高中人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数本章综合与测试精品达标测试

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1．函数y＝的定义域是( )


A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，2)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，2))


C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))


答案 D


解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－2>0，,lg4x－2≥0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x－2>0，,4x－2≤1，))


解得eq \f(1,2)

则函数的定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4))).


2．已知a>1，b<－1，则函数y＝lga(x－b)的图象不经过( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


答案 D


解析 因为a>1，所以函数y＝lga(x－b)(b<－1)的图象就是把函数y＝lgax的图象向左平移|b|个单位长度，而|b|>1，所以可得草图如图．





由图可知函数y＝lga(x－b)不经过第四象限，所以选D.


3．设a＝lg54，b＝lg53，c＝lg45，则( )


A．a

C．a

答案 D


解析 y＝lg5x在(0，＋∞)上单调递增，


所以lg53

又y＝lg4x在(0，＋∞)上单调递增，


所以c＝lg45>lg44＝1，所以c>1，所以b

4．函数f(x)＝lga|x|＋1(a>1)的图象大致为( )





答案 C


解析 函数f(x)＝lga|x|＋1(a>1)是偶函数，


∴f(x)的图象关于y轴对称，当x>0时，f(x)＝lgax＋1是增函数；


当x<0时，f(x)＝lga(－x)＋1是减函数，


又图象过(1,1)，(－1,1)两点，结合选项可知选C.


5．若lga(a2＋1)

A．(0,1) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))


C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) D．(0,1)∪(1，＋∞)


答案 C


解析 ∵a2＋1>1，lga(a2＋1)<0，∴0

又lga(a2＋1)

∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a>1，,a2＋1>2a，))故a>eq \f(1,2)，且a≠1，即eq \f(1,2)

6．若01，则lgx4________lgy4.(填“>”“＝”或“<”)


答案 <


解析 因为0

因为y>1，所以lgy4>0，


所以lgx4

7．函数f(x)＝lg2(－x2＋2eq \r(2))的值域为________．


答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2)))


解析 由题意知0<－x2＋2eq \r(2)≤2eq \r(2)＝，结合对数函数图象，知f(x)∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))).


8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤0，,lg3x，x>0，))若f(a)＝eq \f(1,2)，则a＝________.


答案 －1或eq \r(3)


解析 当a>0时，由f(a)＝eq \f(1,2)，得lg3a＝eq \f(1,2).


∴a＝＝eq \r(3).


当a≤0时，由f(a)＝eq \f(1,2)，得2a＝eq \f(1,2)，


∴a＝－1，


综上所述，a的值为－1或eq \r(3).


9．已知1≤x≤4，求函数f(x)＝lg2eq \f(x,4)·lg2eq \f(x,2)的最大值与最小值．


考点 对数函数的值域


题点 对数函数的值域


解 ∵f(x)＝lg2eq \f(x,4)·lg2eq \f(x,2)


＝(lg2x－2)(lg2x－1)


＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg2x－\f(3,2)))2－eq \f(1,4)，


又∵1≤x≤4，∴0≤lg2x≤2，


∴当lg2x＝eq \f(3,2)，即x＝＝2eq \r(2)时，f(x)取得最小值－eq \f(1,4)；


当lg2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值2.


∴函数f(x)的最大值是2，最小值是－eq \f(1,4).


10．已知f(x)＝lg4(4x－1)．


(1)求f(x)的定义域；


(2)讨论f(x)的单调性；


(3)求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域．


解 (1)由4x－1>0，解得x>0，


因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．


(2)设0

因此lg4(－1)

即f(x1)

故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．


(3)因为f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上单调递增，


又f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，f(2)＝lg415，


因此f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))上的值域为[0，lg415]．











11．如图所示，已知0




答案 C


解析 当01，函数y＝a－x在R上是增函数；


y＝lga(－x)的图象与y＝lgax的图象关于y轴对称，


所以y＝lga(－x)在y轴左侧，且为增函数，故选C.


12．若函数f(x)＝lg2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )


A．(－∞，4)


B．(－4,4]


C．(－∞，4)∪[2，＋∞)


D．[－4,4)


答案 D


解析 由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上递减，则eq \f(a,2)≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)，故选D.


13．函数f(x)＝|lg3x|在区间[a，b]上的值域为[0,1]，则b－a的最小值为________．


考点 对数函数的图象


题点 指数、对数函数图象的应用


答案 eq \f(2,3)


解析 由题意可知求b－a的最小值即求区间[a，b]的长度的最小值，当f(x)＝0时，x＝1，当f(x)＝1时，x＝3或eq \f(1,3)，所以区间[a，b]的最短长度为1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，


所以b－a的最小值为eq \f(2,3).


14．已知函数f(x)＝|lg x|，若0

答案 4


解析 因为f(a)＝f(b)，且0







15．(2019·全国Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则( )


A．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4)))>>B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4)))>>


C．>>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4)))D．>>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4)))


答案 C


解析 根据函数f(x)为偶函数可知，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4)))＝f(－lg34)＝f(lg34)，因为0<< <20>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg3\f(1,4))).


16．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，求不等式f(lgax)>0(a>0且a≠1)的解集．


解 因为f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝0，


所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，


f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝0，


则有lgax>eq \f(1,2)或lgax<－eq \f(1,2).


(1)当a>1时，lgax>eq \f(1,2)或lgax<－eq \f(1,2)，


可得x>eq \r(a)或0

(2)当0eq \f(1,2)或lgax<－eq \f(1,2)，


可得0eq \f(\r(a),a).


综上可知，当a>1时，


f(lgax)>0的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(a),a)))∪(eq \r(a)，＋∞)；


当0

f(lgax)>0的解集为(0，eq \r(a))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(a),a)，＋∞)).