高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试优秀同步训练题

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1．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，则下列结论错误的是( )


A．f(x)的最小正周期为π


B．f(x)的图象关于直线x＝eq \f(8π,3)对称


C．f(x)的一个零点为eq \f(π,6)


D．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递减


答案 B


解析 函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，周期为T＝eq \f(2π,2)＝π，故A正确；令2x＋eq \f(2π,3)＝eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z⇒对称轴为x＝－eq \f(π,12)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，x＝eq \f(8π,3)不是对称轴，故B不正确；令2x＋eq \f(2π,3)＝kπ，k∈Z⇒函数零点为x＝－eq \f(π,3)＋eq \f(kπ,2)，k∈Z，当k＝1时，得到一个零点为eq \f(π,6)；由2x＋eq \f(2π,3)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ))，k∈Z，得单调递减区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)＋kπ，\f(5,12)π＋kπ))，k∈Z，区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))是其中的一个子区间，故D正确．故选B.


2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(eq \r(3)≈1.73)( )





A．6平方米 B．9平方米 C．12平方米 D．15平方米


答案 B


解析 如图，由题意可得∠AOB＝eq \f(2π,3)，OA＝4，在Rt△AOD中，





可得∠AOD＝eq \f(π,3)，∠DAO＝eq \f(π,6)，


OD＝eq \f(1,2)AO＝eq \f(1,2)×4＝2，


可得矢＝4－2＝2，


由AD＝AO·sineq \f(π,3)＝4×eq \f(\r(3),2)＝2eq \r(3)，


可得弦＝2AD＝2×2eq \r(3)＝4eq \r(3)，


所以弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)＝eq \f(1,2)(4eq \r(3)×2＋22)＝4eq \r(3)＋2≈9平方米．


故选B.


3．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin α＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值为( )


A.eq \f(2\r(3),5) B．－eq \f(2\r(3),5) C.eq \f(4,5) D．－eq \f(4,5)


答案 D


解析 ∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sin α＝eq \f(4\r(3),5)，


∴eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(3,2)sin α＝eq \f(4\r(3),5)，eq \f(1,2)cs α－eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(4,5)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)sin α－eq \f(1,2)cs α＝－eq \f(4,5).


故选D.


4．函数f(x)＝sin x·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))的图象的一条对称轴方程是( )


A．x＝eq \f(π,12) B．x＝eq \f(π,6) C．x＝eq \f(π,4) D．x＝eq \f(π,3)


答案 B


解析 f(x)＝sin x·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))


＝sin x·eq \f(\r(3),2)cs x－eq \f(1,2)sin2x


＝eq \f(\r(3),4)sin 2x－eq \f(1－cs 2x,4)


＝eq \f(\r(3),4)sin 2x＋eq \f(1,4)cs 2x－eq \f(1,4)


＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－eq \f(1,4)，


∴f(x)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))－eq \f(1,4)，


令2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，


解得x＝eq \f(π,6)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)，k＝0时，x＝eq \f(π,6)，


故选B.


5．已知函数f(x)＝2eq \r(3)sin xcs x＋2cs2x＋1，则( )


A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3


B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4


C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3


D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4


答案 B


解析 ∵f(x)＝2eq \r(3)sin xcs x＋2cs2x＋1


＝eq \r(3)sin 2x＋cs 2x＋2＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋2，


∴最大值为4，T＝eq \f(2π,2)＝π.


故选B.


6．若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,2)))＝eq \f(1,3)，则cs 2x＝________.


答案 －eq \f(7,9)


解析 由诱导公式得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(3π,2)))＝－cs x＝eq \f(1,3)，


故cs x＝－eq \f(1,3).


由二倍角公式得cs 2x＝2cs2x－1＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9).


7．函数f(x)＝sin x＋eq \r(3)cs x在[0，π]上的单调递减区间为________．


答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π))


解析 由题意得f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))，


由2kπ＋eq \f(π,2)≤x＋eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，


得2kπ＋eq \f(π,6)≤x≤2kπ＋eq \f(7π,6)，k∈Z，


令k＝0得eq \f(π,6)≤x≤eq \f(7π,6)，


因为x∈[0，π]，所以函数的单调递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，π)).


8．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中A>0，|φ|<\f(π,2)))的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x的图象，只需将f(x)的图象向右平移________个单位长度．





答案 eq \f(π,12)


解析 ∵只与平移有关，没有改变函数图象的形状，


∴ω＝3，


又函数的图象在减区间内与x轴的交点是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))，


∴3×eq \f(π,4)＋φ＝π＋2kπ，k∈Z.


又|φ|

于是φ＝eq \f(π,4)，则f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(π,4)))，


故g(x)＝sin 3x＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))＋\f(π,4)))，


∴函数f(x)的图象要向右平移eq \f(π,12)个单位长度．


9．已知函数f(x)＝4cs xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋1，


(1)求f(x)的单调递增区间；


(2)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))上的最大值和最小值．


解 (1)f(x)＝4cs xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋1


＝4cs xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin x－\f(1,2)cs x))＋1


＝2eq \r(3)sin xcs x－2cs2x＋1


＝eq \r(3)sin 2x－cs 2x


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，


令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，


解得－eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z，


故函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋kπ，\f(π,3)＋kπ))，k∈Z.


(2)因为－eq \f(π,12)≤x≤eq \f(5π,12)，所以－eq \f(π,3)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(2π,3)，


当2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,3)时，f(x)max＝2，


当2x－eq \f(π,6)＝－eq \f(π,3)，即x＝－eq \f(π,12)时，f(x)min＝－eq \r(3).


10．己知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－x))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6))).


(1)求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值；


(2)将f(x)的图象上所有点向左平移m(m>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象，若y＝g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))对称，求当m取最小值时，函数y＝g(x)的单调递增区间．


解 (1)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋\f(π,6)))＝cs eq \f(π,6)cs eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),4).


(2)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3))).


将y＝f(x)向左平移m(m>0)个单位长度，


得到y＝g(x)＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)＋2m)).


∵y＝g(x)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))对称，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋\f(π,3)＋2m))＝0，


∴eq \f(2π,3)＋2m＝kπ，k∈Z，∴m＝eq \f(k,2)π－eq \f(π,3)，k∈Z，


∵m>0，∴当k＝1时，m有最小值eq \f(π,6).


由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(2π,3)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(7π,12)＋kπ，－\f(π,12)＋kπ))，k∈Z.


∴函数的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(7π,12)＋kπ，－\f(π,12)＋kπ))，k∈Z.





11．函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的图象在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为( )


A．[2π，4π] B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π，\f(9π,2)))


C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,6)，\f(25π,6))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π，\f(25π,6)))


答案 C


解析 由题意得ω＋eq \f(π,3)≥eq \f(5π,2)，ω＋eq \f(π,3)

12．设ω>0，函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))－1的图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是( )


A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,2) D．3


答案 D


解析 ∵图象向左平移eq \f(2π,3)个单位长度后与原图象重合，


∴eq \f(2π,3)是整数个周期，


∴eq \f(2π,3)＝kT＝k·eq \f(2π,ω)，k∈N*，


∴ω＝3k，k∈N*，


又ω>0，


∴ω的最小值是3，故选D.


13．若函数y＝2cs ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上单调递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )


A．2 B.eq \f(1,2) C．3 D.eq \f(1,3)


答案 B


解析 由y＝2cs ωx在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2π,3)))上是单调递减的，且有最小值1，则有f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)))＝1，


即2×cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω×\f(2π,3)))＝1，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)ω))＝eq \f(1,2)，检验各选项，得出B项符合．故选B.


14．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期是4π，则ω＝________，若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝eq \f(3,5)，则cs θ＝________.


答案 eq \f(1,2) －eq \f(7,25)


解析 ∵函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))(ω>0)的最小正周期是eq \f(2π,ω)＝4π，则ω＝eq \f(1,2)，f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,3)))；


若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)θ＋\f(π,2)))＝cs eq \f(θ,2)＝eq \f(3,5)，


则cs θ＝2cs2eq \f(θ,2)－1＝－eq \f(7,25).





15．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋cs2x－lg2|x|－eq \f(1,2)的零点个数为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


答案 B


解析 由已知f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))＋cs2x－lg2|x|－eq \f(1,2)


＝eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1＋cs 2x,2)－lg2|x|－eq \f(1,2)


＝cs 2x－lg2|x|，


令f(x)＝0，即cs 2x＝lg2|x|，


在同一坐标系中画出函数y＝cs 2x和y＝lg2|x|的图象，


如图所示，两个函数图象有两个不同的交点，





所以函数f(x)的零点个数为2，故选B.


16．已知函数f(x)＝cs xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin x－cs x))＋m(m∈R)，将y＝f(x)的图象向左平移eq \f(π,6)个单位长度后得到g(x)的图象，且y＝g(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))内的最小值为eq \f(\r(3),2).


(1)求m的值；


(2)在锐角三角形ABC中，若geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C,2)))＝－eq \f(1,2)＋eq \r(3)，求sin A＋cs B的取值范围．


解 (1)∵f(x)＝cs x(eq \r(3)sin x－cs x)＋m


＝eq \f(\r(3),2)sin 2x－eq \f(1,2)cs 2x＋m－eq \f(1,2)


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋m－eq \f(1,2).


∴g(x)＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＋m－eq \f(1,2)


＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋m－eq \f(1,2).


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))，则2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(5π,6))).


当2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(5π,6)时，g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))上取得最小值eq \f(1,2)＋m－eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3),2)，


解得m＝eq \f(\r(3),2).


(2)∵geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C,2)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))＋eq \f(\r(3),2)－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)＋eq \r(3)，


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(C＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)，


∵C∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则C＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，


∴C＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,3)，即C＝eq \f(π,6).


∴sin A＋cs B＝sin A＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－A))


＝sin A－eq \f(\r(3),2)cs A＋eq \f(1,2)sin A＝eq \f(3,2)sin A－eq \f(\r(3),2)cs A


＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A－\f(π,6))).


∵△ABC是锐角三角形，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0

∴A－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))，


∴eq \f(1,2)

即eq \f(\r(3),2)

∴sin A＋cs B的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).