高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数精品测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数精品测试题，共3页。试卷主要包含了判断复合函数的单调性，已知复合函数单调性求参数范围，求复合函数的值域，求复合函数的最值，与复合函数有关的不等式问题，判断复合函数的奇偶性等内容，欢迎下载使用。

指数函数、对数函数有关的复合函数，主要是指数函数、对数函数与一次函数、二次函数复合成的新函数，求新函数的单调性、奇偶性、最值、值域等问题，一般采用换元思想，把复杂的复合函数化成简单的初等函数．


一、判断复合函数的单调性


例1 (1)函数的单调增区间为________．


答案 (－∞，1)


解析 令t＝x2－2x－1，


所以函数t＝x2－2x－1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．


又y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t是R上的减函数，


故在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．


(2)已知函数f(x)＝lga(a－ax)(a>1)，判断并证明f(x)的单调性．


解 f(x)在(－∞，1)上为减函数，证明如下：


由f(x)＝lga(a－ax)(a>1)，


得a－ax>0，即x<1.


所以f(x)的定义域为(－∞，1)．


任取1>x1>x2，因为a>1，


所以


所以


所以


即f(x1)

故f(x)在(－∞，1)上为减函数．


反思感悟 形如y＝lgaf(x)的函数单调性判断：首先要求定义域，当a>1时，y＝lgaf(x)的单调性与y＝f(x)的单调性保持一致，当0

二、已知复合函数单调性求参数范围


例2 已知函数在区间(－∞，eq \r(2))上是增函数，求实数a的取值范围．


考点 对数函数的单调性


题点 由对数型复合函数的单调性求参数的取值范围


解 令g(x)＝x2－ax＋a，g(x)在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(a,2)))上是减函数，∵0

∴只要g(x)在(－∞，eq \r(2))上单调递减，且g(x)>0在x∈(－∞，eq \r(2))上恒成立，


即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\r(2)≤\f(a,2)，,g\r(2)＝\r(2)2－\r(2)a＋a≥0，))


∴2eq \r(2)≤a≤2(eq \r(2)＋1)，


故所求a的取值范围是[2eq \r(2)，2eq \r(2)＋2]．


三、求复合函数的值域


例3 求下列函数的值域：


(1)


(2)


解 (1)∵1－x2≤1，∴≤21＝2，∴0

故的值域为(0,2]．


(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.


∵u>0，∴0

又在(0,4]上为减函数，


∴


∴的值域为[－2，＋∞)．


四、求复合函数的最值


例4 求函数在区间[2,4]上的最大值和最小值．


解 因为2≤x≤4，所以


即－1≥≥－2.


设，则－2≤t≤－1.


所以y＝t2－eq \f(1,2)t＋5，其图象的对称轴为直线t＝eq \f(1,4)，


所以当t＝－2时，ymax＝10；


当t＝－1时，ymin＝eq \f(13,2).


五、与复合函数有关的不等式问题


例5 已知x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，求实数m的取值范围．


解 原不等式变形为m2－m

因为函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在(－∞，－1]上是减函数．


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝2，


当x∈(－∞，－1]时，m2－m

结合f(m)＝m2－m－2的图象解得－1

故实数m的取值范围为(－1,2)．


六、判断复合函数的奇偶性


例6 函数f(x)＝lg(eq \r(1＋x2)－x)，判断f(x)的奇偶性．


解 因为|x|≥x，所以eq \r(1＋x2)>eq \r(x2)＝|x|≥x，


所以eq \r(1＋x2)－x>0，


所以f(x)的定义域为R，


又f(－x)＋f(x)＝lg(eq \r(1＋x2)＋x)＋lg(eq \r(1＋x2)－x)


＝lg[(eq \r(1＋x2)＋x)(eq \r(1＋x2)－x)]


＝lg(1＋x2－x2)


＝lg 1＝0，


所以f(－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．