奇函数


D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数


答案 C


解析 y＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))－1＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝－sin 2x，显然是奇函数，周期为π.


3．已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且tan α，tan β是方程x2＋3eq \r(3)x＋4＝0的两个根，则α＋β的值为( )


A.eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3) B．－eq \f(2π,3)


C．－eq \f(π,3)或eq \f(2π,3) D．－eq \f(π,3)


答案 B


解析 由题意可得tan α＋tan β＝－3eq \r(3)，tan αtan β＝4；


所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－3\r(3),1－4)＝eq \r(3)；


因为α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，tan α＋tan β＝－3eq \r(3)<0，tan αtan β＝4>0，


所以α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以α＋β∈(－π，0)．


因为tan(α＋β)＝eq \r(3)，所以α＋β＝－eq \f(2π,3).


4．已知函数f(x)＝f(π－x)，且当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，f(x)＝x＋sin x．设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( )


A．a

C．c

答案 D


解析 由已知函数f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上是增函数．


因为π－2∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，π－3∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，π－3<1<π－2，


所以f(π－3)

即f(3)

5．“α＋β＝eq \f(π,4)”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不充分又不必要条件


答案 D


解析 由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得1＋tan α＋tan β＋tan αtan β＝2，


即tan α＋tan β＝1－tan αtan β，


∴tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(1－tan α·tan β,1－tan α·tan β)＝1，


∴α＋β＝eq \f(π,4)＋kπ(k∈Z)，不一定有“α＋β＝eq \f(π,4)”；


反之，“α＋β＝eq \f(π,4)”不一定有“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”，


如α＝eq \f(π,2)，β＝－eq \f(π,4)，此时tan α无意义；


∴“α＋β＝eq \f(π,4)”是“(1＋tan α)(1＋tan β)＝2”的既不充分又不必要条件．


6．已知cs α＝－eq \f(2,3)且π<α

答案 eq \f(\r(30),6)


解析 已知cs α＝－eq \f(2,3)且π<α

根据二倍角公式得到cs α＝1－2sin2eq \f(α,2)⇒sin2eq \f(α,2)＝eq \f(5,6)，


因为π<α0，


故得到sin eq \f(α,2)＝eq \f(\r(30),6).


7．已知sin α－3cs α＝0，则sin 2α＝________.


答案 eq \f(3,5)


解析 由题意可得sin α＝3cs α，


所以sin2α＋cs2α＝(3cs α)2＋cs2α＝1，


所以cs2α＝eq \f(1,10)，


所以sin 2α＝2sin αcs α＝6cs2α＝eq \f(3,5).


8．若方程sin x－eq \r(3)cs x＝c有实数解，则c的取值范围是________．


答案 [－2,2]


解析 关于x的方程sin x－eq \r(3)cs x＝c有解，


即c＝sin x－eq \r(3)cs x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))有解，


由于x为实数，则2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))∈[－2,2]，


故有－2≤c≤2.


9．已知α，β为锐角，cs α＝eq \f(3,5)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).


(1)求sin 2α的值；


(2)求tan(α－β)的值．


解 (1)已知α，β为锐角，cs α＝eq \f(3,5)，所以sin α＝eq \f(4,5)，


则sin 2α＝2sin αcs α＝2×eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＝eq \f(24,25).


(2)由于α，β为锐角，则0<α＋β<π，


又cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)⇒sin(α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，


由(1)知tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝eq \f(4,3)，


所以cs β＝cs[(α＋β)－α]＝cs(α＋β)cs α＋sin(α＋β)sin α＝－eq \f(\r(5),5)×eq \f(3,5)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(4,5)＝eq \f(\r(5),5)，


则tan β＝2，故tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)＝eq \f(\f(4,3)－2,1＋\f(4,3)×2)＝－eq \f(2,11).


10．已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)2＋2cs2x－1.


(1)求f(x)的最小正周期；


(2)求f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的单调区间．


解 由已知得，f(x)＝sin 2x＋cs 2x＋1


＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋1.


(1)函数的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.


(2)由2kπ－eq \f(π,2)≤2x＋eq \f(π,4)≤2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)得，


kπ－eq \f(3π,8)≤x≤kπ＋eq \f(π,8)(k∈Z)，


又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴ x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,8)))，


∴f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,8)))，


同理可求f(x)的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，\f(π,2))).





11．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))等于( )


A．－eq \f(7,9) B.eq \f(7,9) C.eq \f(2\r(2),3) D．－eq \f(2\r(2),3)


答案 A


解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(1,3)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(π,2)，


所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(1,3)；


cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－2x))＝cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))－1＝－eq \f(7,9).


12．函数y＝2sin xcs x－eq \r(3)cs 2x的单调增区间是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(5π,12)，kπ＋\f(π,12)))(k∈Z)


B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,6)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)


D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)


答案 D


解析 y＝2sin xcs x－eq \r(3)cs 2x＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，


由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)得，


kπ－eq \f(π,12)≤x≤kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，


∴函数的单调增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)．


13.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为225，小正方形的面积为9，直角三角形较小的锐角为α，则sin 2α等于( )





A.eq \f(1,25) B.eq \f(7,25) C.eq \f(12,25) D.eq \f(24,25)


答案 D


解析 ∵大正方形的面积为225，小正方形的面积为9，


∴大正方形的边长为15，小正方形的边长为3.


设四个全等的直角三角形的长直角边为x，则短直角边为x－3.


由勾股定理得x2＋(x－3)2＝152，解得x＝12(舍负)，


α为直角三角形较小的锐角，所以sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5)，


∴sin 2α＝2sin αcs α＝eq \f(24,25).


14．函数f(x)＝cs2x－sin2x＋2sin xcs x的最小正周期为________，单调递减区间是________________．


答案 π eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)


解析 由题意得，f(x)＝cs2x－sin2x＋2sin xcs x


＝cs 2x＋sin 2x＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，


∴最小正周期T＝eq \f(2π,ω)＝π，


由2kπ＋eq \f(π,2)<2x＋eq \f(π,4)<2kπ＋eq \f(3π,2)(k∈Z) 得，


kπ＋eq \f(π,8)

∴函数f(x)的单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))(k∈Z)．





15．函数f(x)＝sin 2x－eq \r(3)cs 2x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的零点之和是( )


A．－eq \f(π,3) B．－eq \f(π,6) C.eq \f(π,6) D.eq \f(π,3)


答案 B


解析 由题意得f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，


令f(x)＝0，解得2x－eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，


即x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)，


所以f(x)的零点为x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,6)(k∈Z)．


又x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，


令k＝－1，则x＝－eq \f(π,3)，


令k＝0，则x＝eq \f(π,6)，


所以在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的零点之和为－eq \f(π,3)＋eq \f(π,6)＝－eq \f(π,6).


16．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：


①sin213°＋cs217°－sin 13°cs 17°；


②sin215°＋cs215°－sin 15°cs 15°；


③sin218°＋cs212°－sin 18°cs 12°；


④sin2(－18°)＋cs248°－sin(－18°)cs 48°；


⑤sin2(－25°)＋cs255°－sin(－25°)cs 55°.


(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；


(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为一三角恒等式sin2α＋cs2(30°－α)－sin αcs(30°－α)＝______，并证明你的结论．


(参考公式：sin(α±β)＝sin αcs β±cs αsin β，


cs(α±β)＝cs αcs β∓sin αsin β，


sin 2α＝2sin αcs α，


cs 2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α)


解 (1)选择②式：sin215°＋cs215°－sin 15°cs 15°＝1－eq \f(1,2)sin 30°＝eq \f(3,4)，


所以该常数为eq \f(3,4).


(2)三角恒等式为sin2α＋cs2(30°－α)－sin αcs(30°－α)＝eq \f(3,4)，


证明如下：


sin2α＋cs2(30°－α)－sin αcs(30°－α)


＝sin2α＋(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)2－sin α(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)


＝sin2α＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs α＋\f(1,2)sin α))2－sin αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs α＋\f(1,2)sin α))


＝sin2α＋eq \f(3,4)cs2α－eq \f(1,4)sin2α


＝eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(3,4)cs2α＝eq \f(3,4).