高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系优质学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第一章 集合与常用逻辑用语1.2 集合间的基本关系优质学案设计，共9页。学案主要包含了集合间关系的判断，子集，集合间关系的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念.2.能用符号和Venn图表达集合间的关系.3.掌握列举有限集的所有子集的方法．





知识点一 子集、真子集、集合相等


1．子集、真子集、集合相等





2.Venn图


用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．


3．子集的性质


(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.


(2)对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.


知识点二 空集


1．定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.


2．规定：空集是任何集合的子集．


思考 {0}与∅相等吗？


答案 不相等．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.





1．空集中不含任何元素，所以∅不是集合．( × )


2．任何一个集合都有子集．( √ )


3．若A＝B，则A⊆B且B⊆A.( √ )


4．空集是任何集合的真子集．( × )





一、集合间关系的判断


例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )


①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．


A．1 B．2 C．3 D．4


答案 C


解析 对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序实数对(0,1)为元素的单点集，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③④是正确的．


(2)指出下列各组集合之间的关系：


①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；


②M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．


解 ①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．


②方法一 两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.


方法二 由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.


反思感悟 判断集合间关系的方法


(1)用定义判断


①任意x∈A时，x∈B，则A⊆B.


②当A⊆B时，存在x∈B，且x∉A，则AB.


③若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.


(2)数形结合判断


对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．


跟踪训练1 能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是( )





答案 B


解析 x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，


易得NM，其对应的Venn图如选项B所示．


二、子集、真子集的个数问题


例2 已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．


解 由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：


含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；


含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；


含有5个元素：{1,2,3,4,5}．


故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．


反思感悟 公式法求有限集合的子集个数


(1)含n个元素的集合有2n个子集．


(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．


(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．


(4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．


跟踪训练2 已知集合A＝{x|0≤x<5，且x∈N}，则集合A的子集的个数为( )


A．15 B．16 C．31 D．32


答案 D


解析 A＝{0,1,2,3,4}，含有5个元素的集合的子集的个数为25＝32.


三、集合间关系的应用


例3 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若BA，求实数m的取值范围.


解 (1)当B≠∅时，如图所示．





∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1<5，,2m－1≥m＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))


解这两个不等式组，得2≤m≤3.


(2)当B＝∅时，


由m＋1>2m－1，得m<2.


综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．


延伸探究


1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2

解 (1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.


(2)当B≠∅时，如图所示．





∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1>－2，,2m－1<5，,m＋1≤2m－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>－3，,m<3，,m≥2，))


即2≤m<3，


综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．


2．若本例条件“BA”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．


解 当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.





∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m－1>m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m>2，,m≤－3，,m≥3，))


∴m不存在．


即不存在实数m使A⊆B.


反思感悟 (1)利用数轴处理不等式表示的集合间的关系问题时，可化抽象为直观，要注意端点值的取舍，“含”用实心点表示，“不含”用空心点表示．


(2)涉及到“A⊆B”或“AB且B≠∅”的问题，一定要分A＝∅和A≠∅两种情况讨论，不要忽视空集的情况．


跟踪训练3 若集合A＝{x|1a}，满足AB，则实数a的取值范围是( )


A．{a|a≥2} B．{a|a≤1}


C．{a|a≥1} D．{a|a≤2}


答案 B


解析 如图所示，AB，





所以a≤1.





1．下列四个集合中，是空集的是( )


A．{0} B．{x|x>8，且x<5}


C．{x∈N|x2－1＝0} D．{x|x>4}


答案 B


解析 选项A，C，D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.


2．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )


A．0⊆A B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A


答案 D


解析 集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，∅⊆A，D正确．


3．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是( )


A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C


C．AB⊆C D．A＝B⊆C


答案 B


解析 集合A，B，C关系如图．





4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.


答案 4


解析 ∵B⊆A，


∴元素3,4必为A中元素，


∴m＝4.


5．已知集合A＝{x|x≥1或x≤－2}，B＝{x|x≥a}，若BA，则实数a的取值范围是________．


答案 a≥1


解析 ∵BA，∴a≥1.





1．知识清单：


(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合间关系的判断．


(2)求子集、真子集的个数问题．


(3)由集合间的关系求参数的值或范围．


2．方法归纳：数形结合、分类讨论．


3．常见误区：忽略对集合是否为空集的讨论，忽视是否能够取到端点．








1．已知集合A＝{0,1}，则下列式子错误的是( )


A．0∈A B．{1}∈A


C．∅⊆A D．{0,1}⊆A


答案 B


解析 ∵{1}⊆A，∴{1}∈A错误，其余均正确．


2．集合{1,2}的子集有( )


A．4个 B．3个 C．2个 D．1个


答案 A


解析 集合{1,2}的子集有∅，{1}，{2}，{1,2}共4个．


3．下列表述正确的有( )


①空集没有子集；


②任何集合都有至少两个子集；


③空集是任何集合的真子集；


④若∅A，则A≠∅.


A．0个 B．1个 C．2个 D．3个


答案 B


解析 ∅⊆∅，故①错；∅只有一个子集，即它本身．所以②错；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以③错；而④正确，故选B.


4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1 B．2 C．3 D．4


答案 D


解析 由题意知：A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．


5．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于( )


A．0 B．1 C．2 D．－1


答案 C


解析 由A＝B，得x＝0或y＝0.


当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0,0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；


当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.


由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，


经验证，符合题意，则2x＋y＝2.


6．集合∅和{0}的关系表示正确的有________．(把正确的序号都填上)


①{0}＝∅；②{0}∈∅；③{0}⊆∅；④∅{0}．


答案 ④


解析 ∅没有任何元素，而{0}中有一个元素，显然∅≠{0}，又∅是任何非空集合的真子集，故有∅{0}，所以④正确，①②③不正确．


7．集合A＝{x|1

答案 {a|a≥6}


解析 ∵A＝{x|1




8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．


答案 {0,1，－1}


解析 因为集合A有且仅有2个子集，所以A中仅有一个元素，


当a＝0时，方程化为2x＝0，


方程只有一个根x＝0，符合题意．


当a≠0时，方程ax2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，Δ＝22－4·a·a＝0，


即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.


9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．


解 因为A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}．所以A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．


所以A的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．


10．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．


(1)若AB，求a的取值范围；


(2)若B⊆A，求a的取值范围．


解 (1)若AB，由图可知，a>2.





故实数a的取值范围为{a|a>2}．


(2)若B⊆A，由图可知，1≤a≤2.





故实数a的取值范围为{a|1≤a≤2}．





11．若集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k－1，k∈Z}，则A，B，C的关系是( )


A．CA＝B B．A⊆C⊆B


C．A＝BC D．B⊆A⊆C


答案 A


解析 ∵A＝{x|x＝2(k＋1)－1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，C＝{x|x＝2·2k－1，k∈Z}，∴CA＝B，故选A.


12．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．


答案 M＝P


解析 因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.


13．已知集合P＝{x|x2＝1}，集合Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，那么实数a的值是________．


答案 0，±1


解析 由题意得P＝{－1,1}，


又因为Q⊆P，


若Q＝∅，则a＝0，此时满足Q⊆P，


若Q≠∅，则Q＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,a)))))，由题意知，eq \f(1,a)＝1或eq \f(1,a)＝－1，解得a＝±1.综上可知，实数a的值是0，±1.


14．已知集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}，则集合A＝______.若集合B满足{0}B⊆A，则集合B＝________.


答案 {－1,0} {－1,0}


解析 ∵解方程x2＋x＝0，得x＝－1或x＝0,


∴集合A＝{x∈R|x2＋x＝0}＝{－1,0},


∵集合B满足{0}B⊆A,


∴集合B＝{－1,0}．





15．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋1＝0}，若B≠∅，B⊆A，则a等于( )


A．－1 B．0 C．1 D．±1


答案 D


解析 当B＝{－1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根－1，即a＝－1；


当B＝{1}时，x2－2ax＋1＝0有两相等的实根1，即a＝1；


当B＝{－1,1}时，不成立．


故a＝±1.


16．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，集合B＝{1,2，b}．


(1)是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B？若存在，求出对应的a值；若不存在，说明理由；


(2)若A⊆B成立，求出对应的实数对(a，b)．


解 (1)对于任意实数b都有A⊆B，当且仅当集合A中的元素为1,2.


∵A＝{a－4，a＋4}，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝1，,a＋4＝2，))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝2，,a＋4＝1，))


解方程组可知无解．


∴不存在实数a，使得对于任意实数b都有A⊆B.


(2)由(1)易知，若A⊆B，


则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝1，,a＋4＝b))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝2，,a＋4＝b))


或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝b，,a＋4＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－4＝b，,a＋4＝2，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝9))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝6，,b＝10))


或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－7))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－6.))


则所求实数对为(5,9)或(6,10)或(－3，－7)或(－2，－6)．定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集
A⊆B


(或B⊇A)
真子集
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集
AB


(或BA)
集合相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
A＝B