数学必修 第一册2.2 基本不等式优质第2课时2课时学案

这是一份数学必修 第一册2.2 基本不等式优质第2课时2课时学案，共13页。学案主要包含了利用基本不等式变形求最值，基本不等式在实际问题中的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．








知识点 用基本不等式求最值


用基本不等式eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)求最值应注意：


(1)x，y是正数；


(2)①如果xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq \r(P)；


②如果x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq \f(1,4)S2.


(3)讨论等号成立的条件是否满足．


预习小测 自我检验


1．已知0

答案 eq \f(1,8)


解析 y＝x(1－2x)＝eq \f(1,2)·2x·(1－2x)


≤eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x＋1－2x,2)))2＝eq \f(1,8)，


当且仅当2x＝1－2x，即x＝eq \f(1,4)时取“＝”．


2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________.


答案 20


解析 总运费与总存储费用之和


y＝4x＋eq \f(400,x)×4＝4x＋eq \f(1 600,x)≥2eq \r(4x·\f(1 600,x))＝160，


当且仅当4x＝eq \f(1 600,x)，


即x＝20时取等号．


3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元．


答案 8


解析 年平均利润eq \f(y,x)＝－x＋18－eq \f(25,x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))＋18≤－2eq \r(\f(25,x)·x)＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x＝5时取“＝”．


4．已知x>2，则x＋eq \f(4,x－2)的最小值为________．


答案 6


解析 x＋eq \f(4,x－2)＝x－2＋eq \f(4,x－2)＋2，


∵x－2>0，∴x－2＋eq \f(4,x－2)＋2≥2eq \r(4)＋2＝4＋2＝6.


当且仅当x－2＝eq \f(4,x－2)，即x＝4时取“＝”．





一、利用基本不等式变形求最值


例1 已知x>0，y>0，且eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值．


解 方法一 ∵x>0，y>0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，


∴x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10


≥6＋10＝16，


当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，


又eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．


故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.


方法二 由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．


由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1可知x>1，y>9，


∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10


≥2eq \r(x－1y－9)＋10＝16，


当且仅当x－1＝y－9＝3，


即x＝4，y＝12时上式取等号，


故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.


延伸探究 若将条件换为：x>0，y>0且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．


解 方法一 由2x＋8y－xy＝0，得y(x－8)＝2x.


∵x>0，y>0，∴x－8>0，y＝eq \f(2x,x－8)，


∴x＋y＝x＋eq \f(2x,x－8)＝x＋eq \f(2x－16＋16,x－8)


＝(x－8)＋eq \f(16,x－8)＋10≥2eq \r(x－8×\f(16,x－8))＋10＝18.


当且仅当x－8＝eq \f(16,x－8)，即x＝12时，等号成立．


∴x＋y的最小值是18.


方法二 由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，


得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)＝1.


∴x＋y＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(2,y)))


＝eq \f(8y,x)＋eq \f(2x,y)＋10≥2eq \r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＋10＝18.


当且仅当eq \f(8y,x)＝eq \f(2x,y)，即x＝2y＝12时等号成立．


∴x＋y的最小值是18.


反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．


跟踪训练1 已知正数x，y满足x＋y＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)的最小值是________．


答案 9


解析 ∵x＋y＝1，


∴eq \f(1,x)＋eq \f(4,y)＝(x＋y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))


＝1＋4＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y).


∵x>0，y>0，∴eq \f(y,x)>0，eq \f(4x,y)>0，


∴eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥2eq \r(\f(y,x)·\f(4x,y))＝4，


∴5＋eq \f(y,x)＋eq \f(4x,y)≥9.


当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝1，,\f(y,x)＝\f(4x,y)，))即x＝eq \f(1,3)，y＝eq \f(2,3)时等号成立．


∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(4,y)))min＝9.


二、基本不等式在实际问题中的应用


例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x万元之间的函数关系为Q＝eq \f(x＋1,2)(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Q＋\f(1,Q)))万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(20,Q)))元/件．


那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费)


解 设该批产品的利润为y，


由题意知y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(20,Q)))·Q－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(Q＋\f(1,Q)))－x


＝2Q＋20－2Q－eq \f(2,Q)－x＝20－eq \f(2,Q)－x


＝20－eq \f(4,x＋1)－x＝21－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,x＋1)＋x＋1))，0≤x≤3.


∵21－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,x＋1)＋x＋1))≤21－2eq \r(4)＝17，


当且仅当x＝1时，上式取“＝”，


∴当x＝1时，ymax＝17.


答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．


反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立．


跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料kx2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克．消耗A材料总重量为y千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少．


解 由题意，得k＋9＝10，即k＝1，


生产1 000千克该产品需要的时间是eq \f(1 000,x)，


所以生产1 000千克该产品消耗的A材料为


y＝eq \f(1 000,x)(x2＋9)＝1 000eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(9,x)))≥1 000×2eq \r(9)＝6 000，


当且仅当x＝eq \f(9,x)，即x＝3时，等号成立，且1<3<10.


故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A材料最少，最少为6 000千克．





基本不等式在实际问题中的应用


典例 围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．





试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．


解 设矩形的另一边长为a m，


则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.


由已知xa＝360，得a＝eq \f(360,x)，


∴y＝225x＋eq \f(3602,x)－360.


∵x>0，


∴225x＋eq \f(3602,x)≥2eq \r(225×3602)＝10 800.


∴y＝225x＋eq \f(3602,x)－360≥10 440.


当且仅当225x＝eq \f(3602,x)时，等号成立．


即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．


[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y＝x＋eq \f(a,x)(a>0)就是一个应用广泛的函数模型．








1．设x>0，则3－3x－eq \f(1,x)的最大值是( )


A．3 B．3－2eq \r(2)


C．－1 D．3－2eq \r(3)


答案 D


解析 ∵x>0，∴3x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(3x·\f(1,x))＝2eq \r(3)，当且仅当x＝eq \f(\r(3),3)时取等号，∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x＋\f(1,x)))≤－2eq \r(3)，则3－3x－eq \f(1,x)≤3－2eq \r(3)，故选D.


2．已知eq \f(x2－x＋1,x－1)(x>1)在x＝t时取得最小值，则t等于( )


A．1＋eq \r(2) B．2


C．3 D．4


答案 B


解析 eq \f(x2－x＋1,x－1)＝eq \f(xx－1＋1,x－1)＝x＋eq \f(1,x－1)


＝x－1＋eq \f(1,x－1)＋1≥2＋1＝3，


当且仅当x－1＝eq \f(1,x－1)，即x＝2时，等号成立．


3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )


A．6.5 m B．6.8 m C．7 m D．7.2 m


答案 C


解析 设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则eq \f(1,2)ab＝2，∴ab＝4，l＝a＋b＋eq \r(a2＋b2)≥2eq \r(ab)＋eq \r(2ab)＝4＋2eq \r(2)≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C.


4．已知正数a，b满足a＋2b＝2，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________．


答案 4


解析 eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))×eq \f(1,2)(a＋2b)


＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋\f(a,b)＋\f(4b,a)))


≥eq \f(1,2)(4＋2eq \r(4))＝4.


当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(4b,a)，即a＝1，b＝eq \f(1,2)时等号成立，


∴eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值为4.


5．设计用32 m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m，则车厢的最大容积是________ m3.


答案 16


解析 设车厢的长为b m，高为a m.


由已知得2b＋2ab＋4a＝32，即b＝eq \f(16－2a,a＋1)，


∴V＝a·eq \f(16－2a,a＋1)·2＝2·eq \f(16a－2a2,a＋1).


设a＋1＝t，则V＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－2t－\f(18,t)))


≤2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(20－2 \r(2t·\f(18,t))))＝16，


当且仅当t＝3，即a＝2，b＝4时等号成立．





1．知识清单：


(1)已知x，y是正数．


①若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值．


②若x·y＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值．


即：“和定积最大，积定和最小”．


(2)求解应用题的方法与步骤．


①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．


2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值．


3．常见误区：缺少等号成立的条件．








1．已知正数x，y满足eq \f(8,x)＋eq \f(1,y)＝1，则x＋2y的最小值是( )


A．18 B．16 C．8 D．10


答案 A


解析 x＋2y＝(x＋2y)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,x)＋\f(1,y)))＝10＋eq \f(16y,x)＋eq \f(x,y)≥10＋2eq \r(16)＝18，当且仅当eq \f(16y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝4y＝12时，等号成立．


2．已知a>0，b>0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,6)，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为( )


A．8 B．7 C．6 D．5


答案 C


解析 由已知，可得6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))＝1，


∴2a＋b＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))×(2a＋b)


＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5＋\f(2a,b)＋\f(2b,a)))≥6×(5＋4)＝54，


当且仅当eq \f(2a,b)＝eq \f(2b,a)时，即a＝b＝18等号成立，


∴9m≤54，即m≤6，故选C.


3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a

A．a

C.eq \r(ab)

答案 A


解析 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s，


∵b>a>0，则v＝eq \f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq \f(2ab,a＋b)

又eq \f(2ab,a＋b)>eq \f(2ab,2b)＝a，故选A.


4．若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是( )


A.eq \f(\r(2),3) B.eq \f(2\r(2),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)


答案 B


解析 由x2＋3xy－1＝0，可得y＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)－x)).


又x>0，所以x＋y＝eq \f(2x,3)＋eq \f(1,3x)≥2eq \r(\f(2,9))＝eq \f(2\r(2),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当x＝\f(\r(2),2)时等号成立)).


5．已知m>0，n>0，m＋n＝1且x＝m＋eq \f(1,m)，y＝n＋eq \f(1,n)，则x＋y的最小值是( )


A．4 B．5 C．8 D．10


答案 B


解析 依题意有x＋y＝m＋n＋eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝1＋eq \f(m＋n,m)＋eq \f(m＋n,n)＝3＋eq \f(n,m)＋eq \f(m,n)≥3＋2＝5，当且仅当m＝n＝eq \f(1,2)时取等号．故选B.


6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg·L－1)


随时间t(单位：h)的变化关系为C＝eq \f(20t,t2＋4)，则经过_______ h后池水中该药品的浓度达到最大．


答案 2


解析 C＝eq \f(20t,t2＋4)＝eq \f(20,t＋\f(4,t)).


因为t>0，所以t＋eq \f(4,t)≥2eq \r(t·\f(4,t))＝4


eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当t＝\f(4,t)，即t＝2时等号成立)).


所以C＝eq \f(20,t＋\f(4,t))≤eq \f(20,4)＝5，当且仅当t＝eq \f(4,t)，


即t＝2时，C取得最大值．


7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.





答案 20


解析 设矩形花园的宽为y，则eq \f(x,40)＝eq \f(40－y,40)，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋40－x,2)))2＝400，当且仅当x＝20时，取等号，即当x＝20 m时，面积最大．


8．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大．


答案 5


解析 ∵y＝－x2＋12x－25，


∴年平均利润为eq \f(y,x)＝eq \f(－x2＋12x－25,x)


＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(25,x)))＋12≤－2eq \r(x·\f(25,x))＋12＝2，


当且仅当x＝eq \f(25,x)，即x＝5时，等号成立．


9．已知x>0，y>0且2x＋5y＝20.


(1)求xy的最大值；


(2)求eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值．


解 (1)∵2x＋5y＝20，x>0，y>0，


∴2x＋5y≥2eq \r(10xy)，


∴2eq \r(10xy)≤20，即xy≤10，


当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立，


∴xy的最大值为10.


(2)eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(1,y)))·eq \f(1,20)(2x＋5y)


＝eq \f(1,20)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋5＋\f(5y,x)＋\f(2x,y)))


＝eq \f(1,20)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7＋\f(5y,x)＋\f(2x,y)))


≥eq \f(1,20)(7＋2eq \r(10))，


当且仅当eq \r(2)x＝eq \r(5)y时，等号成立．


∴eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的最小值为eq \f(1,20)(7＋2eq \r(10))．


10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km/h)之间．假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(x2,360)))L/h，其中x(单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资)


解 设总费用为y元．


由题意，得


y＝76.4×eq \f(100,x)＋7.2×eq \f(100,x)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\f(x2,360)))


＝eq \f(9 800,x)＋2x(40≤x≤100)．


因为y＝eq \f(9 800,x)＋2x≥2eq \r(19 600)＝280.


当且仅当eq \f(9 800,x)＝2x，即x＝70时取等号．


所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.











11．设0

A．10 B．9 C．8 D.eq \f(27,2)


答案 B


解析 ∵00，


eq \f(4,x)＋eq \f(1,1－x)＝[x＋(1－x)]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x)＋\f(1,1－x)))


＝4＋eq \f(41－x,x)＋eq \f(x,1－x)＋1≥5＋2eq \r(\f(41－x,x)·\f(x,1－x))


＝5＋2×2＝9.


当且仅当eq \f(41－x,x)＝eq \f(x,1－x)，


即x＝eq \f(2,3)时，等号成立．


∴eq \f(4,x)＋eq \f(1,1－x)的最小值为9.


12．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－eq \f(1,2a)－eq \f(2,b)的上确界为( )


A．－eq \f(9,2) B.eq \f(9,2) C.eq \f(1,4) D．－4


答案 A


解析 因为a，b为正实数，且a＋b＝1，


所以eq \f(1,2a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2a)＋\f(2,b)))×(a＋b)＝eq \f(5,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2a)＋\f(2a,b)))≥eq \f(5,2)＋2eq \r(\f(b,2a)×\f(2a,b))＝eq \f(9,2)，当且仅当b＝2a，即a＝eq \f(1,3)，b＝eq \f(2,3)时等号成立，因此有－eq \f(1,2a)－eq \f(2,b)≤－eq \f(9,2)，即－eq \f(1,2a)－eq \f(2,b)的上确界为－eq \f(9,2).


13．一个矩形的周长为l，面积为S，则如下四组数对中，可作为数对(S，l)的序号是( )


①(1,4)；②(6,8)；③(7,12)；④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2))).


A．①③ B．①③④


C．②④ D．②③④


答案 A


解析 设矩形的长和宽分别为x，y，则x＋y＝eq \f(1,2)l，S＝xy.


对于①(1,4)，则x＋y＝2，xy＝1，


根据基本不等式满足xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，符合题意；


对于②(6,8)，则x＋y＝4，xy＝6，


根据基本不等式不满足xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，不符合题意；


对于③(7,12)，则x＋y＝6，xy＝7，根据基本不等式满足xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，符合题意；


对于④eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(1,2)))，则x＋y＝eq \f(1,4)，xy＝3，


根据基本不等式不满足xy≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2，不符合题意．


综合，可作为数对(S，l)的序号是①③.


14．已知不等式2x＋m＋eq \f(8,x－1)>0对任意的x>1恒成立，则实数m的取值范围为________．


答案 {m|m>－10}


解析 ∵2x＋m＋eq \f(8,x－1)>0在x>1时恒成立，


∴m>－2x－eq \f(8,x－1)＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x－1)))


＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(4,x－1)＋1))，


又x>1时，x－1>0，


x－1＋eq \f(4,x－1)＋1≥2eq \r(x－1·\f(4,x－1))＋1＝5，


当且仅当x－1＝eq \f(4,x－1)，即x＝3时，等号成立，


∴－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1＋\f(4,x－1)＋1))≤－2×5＝－10.


∴m>－10，


∴实数m的取值范围为{m|m>－10}．





15．若不等式ax2＋eq \f(1,x2＋1)≥eq \f(2－3a,3)(a>0)恒成立，则实数a的取值范围是________．


答案 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥\f(1,9)))))


解析 原不等式可转化为a(x2＋1)＋eq \f(1,x2＋1)≥eq \f(2,3)，


又a>0，


则a(x2＋1)＋eq \f(1,x2＋1)≥2eq \r(ax2＋1·\f(1,x2＋1))＝2eq \r(a)，


当且仅当a(x2＋1)＝eq \f(1,x2＋1)，


即a＝eq \f(1,x2＋12)时等号成立，


则根据恒成立的意义可知2eq \r(a)≥eq \f(2,3)，解得a≥eq \f(1,9).


16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m≥0)(单位：万元)满足x＝3－eq \f(k,m＋1)(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？


解 设2020年该产品利润为y，


由题意，可知当m＝0时，x＝1，


∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－eq \f(2,m＋1)，


又每件产品的销售价格为1.5×eq \f(8＋16x,x)元，


∴y＝xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1.5×\f(8＋16x,x)))－(8＋16x＋m)


＝4＋8x－m＝4＋8eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(2,m＋1)))－m


＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(16,m＋1)＋m＋1))＋29，


∵m≥0，eq \f(16,m＋1)＋(m＋1)≥2eq \r(16)＝8，


当且仅当eq \f(16,m＋1)＝m＋1，即m＝3时等号成立，


∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.


故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．