高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质第1课时导学案

这是一份高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式优质第1课时导学案，共10页。学案主要包含了解不含参数的一元二次不等式，三个“二次”间的关系及应用，含参数的一元二次不等式的解法等内容，欢迎下载使用。

第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式


学习目标 1.从函数观点看一元二次方程．了解函数的零点与方程根的关系.2.从函数观点看一元二次不等式．经历从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．








知识点一 一元二次不等式的概念





知识点二 一元二次函数的零点


一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．


知识点三 二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系





预习小测 自我检验


1．下面所给关于x的几个不等式：①3x＋4<0；②x2＋mx－1>0；③ax2＋4x－7>0；④x2<0.其中一定为一元二次不等式的有________．(填序号)


答案 ②④


解析 一定是一元二次不等式的为②④.


2．不等式x(2－x)>0的解集为________．


答案 {x|0

解析 原不等式可化为x(x－2)<0，∴0

3．不等式4x2－9<0的解集是________．


答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)

解析 原不等式可化为x2

4．已知一元二次不等式ax2＋2x－1<0的解集为R，则a的取值范围是________．


答案 {a|a<－1}


解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,4＋4a<0，))∴a<－1.





一、解不含参数的一元二次不等式


例1 解下列不等式：


(1)－x2＋5x－6>0；


(2)3x2＋5x－2≥0；


(3)x2－4x＋5>0.


解 (1)不等式可化为x2－5x＋6<0.


因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1>0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.


由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2




(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49>0，


所以方程3x2＋5x－2＝0的两实根为x1＝－2，x2＝eq \f(1,3).


由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(图②)，得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－2或x≥\f(1,3))))).


(3)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R.





反思感悟 解一元二次不等式的一般步骤


第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系数为正，右边为0的形式)；第二步：求Δ＝b2－4ac；第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集．


跟踪训练1 解下列不等式：


(1)4x2－4x＋1>0；


(2)－x2＋6x－10>0.


解 (1)∵方程4x2－4x＋1＝0有两个相等的实根x1＝x2＝eq \f(1,2).作出函数y＝4x2－4x＋1的图象如图．由图可得原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(1,2))))).





(2)原不等式可化为x2－6x＋10<0，


∵Δ＝36－40＝－4<0，


∴方程x2－6x＋10＝0无实根，


∴原不等式的解集为∅.


二、三个“二次”间的关系及应用


例2 已知二次函数y＝ax2＋(b－8)x－a－ab，且y>0的解集为{x|－3

(1)求二次函数的解析式；


(2)当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围．


解 (1)因为y>0的解集为{x|－3

所以－3,2是方程ax2＋(b－8)x－a－ab＝0的两根，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3＋2＝－\f(b－8,a)，,－3×2＝\f(－a－ab,a)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝5，))


所以y＝－3x2－3x＋18.


(2)因为a＝－3<0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－eq \f(25,12).


所以当c≤－eq \f(25,12)时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.


反思感悟 三个“二次”之间的关系


(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．


(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：





特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．


跟踪训练2 已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)

(1)求a，c的值；


(2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0.


解 (1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为eq \f(1,3)和eq \f(1,2)，


由根与系数的关系，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(5,a)＝\f(1,3)＋\f(1,2)，,\f(c,a)＝\f(1,2)×\f(1,3)，))


解得a＝－6，c＝－1.


(2)由a＝－6，c＝－1知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得eq \f(1,3)≤x≤1，所以不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)≤x≤1)))).


三、含参数的一元二次不等式的解法


例3 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2>0.


解 (1)当a＝0时，不等式可化为x－2>0，解得x>2，即原不等式的解集为{x|x>2}．


(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－eq \f(1,a).


①当a<－eq \f(1,2)时，解不等式得－eq \f(1,a)

即原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)

②当a＝－eq \f(1,2)时，不等式无解，


即原不等式的解集为∅；


③当－eq \f(1,2)

即原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2

④当a>0时，


解不等式得x<－eq \f(1,a)或x>2，


即原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,a)或x>2)))).


反思感悟 解含参数的一元二次不等式的步骤





特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．


跟踪训练3 (1)当a＝eq \f(1,2)时，求关于x的不等式x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))x＋1≤0的解集；


(2)若a>0，求关于x的不等式x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))x＋1≤0的解集．


解 (1)当a＝eq \f(1,2)时，有x2－eq \f(5,2)x＋1≤0，即2x2－5x＋2≤0，解得eq \f(1,2)≤x≤2，


故不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)≤x≤2)))).


(2)x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,a)))x＋1≤0⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－a)≤0，


①当0

②当a＝1时，a＝eq \f(1,a)＝1，不等式的解集为{1}；


③当a>1时，a>eq \f(1,a)，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)≤x≤a)))).


综上，当0

当a＝1时，不等式的解集为{1}；


当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)≤x≤a)))).





1．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是( )


A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(1,3))))) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,3)))))


C．∅ D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,3)))))


答案 D


解析 原不等式可化为(3x＋1)2≤0，


∴3x＋1＝0，∴x＝－eq \f(1,3).


2．如果关于x的不等式x2

A．－81 B．81 C．－64 D．64


答案 B


解析 不等式x2

其解集是{x|1

那么，由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋3＝a，,1×3＝－b，))


解得a＝4，b＝－3；所以ba＝(－3)4＝81.故选B.


3．不等式x2－2x>0的解集是( )


A．{x|x≥2或x≤0} B．{x|x>2或x<0}


C．{x|0≤x≤2} D．{x|0

答案 B


解析 解x2－2x>0，即x(x－2)>0，


得x>2或x<0，故选B.


4．不等式x2－3x－10<0的解集是________．


答案 {x|－2

解析 由于x2－3x－10＝0的两根为－2,5，故x2－3x－10<0的解集为{x|－2

5．若方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是________________．


答案 {m|m≥9或m≤1}


解析 由方程x2＋(m－3)x＋m＝0有实数解，


∴Δ＝(m－3)2－4m≥0，


即m2－10m＋9≥0，


∴(m－9)(m－1)≥0，


∴m≥9或m≤1.





1．知识清单：解一元二次不等式的常见方法


(1)图象法：


①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；


②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；


③由图象得出不等式的解集．


(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．


2．方法归纳：数形结合，分类讨论．


3．常见误区：当二次项系数小于0时，需两边同乘－1，化为正的．








1．(2019·全国Ⅰ)已知集合M＝{x|－4

A．{x|－4

C．{x|－2

答案 C


解析 ∵N＝{x|－2

∴M∩N＝{x|－2

2．若0

A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,m)\f(1,m)或x

C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>m或x<\f(1,m))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m

答案 D


解析 ∵01>m，


故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(m

3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为( )


A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}


C．{x|－2

答案 C


解析 由题意知－2＋3＝－eq \f(b,a)，－2×3＝eq \f(c,a)，


∴b＝－a，c＝－6a，


∴不等式ax2＋bx＋c>0可化为ax2－ax－6a>0，


又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，


∴－2

4．若不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1

A．5 B．－5 C．－25 D．10


答案 B


解析 由题意知－1,3为方程5x2－bx＋c＝0的两根，


∴－1＋3＝eq \f(b,5)，－3＝eq \f(c,5)，


∴b＝10，c＝－15，∴b＋c＝－5.故选B.


5．若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是( )


A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2}


C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2

答案 B


解析 ∵x2＋mx＋1≥0的解集为R，


∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B.


6．不等式x2－4x＋4≤0的解集是________．


答案 {2}


解析 原不等式可化为(x－2)2≤0，∴x＝2.


7．不等式x2＋3x－4<0的解集为________．


答案 {x|－4

解析 易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4,1，所以不等式x2＋3x－4<0的解集为{x|－4

8．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,m)

答案 {m|m<0}


解析 ∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,m)

∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为eq \f(1,m)和2，


且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,\f(1,m)<2，))解得m<0，∴m的取值范围是m<0.


9．已知不等式x2－2x－3<0的解集为A，不等式x2＋x－6<0的解集为B.


(1)求A∩B；


(2)若不等式x2＋ax＋b<0的解集为A∩B，求不等式ax2＋x＋b<0的解集．


解 (1)由x2－2x－3<0，得－1

∴A＝{x|－1

由x2＋x－6<0，得－3

∴B＝{x|－3

(2)由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a＋b＝0，,4＋2a＋b＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2.))


∴－x2＋x－2<0，∴x2－x＋2>0，


∵Δ＝1－8＝－7<0，


∴不等式x2－x＋2>0的解集为R.


10．若不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3

(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；


(2)b为何值时，ax2＋bx＋3≥0的解集为R?


解 (1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－a<0，,\f(4,1－a)＝－2，,\f(6,1－a)＝－3，))解得a＝3.


∴不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即为2x2－x－3>0，


解得x<－1或x>eq \f(3,2).


∴所求不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(3,2))))).


(2)ax2＋bx＋3≥0，即为3x2＋bx＋3≥0，


若此不等式解集为R，


则Δ＝b2－4×3×3≤0，∴－6≤b≤6.





11．下列四个不等式：


①－x2＋x＋1≥0；②x2－2eq \r(5)x＋eq \r(5)>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.


其中解集为R的是( )


A．① B．② C．③ D．④


答案 C


解析 ①显然不可能；


②中Δ＝(－2eq \r(5))2－4×eq \r(5)>0，解集不为R；


③中Δ＝62－4×10<0.满足条件；


④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C.


12．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )


A．{x|0

C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1

答案 B


解析 根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，


又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，


故不等式的解集是{x|－2

13．若关于x的方程(a－2)x2－2(a－2)x＋1＝0无实数解，则a的取值范围是________．


答案 2≤a<3


解析 若a－2＝0，即a＝2时，原方程为1＝0不合题意，


∴a＝2满足条件，


若a－2≠0，则Δ＝4(a－2)2－4(a－2)<0，


解得2

综上有a的取值范围是2≤a<3.


14．已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对∀x∈R恒成立，则a的取值范围为________．


答案 {a|－1≤a≤4}


解析 x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥a2－3a恒成立，


∴a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，


∴(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.





15．在R上定义运算：eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a b,c d))＝ad－bc.若不等式eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x－1 a－2,a－1 x))≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．


答案 eq \f(3,2)


解析 原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，


即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，


因为x2－x－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2－eq \f(5,4)≥－eq \f(5,4)，


所以－eq \f(5,4)≥a2－a－2，解得－eq \f(1,2)≤a≤eq \f(3,2).


16．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.


解 ∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立．


当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；


当a≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4a2－4a≤0，))解得0

综上，0≤a≤1.


由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.


∵0≤a≤1，


∴①当1－a>a，即0≤a

②当1－a＝a，即a＝eq \f(1,2)时，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2<0，不等式无解；


③当1－a

综上，当0≤a只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1∅
∅