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    高中数学新教材同步必修第一册 第1章 1.1 第2课时 集合的表示 学案
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念优秀第2课时2课时导学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念优秀第2课时2课时导学案,共8页。学案主要包含了列举法表示集合,描述法表示集合,集合表示法的综合应用等内容,欢迎下载使用。

    学习目标 1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法,感受集合语言的意义和作用.2.会用集合的两种表示方法表示一些简单集合.





    知识点一 列举法


    把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.


    知识点二 描述法


    一般地,设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.


    思考 不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征?


    答案 元素的共同特征为x∈R,且x<5.





    1.由1,1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,1,2,3}.( × )


    2.集合{(1,2)}中的元素是1和2.( × )


    3.集合A={x|x-1=0}与集合B={1}表示同一个集合.( √ )


    4.{x|x>1}与{y|y>1}是不同的集合.( × )





    一、列举法表示集合


    例1 用列举法表示下列集合:


    (1)不大于10的非负偶数组成的集合;


    (2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合;


    (3)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合;


    (4)由所有正整数构成的集合.


    解 (1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是 {0,2,4,6,8,10}.


    (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集合为{0,2}.


    (3)将x=0代入y=2x+1,得y=1,即交点是(0,1),故交点组成的集合是{(0,1)}.


    (4)正整数有1,2,3,…,所求集合为{1,2,3,…}.


    反思感悟 用列举法表示集合应注意的两点


    (1)应先弄清集合中的元素是什么,是数还是点,还是其他元素;


    (2)若集合中的元素是点时,则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.


    跟踪训练1 用列举法表示下列给定的集合:


    (1)大于1且小于6的整数组成的集合A;


    (2)方程x2-9=0的实数根组成的集合B;


    (3)一次函数y=x+2与y=-2x+5的图象的交点组成的集合D.


    解 (1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5,所以A={2,3,4,5}.


    (2)方程x2-9=0的实数根为-3,3,所以B={-3,3}.


    (3)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y=x+2,,y=-2x+5,))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x=1,,y=3,))


    所以一次函数y=x+2与y=-2x+5的交点为(1,3),所以D={(1,3)}.


    二、描述法表示集合


    例2 用描述法表示下列集合:


    (1)正偶数集;


    (2)被3除余2的正整数集合;


    (3)平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合.


    解 (1)偶数可用式子x=2n,n∈Z表示,但此题要求为正偶数,故限定n∈N*,所以正偶数集可表示为{x|x=2n,n∈N*}.


    (2)设被3除余2的数为x,则x=3n+2,n∈Z,但元素为正整数,故n∈N,所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x=3n+2,n∈N}.


    (3)坐标轴上的点(x,y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即xy=0,故平面直角坐标系中坐标轴上的点的集合可表示为{(x,y)|xy=0}.


    反思感悟 利用描述法表示集合应关注五点


    (1)写清楚该集合代表元素的符号.例如,集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}.


    (2)所有描述的内容都要写在花括号内.例如,{x∈Z|x=2k},k∈Z,这种表达方式就不符合要求,需将k∈Z也写进花括号内,即{x∈Z|x=2k,k∈Z}.


    (3)不能出现未被说明的字母.


    (4)在通常情况下,集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写.例如,方程x2-2x+1=0的实数解集可表示为{x∈R|x2-2x+1=0},也可写成{x|x2-2x+1=0}.


    跟踪训练2 下列三个集合:


    ①A={x|y=x2+1};


    ②B={y|y=x2+1};


    ③C={(x,y)|y=x2+1}.


    (1)它们是不是相同的集合?


    (2)它们各自的含义分别是什么?


    解 (1)不相同.


    (2)集合A={x|y=x2+1}的代表元素是x,且x∈R,所以{x|y=x2+1}=R,即A=R;集合B={y|y=x2+1}的代表元素是y,满足条件y=x2+1的y的取值范围是y≥1,所以{y|y=x2+1}={y|y≥1}.


    集合C={(x,y)|y=x2+1}的代表元素是(x,y),是满足y=x2+1的数对.可以认为集合C是由坐标平面内满足y=x2+1的点(x,y)构成的.


    三、集合表示法的综合应用


    例3 集合A={x|kx2-8x+16=0},若集合A中只有一个元素,求实数k的值组成的集合.


    解 (1)当k=0时,方程kx2-8x+16=0变为-8x+16=0,解得x=2,满足题意;


    (2)当k≠0时,要使集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有一个元素,则方程kx2-8x+16=0有两个相等的实数根,所以Δ=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意.


    综上所述,k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}.


    延伸探究


    1.本例若将条件“只有一个元素”改为“有两个元素”,其他条件不变,求实数k的值组成的集合.


    解 由题意可知,方程kx2-8x+16=0有两个不等实根,


    故k≠0,且Δ=64-64k>0,即k<1,且k≠0.


    所以实数k组成的集合为{k|k<1,且k≠0}.


    2.本例若将条件“只有一个元素”改为“至少有一个元素”,其他条件不变,求实数k的取值范围.


    解 由题意可知,方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根.


    ①当k=0时,由-8x+16=0得x=2,符合题意;


    ②当k≠0时,要使方程kx2-8x+16=0至少有一个实数根,则Δ=64-64k≥0,即k≤1,且k≠0.


    综合①②可知,实数k的取值范围为{k|k≤1}.


    反思感悟 (1)若已知集合是用描述法给出的,读懂集合的代表元素及其属性是解题的关键,如例3集合A中的元素就是所给方程的根,由此便把集合的元素个数问题转化为方程的根的个数问题.


    (2)在学习过程中要注意数学素养的培养,如本例中用到了等价转化思想和分类讨论的思想.





    1.用列举法表示集合{x|x2-2x-3=0}为( )


    A.{-1,3} B.{(-1,3)}


    C.{x=1} D.{x2-2x-3=0}


    答案 A


    2.一次函数y=x-3与y=-2x的图象的交点组成的集合是( )


    A.{1,-2} B.{x=1,y=-2}


    C.{(-2,1)} D.{(1,-2)}


    答案 D


    3.设A={x∈N|1≤x<6},则下列正确的是( )


    A.6∈A B.0∈A C.3∉A D.3.5∉A


    答案 D


    4.第一象限的点组成的集合可以表示为( )


    A.{(x,y)|xy>0} B.{(x,y)|xy≥0}


    C.{(x,y)|x>0且y>0} D.{(x,y)|x>0或y>0}


    答案 C


    5.下列集合不等于由所有奇数构成的集合的是( )


    A.{x|x=4k-1,k∈Z}


    B.{x|x=2k-1,k∈Z}


    C.{x|x=2k+1,k∈Z}


    D.{x|x=2k+3,k∈Z}


    答案 A





    1.知识清单:


    (1)描述法表示集合的理解.


    (2)用列举法和描述法表示集合.


    (3)两种表示法的综合应用.


    2.方法归纳:等价转化、分类讨论.


    3.常见误区:点集与数集的区别.








    1.用列举法表示集合{x|x2-2x+1=0}为( )


    A.{1,1} B.{1}


    C.{x=1} D.{x2-2x+1=0}


    答案 B


    解析 方程x2-2x+1=0有两个相等的实数解1,根据集合元素的互异性知B正确.


    2.已知集合A={x|x(x-1)=0},那么下列结论正确的是( )


    A.0∈A B.1∉A C.-1∈A D.0∉A


    答案 A


    解析 ∵A={x|x(x-1)=0}={0,1},


    ∴0∈A.


    3.如果A={x|x>-1},那么( )


    A.-2∈A B.{0}∈A C.-3∈A D.0∈A


    答案 D


    解析 ∵0>-1,故0∈A,选D.


    4.下列集合中,不同于另外三个集合的是( )


    A.{x|x=1} B.{x|x2=1}


    C.{1} D.{y|(y-1)2=0}


    答案 B


    解析 {x|x2=1}={-1,1},另外三个集合都是{1},故选B.


    5.下列命题中正确的是( )


    A.集合{x∈R|x2=1}中有两个元素


    B.集合{0}中没有元素


    C.eq \r(13)∈{x|x<2eq \r(3)}


    D.{1,2}与{2,1}是不同的集合


    答案 A


    解析 {x∈R|x2=1}={1,-1};集合{0}是单元素集,有一个元素,这个元素是0;{x|x<2eq \r(3)}={x|xeq \r(12),eq \r(13)∉{x|x<2eq \r(3)};根据集合中元素的无序性可知{1,2}与{2,1}是同一个集合.


    6.能被2整除的正整数的集合,用描述法可表示为________________________.


    答案 {x|x=2n,n∈N*}


    解析 正整数中所有的偶数均能被2整除.


    7.已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________________.


    答案 {a|a≤-2}


    解析 ∵1∉{x|2x+a>0},


    ∴2×1+a≤0,即a≤-2.


    8.已知-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为________.


    答案 2


    解析 由-5∈{x|x2-ax-5=0},得(-5)2-a×(-5)-5=0,所以a=-4,所以{x|x2-4x+4=0}={2},所以集合中所有元素之和为2.


    9.用适当的方法表示下列集合:


    (1)一年中有31天的月份的全体;


    (2)大于-3.5小于12.8的整数的全体;


    (3)梯形的全体构成的集合;


    (4)所有能被3整除的数的集合;


    (5)方程(x-1)(x-2)=0的解集;


    (6)不等式2x-1>5的解集.


    解 (1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}.


    (2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}.


    (3){a|a是梯形}或{梯形}.


    (4){x|x=3n,n∈Z}.


    (5){1,2}.


    (6){x|x>3}.


    10.已知集合A={a+3,(a+1)2,a2+2a+2},若1∈A,求实数a的值.


    解 ①若a+3=1,则a=-2,


    此时A={1,1,2},不符合集合中元素的互异性,舍去.


    ②若(a+1)2=1,则a=0或a=-2.


    当a=0时,A={3,1,2},满足题意;


    当a=-2时,由①知不符合条件,故舍去.


    ③若a2+2a+2=1,则a=-1,


    此时A={2,0,1},满足题意.


    综上所述,实数a的值为-1或0.





    11.设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )


    A.3 B.4 C.5 D.6


    答案 B


    解析 1,2,3与4,5分别相加可得5,6,6,7,7,8,根据集合中元素的互异性可得集合M中有4个元素.


    12.已知A={1,2,3},B={2,4},定义集合A,B间的运算A*B={x|x∈A且x∉B},则集合A*B等于( )


    A.{1,2,3} B.{2,4} C.{1,3} D.{2}


    答案 C


    解析 因为属于集合A的元素是1,2,3,但2属于集合B,所以A*B={1,3}.


    13.已知集合A={-1,0,1},集合B={y|y=|x|,x∈A},则B=________.


    答案 {0,1}


    解析 ∵x∈A,∴当x=-1时,y=|x|=1;


    当x=0时,y=|x|=0;当x=1时,y=|x|=1.


    ∴B={0,1}.


    14.若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中,则称该数集为可倒数集,则集合A={-1,1,2}________(填“是”或“不是”)可倒数集.试写出一个含三个元素的可倒数集________.(答案不唯一)


    答案 不是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,2,\f(1,2)))


    解析 由于2的倒数eq \f(1,2)不在集合A中,故集合A不是可倒数集.若一个元素a∈A,则eq \f(1,a)∈A.若集合中有三个元素,故必有一个元素a=eq \f(1,a),即a=±1,故可取的集合有eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(1,2,\f(1,2))),eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(-1,3,\f(1,3)))等.





    15.设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )


    A.1 B.3 C.5 D.9


    答案 C


    解析 因为A={0,1,2},又集合B中元素为x-y且x∈A,y∈A,


    所以x的可能取值为0,1,2;y的可能取值为0,1,2.


    当x=0时,y=0或1或2,


    此时对应的x-y的值为0,-1,-2.


    当x=1时,y=0或1或2,


    此时对应的x-y的值为1,0,-1.


    当x=2时,y=0或1或2,


    此时对应的x-y的值为2,1,0.


    综上可知,集合B={-2,-1,0,1,2},


    所以集合B中的元素的个数为5.


    16.设集合B=eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x∈N\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(6,2+x)∈N)))).


    (1)试判断元素1和2与集合B的关系;


    (2)用列举法表示集合B.


    解 (1)当x=1时,eq \f(6,2+1)=2∈N;


    当x=2时,eq \f(6,2+2)=eq \f(3,2)∉N,


    所以1∈B,2∉B.


    (2)因为eq \f(6,2+x)∈N,x∈N,


    所以2+x只能取2,3,6,


    所以x只能取0,1,4,


    所以B={0,1,4}.
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