人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制优秀学案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制优秀学案设计，共10页。学案主要包含了弧度制的概念，角度制与弧度制的互化，与扇形的弧长等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．








知识点一 度量角的两种单位制


1．角度制：


(1)定义：用度作为单位来度量角的单位制．


(2)1度的角：周角的eq \f(1,360).


2．弧度制：


(1)定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．


(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．


知识点二 弧度数的计算





思考 比值eq \f(l,r)与所取的圆的半径大小是否有关？


答案 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．


知识点三 角度与弧度的互化











知识点四 弧度制下的弧长与扇形面积公式


设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则


(1)弧长公式：l＝αR.


(2)扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2.


思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？


答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．


预习小测 自我检验


1．18°＝________ rad.


答案 eq \f(π,10)


2.eq \f(3,10)π＝________.


答案 54°


3．若α＝eq \f(π,4)，则α是第________象限角．


答案 一


4．圆心角为eq \f(π,3)弧度，半径为6的扇形的面积为________．


答案 6π


解析 扇形的面积为eq \f(1,2)×62×eq \f(π,3)＝6π.





一、弧度制的概念


例1 下列说法正确的是( )


A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径


B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大


C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等


D．用弧度表示的角都是正角


考点 弧度制


题点 弧度制定义


答案 A


解析 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．


反思感悟 对弧度制定义的三点说明


(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．


(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2 rad可简写为2.


(3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的．


跟踪训练1 下列各说法中，错误的是( )


A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位


B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角


C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度


D．不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关


答案 D


解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，其他A，B，C正确．


二、角度制与弧度制的互化


例2 把下列角度化成弧度或弧度化成角度：


(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－eq \f(2π,9).


解 (1)72°＝72×eq \f(π,180)＝eq \f(2π,5)；


(2)－300°＝－300×eq \f(π,180)＝－eq \f(5π,3)；


(3)2＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(360,π)))°；


(4)－eq \f(2π,9)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,9)×\f(180,π)))°＝－40°.


反思感悟 角度与弧度互化技巧


在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq \f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数．


跟踪训练2 已知α＝15°，β＝eq \f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq \f(7π,12)，试比较α，β，γ，θ，φ的大小．


解 α<β<γ<θ＝φ.


三、与扇形的弧长、面积有关的计算


例3 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．


解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，


依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＋2R＝10，①,\f(1,2)lR＝4. ②))


①代入②得R2－5R＋4＝0，解之得R1＝1，R2＝4.


当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去．


当R＝4时，l＝2，此时，θ＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)(rad)．


综上可知，扇形圆心角的弧度数为eq \f(1,2) rad.


延伸探究


1．已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积．


解 设扇形弧长为l，因为圆心角72°＝72×eq \f(π,180)＝eq \f(2π,5) rad，


所以扇形弧长l＝|α|·r＝eq \f(2π,5)×20＝8π，


于是，扇形的面积S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)×8π×20＝80π.


2．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？


解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，


则l＋2r＝4，所以l＝4－2req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,1＋π)

所以S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)×(4－2r)×r＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，


所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，


因此，θ＝eq \f(l,r)＝eq \f(4－2×1,1)＝2(rad)．


反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略


(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．


(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．


跟踪训练3 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．


解 已知扇形的圆心角α＝60°＝eq \f(π,3)，半径r＝10 cm，


则弧长l＝α·r＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)(cm)，


于是面积S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×eq \f(10π,3)×10＝eq \f(50π,3)(cm2)．





1．下列说法中，错误的是( )


A．半圆所对的圆心角是π rad


B．周角的大小等于2π


C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径


D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度


答案 D


解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．


2．若α＝－2 rad，则α的终边在( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限 D．第四象限


答案 C


3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )


A.eq \f(14,3)π B．－eq \f(14,3)π


C.eq \f(7,18) π D．－eq \f(7,18)π


答案 B


解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了eq \f(7,3)周，转过的弧度为－eq \f(7,3)×2π＝－eq \f(14,3)π.


4．在半径为10的圆中，eq \f(4π,3)的圆心角所对弧长为( )


A.eq \f(40π,3) B.eq \f(20π,3) C.eq \f(200π,3) D.eq \f(400π,3)


答案 A


解析 由于r＝10，α＝eq \f(4π,3)，所以弧长l＝r·α＝eq \f(40π,3).


5．周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为________．


答案 eq \f(9,2)


解析 由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋l＝9，,l＝r，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝3，,l＝3，))


所以S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(9,2).





1．知识清单：


(1)弧度制的概念．


(2)弧度与角度的相互转化．


(3)扇形的弧长与面积的计算．


2．方法归纳：消元法解方程组．


3．常见误区：弧度与角度混用．








1．－120°化为弧度为( )


A．－eq \f(5,6)π B．－eq \f(π,2) C．－eq \f(2,3)π D．－eq \f(3,4)π


答案 C


解析 由于1°＝eq \f(π,180) rad，


所以－120°＝－120×eq \f(π,180)＝－eq \f(2π,3)，故选C.


2．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )


A．扇形的面积不变


B．扇形的圆心角不变


C．扇形的面积增大到原来的2倍


D．扇形的圆心角增大到原来的2倍


答案 B


解析 ∵l＝|α|R，∴|α|＝eq \f(l,R).


当R，l均变为原来的2倍时，|α|不变．


而S＝eq \f(1,2)|α|R2中，∵α不变，∴S变为原来的4倍．


3．用弧度制表示终边与150°角相同的角的集合为( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝－\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))


B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(5π,6)＋k·360°，k∈Z))))


C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z))))


D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z))))


答案 D


解析 150°＝150×eq \f(π,180)＝eq \f(5π,6)，故终边与角150°相同的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(β＝\f(5π,6)＋2kπ，k∈Z)))).故选D.


4．圆的半径为r，该圆上长为eq \f(3,2)r的弧所对的圆心角是( )


A.eq \f(2,3) rad B.eq \f(3,2) rad C.eq \f(2,3)π D.eq \f(3,2)π


答案 B


解析 由弧度数公式α＝eq \f(l,r)，得α＝eq \f(\f(3,2)r,r)＝eq \f(3,2)，


因此圆弧所对的圆心角是eq \f(3,2) rad.


5．集合eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,4)≤α≤kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))中角所表示的范围(阴影部分)是( )





答案 C


解析 k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．故选C.


6.eq \f(π,12) rad＝________度，________ rad＝－480°.


答案 15 －eq \f(8π,3)


解析 eq \f(π,12)＝eq \f(180°,12)＝15°，－480°＝－480×eq \f(π,180)＝－eq \f(8π,3).


7．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式为________．


答案 －4π＋eq \f(π,6)


解析 方法一 －690°＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(690×\f(π,180)))＝－eq \f(23,6)π.


因为－eq \f(23,6)π＝－4π＋eq \f(π,6)，所以－690°＝－4π＋eq \f(π,6).


方法二 －690°＝－2×360°＋30°，


则－690°＝－4π＋eq \f(π,6).


8．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是______弧度，扇形面积是______．


答案 eq \f(3,2) 48


解析 |α|＝eq \f(l,r)＝eq \f(12,8)＝eq \f(3,2)，


S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)×12×8＝48.


9．将下列各角化成弧度制下的角，并指出是第几象限角．


(1)－1 725°；(2)－60°＋360°·k(k∈Z)．


解 (1)－1 725°＝75°－5×360°＝－5×2π＋eq \f(5π,12)


＝－eq \f(115π,12)，是第一象限角．


(2)－60°＋360°·k＝－eq \f(π,180)×60＋2π·k


＝－eq \f(π,3)＋2kπ(k∈Z)，是第四象限角．


10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.


(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；


(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.


解 (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，


知△AOB是等边三角形，


∴α＝∠AOB＝60°＝eq \f(π,3).


(2)由(1)可知α＝eq \f(π,3)，r＝10，


∴弧长l＝α·r＝eq \f(π,3)×10＝eq \f(10π,3)，


∴S扇形＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)×eq \f(10π,3)×10＝eq \f(50π,3)，


而S△AOB＝eq \f(1,2)·AB·eq \f(\r(3),2)AB＝eq \f(1,2)×10×5eq \r(3)＝25eq \r(3)，


∴S弓形＝S扇形－S△AOB＝25eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－\r(3))).





11．下列表示中不正确的是( )


A．终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}


B．终边在y轴上角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))


C．终边在坐标轴上角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))


D．终边在直线y＝x上角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋2kπ，k∈Z))))


答案 D


解析 对于A，终边在x轴上角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}，故A正确；


对于B，终边在y轴上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，故B正确；


对于C，终边在x轴上的角的集合为{α|α＝kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，其并集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))，故C正确；


对于D，终边在直线y＝x上的角的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(π,4)＋kπ，k∈Z))))，故D不正确．


12．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )


A．1 B.eq \f(1,2)


C.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D.eq \f(π,3)或eq \f(5π,3)


答案 C


解析 设该弦所对的圆周角为α，


则其圆心角为2α或2π－2α，


由于弦长等于半径，


所以可得2α＝eq \f(π,3)或2π－2α＝eq \f(π,3)，解得α＝eq \f(π,6)或α＝eq \f(5π,6).


13．设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＝\f(kπ,2)－\f(π,3)，k∈Z))))，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝____________.


答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2π,3)))


解析 由－π

因为k∈Z，所以k＝－1,0,1,2，所以M∩N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)，－\f(π,3)，\f(π,6)，\f(2π,3))).


14．已知一扇形的弧长为eq \f(2π,9)，面积为eq \f(2π,9)，则其半径r＝________，圆心角为________．


答案 2 eq \f(π,9)


解析 设圆心角度数为α，因为扇形的弧长为eq \f(2π,9)，面积为eq \f(2π,9)＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,9)×r，


解得r＝2，由于扇形的弧长为eq \f(2π,9)＝rα＝2α，解得α＝eq \f(π,9).





15．扇形圆心角为eq \f(π,3)，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．


答案 2∶3


解析 如图，设内切圆半径为r，





则r＝eq \f(a,3)，


所以S圆＝π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)))2＝eq \f(πa2,9)，


S扇＝eq \f(1,2)a2·eq \f(π,3)＝eq \f(πa2,6)，


所以eq \f(S圆,S扇)＝eq \f(2,3).


16.如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转eq \f(π,3)弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转eq \f(π,6)弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．





解 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，





则t·eq \f(π,3)＋t·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝2π，


所以t＝4 秒，


即P，Q第一次相遇时所用的时间为4 s.


P点走过的弧长为eq \f(4π,3)×4＝eq \f(16π,3)，


Q点走过的弧长为eq \f(2π,3)×4＝eq \f(8π,3).角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°≈57.30°
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝度数